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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Roland Thiers
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\lhead{\small Baccalaurat 1\up{re} L mathmatiques--informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
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\thispagestyle{empty}
    
\begin{center}    {\Large \textbf{Baccalauréat Mathématiques--informatique\\Nouvelle--Calédonie novembre 2010}}

\end{center}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

Dans l'extrait de feuille de calcul présenté ci-dessous figurent des informations recueillies dans l'Annuaire Statistique du Cameroun en 2008. On y trouve des données statistiques sur la population de ce pays de 1987 à 2002 ainsi que les prévisions sur cette population pour les années 2007 et 2012 (les données exactes de 2007 n'étaient pas encore connues). Les cellules des lignes 3, 5 et 6 sont en millions de personnes, celles des lignes 4 et 7 sont au format pourcentage avec un chiffre après la virgule.

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\multicolumn{1}{|c|}{A}&B&C&D&E&F&G\\ \hline
1&Année&1987&1992&1997&2002&2007*&2012*\\ \hline
2&Rang de l'année $n$&0&1&2&3&4&5\\ \hline
3&Population totale&10,5&12,2&14&16,2&18,7&21,6\\ \hline
4&\small Taux d'évolution entre deux années de rangs consécutifs&&16,2\,\%&&15,7\,\%&15,4\,\%&15,5\,\%\\ \hline
5&$U_{n}$&10,5&&&16,2&18,7&\\ \hline
6&Population des 0--14 ans&4,9&5,6&6,2&7&7,9&9,2\\ \hline
7&Pourcentage des 0--14 ans par à la population totale& 46,7\,\%&&44,3\,\% &43,2\,\%&42,3\,\%&42,6\,\%\\ \hline
\multicolumn{8}{l}{* : données prévisionnelles}\\
\end{tabularx}

\bigskip
 
\textbf{Partie A : Population totale}

\medskip
 
\textbf{I. Taux d'évolution :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'évolution entre la population totale de 1987 et celle prévue en 2012. \emph{Arrondir à} 0,1\,\%. 
\item Quelle formule, saisie dans la cellule C4 et recopiée vers la droite jusqu'en G4, calcule le pourcentage d'évolution de la population totale entre 2 années de rangs consécutifs. 
\item Calculer la valeur affichée dans la cellule D4. \emph{Arrondir à} $0,1$\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{II. Modélisation :}

\medskip
 
On envisage de modéliser l'évolution de cette population à l'aide de la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par $U_{0} = 10,5$ et $U_{n+1} =  1,155 U_{n}$, avec $U_{n}$ exprimé en millions. \emph{Les réponses seront arrondies au dixième de million.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$. 
\item Quelle est la nature de cette suite ? À quel type de croissance cela correspond-il ? 
\item Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Calculer $U_{5}$. 
\item Avec ce modèle obtient-on la même prévision que celle du tableau pour l'année 2012, le résultat étant arrondi à $0,1$~million près.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
 
\textbf{Partie B : Population des 0--14 ans}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Laquelle des formules suivantes a-t-on saisie dans la cellule B7 et recopiée vers la droite pour  compléter la ligne 7 du tableau ? 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{=B3/B6}&\fbox{=B6/B3}&\fbox{=\$B\$3/B6}&\fbox{=B6/\$B\$3}\\
\end{tabularx}

\medskip 
\item Calculer la valeur affichée dans la cellule C7. 
\item On constate que la population des 0--14 ans augmente sur la période 1987--2012. Peut-on en déduire que la proportion des 0--14 ans dans la population du Cameroun augmente sur cette période ? Justifiez votre réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip
 
\textbf{Des insectes mathématiciens : la communication entre abeilles.}

\medskip

\parbox{0.82\linewidth}{
\emph{Dans une ruche, des abeilles éclaireuses trouvent des zones où récolter du pollen, du nectar, Elles transmettent l'information aux butineuses dans la ruche en effectuant une danse appelée danse frétillante ou danse en 8 selon le schéma ci-contre.}
 
