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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L Mathématiques--informatique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat général  La Réunion~\decofourright}}
    
{\large \textbf{Épreuve anticipée Mathématiques - juin 2003}}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L }}

La calculatrice  est autorisée.

\textbf{Le candidat doit traiter les  DEUX exercices}

\textbf{L'annexe est à  rendre avec la copie}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill}

\medskip

Une étude faite dans un pays de l'union européenne fait apparaître, après un maximum en 1992 de \np{37280} cas d'ESB\footnote{ESB : Encéphalite Spongiforme Bovine appelée aussi maladie de la vache folle.}, que le nombre de nouveaux cas recensés a diminué depuis 1993. On obtient les résultats ci-dessous :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
	Année& 	Nombre de nouveaux cas d'ESB* recensés\\ \hline
	1993&	\np{35 090}\\ \hline
	1994&	\np{24 436}\\ \hline
	1995&	\np{14 562}\\ \hline
	1996&	\np{8 149}\\ \hline 
	1997&	\np{4 393}\\ \hline
	1998&	\np{3 235}\\ \hline
	1999&	\np{2 300}\\ \hline
	2000&	\np{1 443}\\ \hline
	2001&	900\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie 1} \end{center}

On définit une suite $\left(U\right)$ de 9 termes, $U(n)$ représentant le nombre de nouveaux cas recensés l'année 1993.  On a étudié cette suite à l'aide d'un tableur et obtenu la feuille de calcul cl-dessous.

\medskip

\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\hline
&	A&	B&	C&	D&	E\\ \hline
1& 	Année& 	suite $(U)$ cas ESB réel& 	rang $n$& 	$U(n) - U(n - 1)$&	$\dfrac{U(n)}{U(n-1)}$\\ \hline
2&	1993&	\np{35 090	}&0	&	&\\ \hline
3&	1994&	\np{24 436	}&1	&	&\\ \hline
4&	1995&	\np{14 562}&2	&$- 9 874$&	0,6\\ \hline
5&	1996&	\np{8 149}&3	&	&0,6\\ \hline
6&	1997&	\np{4 393}&4	&$- \np{3756}$&0,5\\ \hline
7&	1998&	\np{3 235}&	5&	$- \np{1158}$&\\ \hline
8&	1999&	\np{2 300}&	6&	&\\ \hline
9&	2000&	\np{1 443}&	7&	&0,6\\ \hline
10&	2001&	900			&	8&$- 543$&	\\ \hline
11&	2002&		&9		&		&\\ \hline
12&	2003&	&10		&	&\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En calculant $U(n) - U(n-1)$ et	$\dfrac{U(n)}{U(n-1)}$ pour $1 \leqslant  	n  \leqslant 8$, complétez les cellules D3 à D10 et E3 à E10, les résultats étant arrondis au dixième.
\item On a fait réaliser ces calculs de façon automatisée par le tableur. Quelles formules a-t-on introduites dans les cellules D3 et E3 avant de les recopier vers le bas ?
\item Pouvez-vous en déduire que la suite $(U)$, pour ses 9 premiers termes, est une suite arithmétique ? Une suite géométrique ? Justifiez vos réponses.
\item Ce type de décroissance vous fait-il penser plutôt à une décroissance linéaire, à une décroissance exponentielle ou à une autre ? Justifiez votre choix.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie 2} \end{center}

\medskip

Dans le but de faire des prévisions pour les années futures, on a cherché à modéliser l'évolution de la maladie depuis 1993 en supposant que le nombre de nouveaux cas recensés diminue dans le même rapport tous les ans. On note $V(n)$ le nombre de nouveaux cas fictifs l'année $1993 + n$.
\begin{enumerate}
\item On a d'abord supposé que	$\dfrac{V(n)}{V(n-1)}  = 0,6$, et on a obtenu la feuille de calcul ci-dessous :
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $(V)$ ?
		\item Exprimez $V(n)$ en fonction de $n$.
		\item Quels sont les contenus des cellules D7 et D14 (à une unité près) ?

