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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat L mathématiques--informatique}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{31 mai 2006}}
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\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~  Baccalauréat Mathématiques--informatique \decofourright  \\Amérique du Nord  31 mai 2006 }}

\bigskip

Les annexes sont à rendre avec la copie
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt.

Les $97$~résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau suivant : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}\hline
 						& Nombre de fois\\
Température (en $^{\circ}$C)	& 	où cette température\\
 						& a été relevée\\ \hline
14,5						&	5\\ \hline
15						&	7\\ \hline
15,5						&	10\\ \hline
16						&	12\\ \hline
16,5						&	15\\ \hline
17						&	10\\ \hline
17,5						&	11\\ \hline
18						&	9\\ \hline
18,5						&	7\\ \hline
19						&	7\\ \hline
19,5						&	4\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la médiane M, les quartiles Q$_{1}$ et Q$_{3}$ de cette série statistique.
On appelle premier décile (noté D$_{1}$) la plus petite valeur de la température telle qu'au moins 10\,\% des valeurs sont inférieures ou égales à D$_{1}$. On appelle neuvième décile (noté D$_{9}$) la plus petite valeur telle qu'au moins 90\,\% des valeurs lui sont inférieures ou égales.
		\item Justifier que D$_{1} = 15$ et calculer D$_{9}$.
		\item Calculer l'écart interquartile.
	\end{enumerate} 
\item La température a été relevée de la même manière et aux mêmes instants dans un champ à l'extérieur de la forêt. Cette deuxième série de résultats ne figure pas ici, mais :
\begin{itemize}
\item  la médiane de cette deuxième série est M$'= 23^{\circ}$C 
\item les quartiles de cette deuxième série sont Q$'_{1}= 15^{\circ}$C et Q$'_{3} = 28^{\circ}$C 
\item les déciles de cette deuxième série sont D$'_{1} = 13^{\circ}$C et D$'_{9} = 31^{\circ}$C.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'écart interquartile de cette nouvelle série. 
		\item On a construit sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, un diagramme en boîte de cette série. Les extrémités du diagramme correspondent aux premier et neuvième déciles.
		
Construire au-dessous de ce diagramme celui de la série des températures relevées dans la forêt. 
		\item En quelques lignes, expliquer quelle semble être l'influence des arbres sur la température à l'intérieur de la forêt.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, tous les temps sont exprimés en dixième de seconde et les distances en mètre.}

\medskip

On modélise la trajectoire d'une balle de tennis par une courbe dans un repère \Oij, représentée dans le graphique ci-dessous. Une unité représente un mètre. Le joueur de tennis frappe sa balle à l'instant $0$ en M$_{0}$ de coordonnées $(0~;~2,5)$.

\medskip

\psset{xunit=0.676cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(17,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=5]{->}(0,0)(0,-1)(17,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1,0)(0,0)(0,1)
\uput[l](0,2.5){M$_{0}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\pscurve[linecolor=blue](0,2.5)(2.8,2.4216)(5.6,2.1864)(8.4,1.7944)(11.2,1.2456)(14,0.56)(15.8,0)
%\psplot{0}{14}{2.5 0.0784 x  mul x  mul sub}
\multido{\n=0+1}{18}{\psline(\n,0)(\n,0.15)}
\uput[d](8.5,-0.5){Graphique}
\end{pspicture}

\bigskip

Pour un entier $n$, la position de la balle du joueur dans le repère \Oij{} à l'instant $n$ est le point $M$ de coordonnées $(x_{n}~ ;~ y_{n})$. Des valeurs $x_{n}$ et $y_{n}$ pour $n$ compris entre 0 et 5 sont données par le tableau de l'annexe, extrait d'une feuille de calcul d'un tableur.

Ce tableau doit être complété durant l'exercice et rendu avec la copie.

\medskip

\textbf{Les questions 1 à 4 sont dans une large mesure indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  étude de la suite des nombres $x_{n}$ (abscisses de la position de la balle à l'instant $n$).
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que les valeurs $x_{0},~x_{1}$ et $x_{2}$ sont les premiers termes d'une suite arithmétique dont on déterminera la raison $r$. écrire la valeur trouvée de $r$ dans la cellule E1 du tableau de l'annexe.
		\item On admet que les nombres $x_{n}$ sont les termes de la suite arithmétique de premier terme $x_{0}$ et de raison $r$. Justifier que $x_{n} = 2,8 n$.
		\item On veut introduire dans la cellule B7 une formule recopiable jusqu'en B9, encore valable si on change la valeur de $r$. Donner cette formule.
		\item Compléter les deux cellules manquantes de la colonne B du tableau de l'annexe.
		\item La balle arrive au niveau du filet, situé à 12 mètres du point O, à l'instant $t$.