\emph{Ainsi, le temps mis par une éclaireuse pour faire ses tours indiquera aux butineuses la distance entre la ruche et la zone à butiner.}} \hfill
\parbox{0.15\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\pscircle[linewidth=1.5pt](0.95,0.95){0.95}
\pscurve[linewidth=1.5pt](0.95,0)(1.2,0.2)(1,0.3)(0.9,0.45)(1,0.6)(1.2,0.8)(1,0.92)(0.85,1)(1,1.2)(1.2,1.4)(1,1.6)(0.85,1.68)(1,1.9)
\psarc{<-}(0.95,0.95){0.8}{35}{85}
\psarc{<-}(0.95,0.95){0.8}{-65}{-15}
\psarc{->}(0.95,0.95){0.8}{110}{165}
\psarc{->}(0.95,0.95){0.8}{200}{255}
\end{pspicture}}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Le graphique donné en \textbf{annexe 1} montre le parcours que doit suivre une abeille pour aller  de la ruche R à un champ C à butiner. Les lignes de niveau tracées sur ce graphique indiquent l'altitude en mètres. On admet que l'abeille vole à un mètre du sol. 
	\begin{enumerate}
		\item À quelle altitude se trouve la ruche ? 
		\item L'abeille passe au dessus d'une rivière alimentant un étang qui est situé à l'altitude la plus basse.
		 
Colorier sur le graphique la zone dans laquelle se situe l'étang. 
		\item Sur le quadrillage au dessous du graphique, compléter le profil du terrain que survole l'abeille sur l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate} 
\item Le graphique ci-dessous représente la fonction $f$ donnant le nombre $f(x)$ de tours effectués en 15~secondes par une éclaireuse en fonction de la distance $x$ (en km) à parcourir. Le nombre $f(x)$ peut ne pas être entier. 


\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(8.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(8.5,8.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{8}{8 2 x mul 1 add div 1 add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](8,0){distance en km}
\rput{90}(-0.75,4){nombre de tours en 15 secondes}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(8,8)
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

Dans le graphique et dans ce qui suit, le terme \textbf{distance} désigne la distance entre la ruche et la zone à butiner.

\medskip
	\begin{enumerate}
		\item L'affirmation \og Plus la distance augmente, plus le nombre de tours en 15 secondes diminue \fg{} est-elle vraie ou fausse ? Justifier votre réponse. 
		\item Combien de tours en 15 secondes l'abeille doit-elle faire pour indiquer une distance de 3,5 km ? 
		\item À quelle distance se trouve la zone à butiner si l'abeille effectue 5~tours en 15~secondes? 
		\item À quelle distance se trouve la zone à butiner si l'abeille effectue 12~tours par minute, c'est-à-dire 12~tours en 60~secondes? 
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$, représentée ci-dessus, est donnée sur $[0,1~;~8]$ par 
\[f(x) = 1 + \dfrac{8}{2x + 1}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre de tours en $15$~secondes permettant d'indiquer une distance de $5$~km. On donnera le résultat arrondi au dixième. 
		\item Justifier que $1,5$~tour en $15$~secondes correspond exactement à une distance de $7,5$~km.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{sidewaysfigure}
\centering

\textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}

\psset{unit=1cm}
\def\motif{\psframe*(-0.1,-0.1)(0.1,0.1)}
\begin{pspicture}(20,6.5)
\psline[linewidth=2pt](0.5,2)(18.5,2)
\rput{45}(0.5,2){\motif}
\rput{45}(18.5,2){\motif}
\pscurve[linewidth=1.5pt](2.25,0)(2,0.5)(1.5,1.05)(1,1.45)(0.5,2)(0.25,3)(0.5,3.6)(0.8,3.75)(0.6,4.5)
\pscurve[linewidth=1.5pt](0.7,5.5)(0.725,5.75)(0.75,6)\rput{87}(0.6,5){600}
\pscurve(4,0)(3,0.75)(2,2)(1.75,3)(1.5,3.98)(2.5,6)
\pscurve(7.75,0)(7,0.3)(6,1)(5,1.7)(4.5,2)(4.2,2.5)(3,2.75)(2.5,3.5)(2.15,5)(2.5,5.2)(3,5.25)(4,5.18)(4.25,5.25)(4.5,6)
\pscurve(8.75,0)(7.5,0.7)(6.5,1.15)(5,2)(4.75,2.75)(4.75,3.5)(5,3.75)(5.25,4)(5.4,4.25)(5.25,4.5)(5.2,4.75)(5.5,5.25)(5,5.5)(4.85,5.65)(5,6)
\pscurve(10.25,0)(9.75,1)(8.55,2)(7.5,2.5)(6,2.85)(5.5,3.25)(5.2,3.5)(5.05,3.5)(5.5,4)(5.7,4.3)(5.5,4.5)(5.3,4.55)(5.8,5)(5.97,5.02)(5.8,5.25)(6,6)
\pscurve[linewidth=1.5pt](10.8,1.15)(10,1.55)(9.5,2)(8.5,2.55)(7.5,3.04)(7.45,3.2)(7.8,4)(7.98,4.25)(7.7,4.5)(7,4.8)(6.77,5.25)(7,5.7)(7.25,6)
\pscurve(12.1,0)(11.5,0.8)(11.1,1.5)(10.9,1.75)(10.5,2)(8.5,3.03)(8.1,3.3)(8.2,4)(8.4,4.5)(8.5,4.75)(8.4,5)(7.5,5.35)(7.75,6)
\pscurve(12.75,0)(12.5,1)(12,2)(11,2.5)(10,3)(9.5,3.5)(9.75,4.35)(9.5,4.75)(8.5,6)
\pscurve(14.75,0)(14,0.75)(13.5,1.22)(13.25,1.5)(13,2)(12,2.5)(11,2.9)(10.75,3)(10.65,3.5)(10.5,3.75)(10.25,3.9)(10.5,4.5)(11,5.5)(11.5,6)
\pscurve(15.25,0)(14.5,0.75)(13.7,1.5)(13.4,1.85)(13.51,2)(12.5,2.6)(11.75,3)(11.1,4)(10.95,4.35)(11,4.6)(12.2,6)
\pscurve[linewidth=1.5pt](15.8,0)(15,0.8)(14.2,1.5)(13.8,1.75)(13.75,1.8)(13.75,2)(13.5,2.4)(13,2.7)(12.5,3.1)(11.8,3.5)(11.5,4)(12,5.2)(12.3,5.5)%500
\pscurve[linewidth=1.5pt](16.2,0)(15.5,0.5)(15.3,1)(15.2,1.18)(15,1.2)(14.5,1.5)(14,2)(13.8,2.5)(13.5,3)(13.5,3.25)(14,3.5)(14.25,3.68)(14.4,4)(14.45,4.15)%500(droite)
\rput{80}(19.25,0.85){550}\uput[d](18.5,2){547}\uput[ur](18.5,2){C}
\uput[ur](0.5,2){R}\rput{95}(11,0.6){550}
\pscurve[linewidth=1.5pt](14.52,5.2)(14.54,5.35)(14.5,5.55)(14,5.85)(13.75,5.95)
\rput{89}(14.5,4.65){500}\rput{30}(12.86,5.75){500}
\pscurve(16.65,0)(16,0.8)(15.5,1.3)(15.1,2)(14.2,2.5)(13.95,2.9)(14.5,3.5)(15,4)(15.45,4.5)(15,5.6)(14.5,6)
\pscurve(17.5,0)(17,0.5)(16,1.05)(15.7,1.25)(15.85,1.5)(15.5,2)(15,2.85)(15.5,3.95)(15.7,4.5)(15.6,5)(15.5,5.9)(14.8,6)
\pscurve(17.75,0)(17.5,0.3)(16.5,1.4)(16.25,2)(16.22,2.5)(16.3,2.7)(16.5,2.8)(16.2,3.8)(16.45,5.25)(15.75,6)
\pscurve(18.2,0)(18,0.35)(17,2)(16.95,2.25)(17,2.6)(17.5,3)(17.2,3.5)(17,5)(16.95,5.5)(16.3,6)
\pscurve[linewidth=1pt](18.9,0)(19,0.3)(19.2,0.5)
\pscurve[linewidth=1pt](19.4,1.5)(19.6,1.7)(19.5,2)(19.2,3)(19.15,3.35)(19.4,4)(19,5)(18.35,6)
\psline{<->}(0.5,6.2)(4.5,6.2)
\uput[u](2.5,6.2){1 km}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](20,6)
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{pspicture}(20,7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(20,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.5,7)
\pscurve[linewidth=1.25pt](10.5,3.5)(12,3)(13,2.5)(13.5,2)(13.75,1.5)(14,1.5)(15,2)(15.5,2.5)(16.25,3)(17,3.5)(18.5,3.85)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](20,7)
\multido{\n=0.5+4.0,\na=0+1}{5}{\uput[d](\n,0){\na} \psline(\n,0.4)(\n,0.6)}
\multido{\n=0.5+1.0,\na=480+20}{7}{\rput{90}(-0.25,\n){\na} \psline(0.4,\n)(0.6,\n)}
\uput[d](19,0){Distance en km}\rput{90}(-0.65,6){Altitude en m})
\end{pspicture}
\end{sidewaysfigure}
\end{document}