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
&A&	B&	C& 	D\\ \hline
1&	&	&	&\\ \hline
2&	&	&	rapport& 	0,6\\ \hline
3&	&	&	&\\ \hline
4&année& rang& cas ESB réel& 	$V(n)$\\ \hline
5&	1993&	0&	\np{35 090}&	\np{35 090}\\ \hline
6&	1994&	1&	\np{24 436}&	\np{21 054}\\ \hline
7&	1995&	2&	\np{14 562}&\\ \hline
8&	1996&	3&	\np{8 149}&	\np{7 579}\\ \hline
9&	1997&	4&	\np{4 393}&	\np{4 548}\\ \hline
10&	1998&	5&	\np{3 225}&	\np{2 729}\\ \hline
11&	1999&	6&	\np{2 300}&	\np{1 637}\\ \hline
12&	2000&	7&	\np{1 443}&	982\\ \hline
13&	2001&	8&	900			&	589\\ \hline
14&	2002&	9&				&\\ \hline
15&	2003&	10&				&	212\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

		\item On a construit la feuille de calcul de sorte que les résultats s'actualisent automatiquement si on change la valeur du rapport.\\
Quelle formule a-t-on écrite en D6 et recopiée vers le bas ?
	\end{enumerate}

\item On a testé différentes valeurs du rapport afin de déterminer pour laquelle de ces valeurs le nombre de nouveaux cas recensés se rapproche le plus de la réalité.

On a obtenu le tableau suivant avec un rapport de 0,633 :
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
	&	A	&	B	&C				&	D\\ \hline
1	&		&		&				&	\\ \hline
2	&		&		&rapport			&	0,6\\ \hline
3	&		&		&				&	\\ \hline
4	& année	& rang	& cas ESB réel		&	$V(n)$\\ \hline
5	&1993	&	0	&\np{35 090}	&	\np{35 090}\\ \hline
6	&1994	&	1	&\np{24 436}	&	 \np{22 212}\\ \hline
7	&1995	&	2	&\np{14 562}	&	\np{14 060}\\ \hline
8	&1996	&	3	&\np{8 149}	&	\np{8 900}\\ \hline
9	&1997	&	4	&\np{4 393}	&	\np{5 634}\\ \hline
10	&1998	&	5	&\np{3 225}	&	\np{3 566}\\ \hline
11	&1999	&	6	&\np{2 300}	&	\np{2 257}\\ \hline
12	&2000	&	7	&\np{1 443}	&	\np{1 429}\\ \hline
13	&2001	&	8	&900  			&	905\\ \hline
14	&2002	&	9	&				&	573\\ \hline
15	&2003	&	10	&				&	362\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}\item	Justifiez que pour tout entier naturel $n,~ V(n) = 	\np{35090} \times (0,633)^n$.
\item Parmi les rapports 0,6 et 0,633, quel est celui qui nous donne une approximation la plus proche de la réalité ? Justifiez votre réponse.\\
Avec ce choix, déterminez à l'aide de la calculatrice à partir de quelle valeur de $n,~ V(n)$ devient inférieur à 1.\\
Comment interprétez-vous ce résultat vis-à-vis de la maladie ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill}

\medskip

L'entreprise BillleSpeed vend des roulements à billes. On contrôle le fonctionnement de deux machines A et B qui fabriquent des billes en acier d'un diamètre théorique de 15 mm en prélevant au hasard un échantillon de 100 billes dans la fabrication de chacune de ces machines.

\begin{center} \textbf{Partie 1}\end{center}

Les mesures faites sur la machine A ont donné les résultats du tableau ci-dessous :

