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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\begin{document}
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\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat anticipé Première L }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Mathématiques-informatique \decofourright\\  Antilles--Guyane  septembre 2004}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Étude d'une loi du marché}

\medskip

Dans cet exercice on désire étudier une loi de marché relative à une revue intitulée \og MOTS \fg en fonction du prix de l'abonnement annuel.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~200] par

\[f(p) = -50p + \np{12500}.\]
On admet que cette fonction donne le nombre d'abonnés en fonction du
prix $p$ en euros, de l'abonnement annuel à cette revue \og MOTS \fg.

\bigskip

\textbf{Partie A - Nombre d'abonnés}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque l'abonnement est fixé à 50~\euro, quel est le nombre d'abonnés ?
\item Quelle est l'image de 52 par $f$ ? Que représente cette image ?
\item Justifier que toute augmentation de 2 \euro{} du prix de l'abonnement
annuel fait diminuer de 100 le nombre d'abonnés à cette revue \og MOTS \fg.
\item Le nombre d'abonnés à la revue \og MOTS \og est de \np{5000}, quel est alors le prix de l'abonnement annuel ?
\item En utilisant la fonction $f$, justifier que pour ce produit \og plus un produit est cher, plus la demande diminue \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - étude de la recette}

\medskip

On appelle recette le montant total des abonnements annuels à la revue \og MOTS \fg{} perçu par l'éditeur de la revue.
\begin{enumerate}
\item Le prix de l'abonnement est égal à 50~\euro. Calculer la recette correspondante.
\item Le prix de l'abonnement est fixé à $40$~\euro. Calculer la recette correspondante.
\item Le nombre d'abonnés est égal à \np{5000}. Calculer la recette.
\item Le prix de l'abonnement est égal à $p$ euros. Exprimer la recette en fonction de $p$ et $f(p)$.
\item On définit la fonction $R$ sur l'intervalle [0~;~200] par

	\[R( p) = - 50p^2 + \np{12500}p.\]
	
Vérifier que $R(p)$ est égal à la recette correspondant à un prix de l'abonnement égal à $p$ euros.
\item Le graphique de la fonction $R$ est donné ci-dessous. En utilisant ce graphique et en laissant apparaître tous les tracés nécessaires, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix de l'abonnement annuel à cette revue \og MOTS \fg{} qui rend la recette maximale ? Quel est alors le montant de la recette ?
		\item Donner l'ensemble des solutions de l'inéquation $R(p) \geqslant \np{500000}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer le nombre d'abonnés qui correspond à la recette maximale.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit= 0.06cm,yunit=0.00001cm}
\begin{pspicture}(200,910000)
\psaxes[Dx=50,Dy=100000]{->}(0,0)(200,900000)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{200}{12500 x mul  x dup mul 50 mul sub}
\rput(90,920000){\textbf{Recettes}}
\rput(100,-40000){Prix de l'abonnement en euros}
\rput{90}(-350,450000){Recette en euros}
\end{pspicture} \end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Écriture de mots}

\medskip

La langue française comporte 26 lettres de l'alphabet plus les lettres avec accents ou tréma soit 36 caractères qui permettent d'écrire les mots.

Un mot est une liste de caractères distincts ou non ayant un sens ou non, par exemple \og cab \fg{} et \og eta \fg{} sont deux mots.

Un mot simple est un mot dont les caractères sont tous distincts. Par exemple \og cab \fg{} est un mot simple mais \og cca \fg{} n'est pas un mot simple.

La longueur d'un mot est le nombre de caractères qui le composent : par exemple, le mot \og littéraire \fg{} a pour longueur 10.

\medskip

\textbf{Partie A - Nombre de mots possibles de longueur donnée}

\medskip

On souhaite calculer :

$\bullet~$ le nombre $N$ de mots possibles de longueur inférieure ou égale à 5.

$\bullet~$ le nombre S de mots simples possibles ayant une longueur donnée inférieure ou égale à 5.

On décide d'utiliser un tableur.

La feuille de calcul correspondant à et travail est donnée ci-dessous. Compléter ce tableau au fur et à mesure.

\begin{center}\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline
	&A		&B 	&	C\\ \hline
1	&Longueur du mot& 	Nombre de mots possibles& 	Nombre de mots simples possibles \\ \hline
2	&1		&	36	&	36\\ \hline
3	&2		&\np{1296}&	\np{1260}\\ \hline
4	&3		& 		&\\ \hline
5	&4		& 		&\\ \hline
6	&5 		& 		&\\ \hline
7 	&Total	&		&\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\begin{enumerate}
\item Calcul de $N$
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les résultats des cellules B2 et B3.
		\item On admet que les résultats de la colonne B sont les premiers termes d'une suite géométrique. Montrer que la raison de cette suite est égale à 36.
		