À l'aide du tableau, donner un encadrement de $t$ entre deux valeurs distantes de un dixième de seconde.
	\end{enumerate}
\item étude de la suite des nombres $y_{n}$ (ordonnées de la position de la balle à l'instant $n$).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite des nombres $y_{n}$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
		\item Les lois de la physique permettent d'établir la relation 
\[y_{n} = - \np{0,0784} n^2 + 2,5.\]
Quelle formule tableur doit-on écrire en C4 de façon à la recopier jusqu'en C9 ?
	\end{enumerate} 
\item étude de la trajectoire de la balle.

Le filet, situé à 12 mètres du point O mesure environ 0,90 m de hauteur. Expliquer, en utilisant le graphique rappelé en annexe, pourquoi la balle passe au dessus du filet.
\item Lors de la mise en jeu, le joueur au service a droit à deux essais pour placer la balle dans le carré de service adverse. Ces essais sont appelés premier et deuxième service. Au cours d'un match, le joueur a manqué 20 premiers services. Il a donc joué 20 deuxièmes services.
	\begin{enumerate}
		\item Lors de ce match, sur les 20 deuxièmes services, 3 ont été réussis sans être rattrapés par l'adversaire. Parmi les deuxièmes services, quel est le pourcentage de services réussis non rattrapés par l'adversaire ?
		\item Sur ces 20 deuxièmes services, 65\,\% ont été placés dans le carré de service adverse. Calculer le nombre de deuxièmes services réussis.
		\item Les 20 premiers services manqués correspondent, pour les premiers services joués, à un pourcentage d'échec de 26,7\;\% (arrondi à 0,1\,\%). Quel est le nombre total des premiers services que le joueur a effectués au cours de ce match ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} \end{center}

 Exercice I

\bigskip

\begin{pspicture}(12,4)
\psline{->}(0,0)(20,0) 
\multido{\n=0+1}{21}{\rput(\n,0){$\times$}}
\psline{->}(0,3)(20,3) 
\multido{\n=0+1}{21}{\rput(\n,3){$\times$}}
\psline[linewidth=1.75pt](1,3)(3,3) 
\psline[linewidth=1.75pt](16,3)(19,3) 
\psline[linewidth=1.75pt](11,2.5)(11,3.5) 
\psframe[linewidth=1.75pt](3,2.5)(16,3.5)
\uput[d](1,3){13} \uput[d](20,3){32} 
\uput[d](1,0){13} \uput[d](20,0){32}
\uput[u](10,3.8){Diagrammes en boîtes} 
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

Exercice 2

\medskip

\begin{center} \textbf{Valeurs de}~\boldmath $x_{n}$ \unboldmath \textbf{et}~ \boldmath $y_{n}$ \unboldmath

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.8}}c|*{5}{c|}}\hline
\rowcolor[gray]{0.8}	&A	&B& C&D& E \\ \hline
1&&\multicolumn{3}{|c|}{Raison $r$ de la suite arithmétique}& \\ \cline{1-1} \cline{3-6}
2&\multicolumn{5}{c|}{} \\ \cline{1-4}	
&& 		Abscisse $x_{n}$&	Ordonnée $y_{n}$&\multicolumn{1}{|c}{}& \\ 
3& Temps $n$ écoulé&	de la balle& 	de la balle&\multicolumn{1}{|c}{}&\\
&(en dixième de seconde)&		(en mètre)&	(en mètre)&\multicolumn{1}{|c}{}&\\ \cline{1-4}
4	&0&	0&	2,5&\multicolumn{1}{|c}{}&\\ \cline{1-4}
5	&1&	2,8&	$\np{2,4216}$&\multicolumn{1}{|c}{}&\\ \cline{1-4}
6	&2&	5,6&	$\np{2,1864}$&\multicolumn{1}{|c}{}&\\ \cline{1-4}
7	&3&	&	$\np{1,7944}$&\multicolumn{1}{|c}{}&\\ \cline{1-4}
8	&4&	&	$\np{1,2456}$&\multicolumn{1}{|c}{}&\\ \cline{1-4} 
9	&5&	14	&0,54&\multicolumn{1}{|c}{}&\\ \hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.676cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(17,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=5]{->}(0,0)(0,-1)(17,4)
\psline{<->}(1,0)(0,0)(0,1)
\uput[l](0,2.5){M$_{0}$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\pscurve(0,2.5)(2.8,2.4216)(5.6,2.1864)(8.4,1.7944)(11.2,1.2456)(14,0.56)(15.8,0)
%\psplot{0}{14}{2.5 0.0784 x dup mul mul sub}
\multido{\n=0+1}{18}{\psline(\n,0)(\n,0.15)}
\uput[d](8.5,-0.5){Graphique}
\end{pspicture}
\end{center}
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