\medskip

Diamètre relevé des 100~billes (en mm) de la machine A - Données triées en ordre  (en mm). Le premier nombre de chaque colonne indique le numéro de la bille et le second (en gras) son diamètre
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{8}{c|}}\hline
	1& 	\textbf{14,00}&	 26& \textbf{14,62}& 51& \textbf{14,82} &	76& 	\textbf{15,21}\\ \hline
	2& 	\textbf{14,00}& 	27& 	\textbf{14,62}& 	52& 	\textbf{14,85} &	77& 	\textbf{15,21}\\ \hline
	3& 	\textbf{14,30}& 	28& 	\textbf{14,62}& 	53& 	\textbf{14,85} &	78& 	\textbf{15,25}\\ \hline
	4& 	\textbf{14,30}& 	29& 	\textbf{14,62}& 	54& 	\textbf{14,85} &	79& 	\textbf{15,25}\\ \hline
	5& 	\textbf{14,30}& 	30 &	\textbf{14,62}& 	55& 	\textbf{14,85} &	80& 	\textbf{15,25}\\ \hline
	6& 	\textbf{14,40}& 	31& 	\textbf{14,65}& 	56& 	\textbf{14,95} &	81& 	\textbf{15,25}\\ \hline
	7& 	\textbf{14,40}& 	32& 	\textbf{14,65}& 	57& 	\textbf{14,95} &	82& 	\textbf{15,30}\\ \hline
	8& 	\textbf{14,40}& 	33& 	\textbf{14,65} &	58& 	\textbf{14,95} &	83& 	\textbf{15,30}\\ \hline
	9& 	\textbf{14,45}& 	34& 	\textbf{14,65}& 	59& 	\textbf{14,95} &	84& 	\textbf{15,30}\\ \hline
	10& 	\textbf{14,45}& 	35& 	\textbf{14,70}& 	60& 	\textbf{14,95} &	85& 	\textbf{15,30}\\ \hline
	11& 	\textbf{14,45}& 	36& 	\textbf{14,70}& 	61& 	\textbf{14,95} &	86& 	\textbf{15,40}\\ \hline
	12& 	\textbf{14,45}& 	37& 	\textbf{14,70}& 	62& 	\textbf{15,00} &	87& 	\textbf{15,40}\\ \hline
	13& 	\textbf{14,50}& 	38& 	\textbf{14,70}& 	63& 	\textbf{15,00} &	88& 	\textbf{15,40}\\ \hline
	14& 	\textbf{14,50}& 	39&	\textbf{14,70}& 	64& 	\textbf{15,00} &	89& 	\textbf{15,50}\\ \hline
	15& 	\textbf{14,50}& 	40& 	\textbf{14,75}& 	65& 	\textbf{15,00} &	90& 	\textbf{15,50}\\ \hline
	16& 	\textbf{14,55}& 	41& 	\textbf{14,75}& 	66& 	\textbf{15,05} &	91& 	\textbf{15,50}\\ \hline
	17& 	\textbf{14,55}& 	42& \textbf{14,75}& 	67& 	\textbf{15,05} &	92& 	\textbf{15,50}\\ \hline
	18& 	\textbf{14,55}& 	43& 	\textbf{14,80}& 	68& 	\textbf{15,05} &	93& 	\textbf{15,50}\\ \hline
	19& 	\textbf{14,60}& 	44& 	\textbf{14,80}& 	69& 	\textbf{15,10} &	94& 	\textbf{15,61}\\ \hline
	20& 	\textbf{14,60}& 	45& 	\textbf{14,80}& 	70& \textbf{15,10} &	95& 	\textbf{15,61}\\ \hline
	21& 	\textbf{14,60}& 	46& 	\textbf{14,80}& 	71& 	\textbf{15,10} &	96& 	\textbf{15,65}\\ \hline
	22& 	\textbf{14,60}& 	47& 	\textbf{14,80}& 	72& 	\textbf{15,21} &	97& 	\textbf{15,66}\\ \hline
	23& 	\textbf{14,62}& 	48& 	\textbf{14,82}& 	73& 	\textbf{15,21} &	98& 	\textbf{15,75}\\ \hline
	24& 	\textbf{14,62}& 	49& 	\textbf{14,82}& 	74& 	\textbf{15,21} &	99& 	\textbf{15,80}\\ \hline
	25& 	\textbf{14,62}& 	50& 	\textbf{14,82}& 	75& 	\textbf{15,21} &	100& \textbf{15,90}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminez la médiane, le premier quartile, le troisième quartile, le premier déclic et le neuvième décile de la série statistique relative à l'échantillon de ces 100 pièces, en décrivant la méthode utilisée pour le premier quartile.
\item Représentez cette série par un diagramme en boîte (appelé aussi \og boîte à moustaches \fg{}) élagué aux déciles, sur lequel figureront les résultats obtenus précédemment (unités 1 cm pour 0,1 mm).
\item On a calculé la moyenne et l'écart type de cette série, qui valent respectivement $\mu = 14,91$ et $\delta =  0,40$. Les billes dont le diamètre n'appartient pas à l'intervalle $[\mu - 2\delta ;  \mu + 2\delta]$ sont déclarées \og hors normes \fg{} et mises au rebut. Quel est le taux de pièces ainsi rejetées ?
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie 2}\end{center}