Donner le premier terme.
		\item Quel type de croissance cette suite traduit-elle ?
		\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B3 pour que par recopie on
obtienne les termes de la suite jusqu'à la cellule B6 ? 		
		\item Compléter la colonne B jusqu'en cellule B6.
		\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B7 pour obtenir $N$ ? Calculer $N$.
	\end{enumerate}

\item  Calcul de S
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les résultats des cellules C2 et C3.
		\item Justifier que l'on peut saisir dans la cellule C3 la formule suivante
		
= C2*(36 - A2) pour que par recopie jusqu'en la cellule C6 on obtienne les
nombres demandés.
		\item Compléter la colonne C.
		\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule C7 pour obtenir le nombre demandé $S$ ? Calculer S.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un texte de Charles Perrault est écrit en quatre langues

\begin{multicols}{2}
{\footnotesize\textbf{Les amours de la règle et du compas}\\
Toutefois nos amours, répliqua le compas\\
Produiront des enfants qui vaincront le trépas\\
De nous deux sortira la belle architecture\\
Et mille nobles arts pour polir la nature, [\ldots ]\\
Le compas aussitôt sur un pied se dressa,\\
Et de l'autre, en tournant un grand cercle traça.\\
La règle en fut ravie et soudain se vint mettre\\
Dans le milieu du cercle, et fit le diamètre.\\
Son amant l'embrassa, l'ayant à sa merci\\
Tantôt s'élargissant et tantôt raccourci\\
Et l'on vit naître de leurs doctes postures\\
Triangles et carrés et mille autres figures\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }

{\footnotesize \textbf{A love story between a ruler and a compass}\\
Hovewer, our love, replied the compass\\
Will produce children who will overcome death\\
From us both a beautiful architecture will come out\\
And a thousand noble arts to enhance nature\\
Immediately, the compass stood on his foot\\
Whilst he drew  a great circle with the other one\\
The ruler was delighted and suddenly came to lie\\
In the center of the circle and draw a diameter
Her lover kissed her, having her at his mercy\\
Either widening or shortening\\
And came to birth, from their learned posture\\
Triangles ans squares and a thousand other figures}
\end{multicols}

\newpage

\begin{multicols}{2}
{\footnotesize\textbf{Gli amori della riga del compasso}\\
Tuttavia, i nostri amori, replic\'o il compasso\\
Produrranno figli che vinceranno il trapasso,\\
Da noi due uscira la bell'arcittetura,\\
E mille nobili arti per raffinare la natura.\\
Subito el compasso su in piede si raddrizz\'o,\\
E dell'altro, girando, un gran cerchio disegn\'o.\\
La riga ne fu meravigliata, e ad une tratto venne a collocarsi\\
Nel mezzo del cerchio, e fece il diametro.\\
Siccome era in babia dell'amante, questo la bacio,\\
Ora allargandosi, ora accorciato,\\
E dalle loro dotte posture, si video nascere\\
Triangoli e quadrati e mille altre figure\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}\\

{\footnotesize\textbf{Die Liebschaften des Lineals und des Kompass}\\
Immerhin wird unsere Liebe Kinder erzeugen,\\
Erwiderte der Kompass, die den Tod \"uberwinden werden.\\
Aus uns beiden werden sch\"one Architktur und tausende vornehme\\
K\"unste entstehen, um die Natur zu verfeinern.\\
Sogleich erhob sich der Kompass auf einen Fu"s\\
Und mit  dem anderen entwarf er einen gro"sen Kreis.\\
Das Lineal war entz\"uckt und bildete den Durchmesser.\\
Sien Liebhaber umarmte es, es war ihm ausgeliefert.\\
Bald dehnte er sich aus, bald zog er sich zusammen.\\
Aus ihren gelehten Haltungen entwickelten sich\\
Quadrate und Dreiecke und tausende andere Gestalten.}
\end{multicols}
\vspace{0,4cm}

Le tableau donne le nombre de mots d'une longueur donnée dans chacune des langues.

\begin{tabular}{|p{1.8cm}|*{13}{c|}}\hline
{\small Longueur du mot}&	                1&	2&	3&	4&	5&	6&	7&	8&	9&	10&	11&	12&	Total\\ \hline
{\small Nombre de mots en français}&	6&	32&	9&	7&	14&	19&	4&	6&	4&	1&	1&	1&	104\\ \hline
{\small Nombre de mots en anglais}&8&	10&	24&	16&	13&	8&	12&	7&	3&	1&	1&	1&	104\\ \hline
{\small Nombre de mots  en italien}&	10&19&11 &	9& 	15&10&8&	7&	3&3&	1&	3&	99\\ \hline
{\small Nombre de mots  en allemand}&	0 &	7& 	29&	8&	7& 	11& 	7&	11&	6&	2&	2&	3&	93\\ \hline
\end{tabular}

\vspace{0,4cm}

Construire les diagrammes en boîte des quatre séries statistiques correspondant aux quatre langues.
\end{document}