Pour la machine B, on ne dispose plus des données initiales, qu'un technicien a déjà résumé dans l'histogramme suivant, en regroupant ces résultats en classes de longueur 0,2 mm ;

\medskip

Machine B : les effectifs sont donnés au-dessus des bandes de l'histogramme

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(10,25)
\psaxes[Dx=20,Dy=5](0,0)(10,25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0)(0.9,3) \uput[u](0.5,3){3}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.1,0)(1.9,2) \uput[u](1.5,2){2}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray](2.1,0)(2.9,5) \uput[u](2.5,5){5}
\psframe[fillstyle=vlines](3.1,0)(3.9,16) \uput[u](3.5,16){16}
\psframe[fillstyle=hlines](4.1,0)(4.9,22) \uput[u](4.5,22){22}
\psframe[fillstyle=crosshatch](5.1,0)(5.9,19) \uput[u](5.5,19){19}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.1,0)(6.9,14) \uput[u](6.5,14){14}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](7.1,0)(7.9,8) \uput[u](7.5,8){8}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray](8.1,0)(8.9,7) \uput[u](8.5,7){7}
\psframe[fillstyle=vlines](9.1,0)(9.9,4) \uput[u](9.5,4){4}
\uput[d](0.5,0){{\scriptsize[14 ; 14,2[}} \uput[d](1.5,0){{\scriptsize[14,2 ; 14,4[}} \uput[d](2.5,0){{\scriptsize[14,4 ; 14,6[}} 
\uput[d](3.5,0){{\scriptsize[14,6 ; 14,8[}} \uput[d](4.5,0){{\scriptsize[14,8 ; 15[}} \uput[d](5.5,0){{\scriptsize[15 ; 15,2[}} 
\uput[d](6.5,0){{\scriptsize[15,2 ; 15,4[}} \uput[d](7.5,0){{\scriptsize[15,4 ; 15,6[}} \uput[d](8.5,0){{\scriptsize[15,6 ; 15,8[}} 
\uput[d](9.5,0){{\scriptsize[15,8 ; 16[}} 
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Calculez la moyenne de cette série en faisant l'hypothèse que les billes sont équitablement réparties dans chaque classe (on utilisera donc les centres des classes pondérés par l'effectif correspondant). Vous donnerez le résultat à $10^{-2}$ près.

On admet que pour cette série, l'écart type vaut $\delta =  0,40$.

\item Déterminez la plage de normalité de cette série, au seuil de 95\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie 3}\end{center}

Une machine est considérée comme bonne si la série de mesures de l'échantillon remplit les trois conditions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  la moyenne $\mu$ appartient à l'intervalle [14,9 ; 15,1] ;
\item l'intervalle [14,2 ; 15,6[ contient au moins 90\,\% de l'effectif ;
\item l'écart type $\delta$ est strictement inférieur à $0,41$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Sinon la machine doit être réparée.
\begin{enumerate}
\item La machine A vérifie-t-elle ces trois critères ?
\item La machine B doit-elle être réparée ?
\end{enumerate}
\end{document} 