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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Liban }}
\rfoot{\small{7 juin 2005}}
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\begin{center}    {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Mathématiques--informatique \decofourright\\Liban 7 juin 2005}}\end{center}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

\np{1000} élèves de différents lycées ont mesuré la masse volumique du laiton par la méthode du flacon. Les résultats arrondis au dixième ont été regroupés dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Masse volumique&8&8,1&8,2&8,3&8,4&8,5&8,6&8,7&8,8&8,9&9&9,1\\ 
$\left(\text{en g/cm}^3\right)$& & & & & & & & & & & & \\ \hline
Effectif & 3&19&42&100&200&250&190&113&50&20&7&6\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Tracer le diagramme en bâtons de cette série (unités  graphiques : 1 cm pour 0,1~g/cm$^3$ en abscisse en graduant à partir de 7,9~g/cm$^3$ et 1 cm pour 20 élèves en ordonnée).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en précisant votre méthode, le premier quartile $q_{1}$, la médiane $m$ et le troisième quartile $q_{3}$ de cette série. 
		\item Tracer le diagramme en boîte de cette série en y faisant figurer $q_{1},~m,~q_{3}$ et les valeurs extrêmes de la série (unité : 1 cm pour 0,1 g/cm$^3$). 
		\item On note $\ell$ la longueur de l'intervalle interquartile. Calculer le pourcentage des élèves ayant mesuré une masse volumique comprise dans l'intervalle $[m - \ell~;~ m + \ell]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de la moyenne	$\mu$ de cette série.
		\item Déterminer la valeur approchée à $10^{-3}$  par défaut de l'écart type $\sigma$ de cette série.
		\item Calculer le pourcentage des élèves ayant mesuré une masse volumique comprise dans l'intervalle $[\mu -  2 \sigma~;~ \mu + 2\sigma]$ , puis dans l'intervalle \\$[\mu -  3 \sigma~;~ \mu + 3\sigma]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

Dans un pays imaginaire noté $\mathcal{I}$, il y a une capitale $\mathcal{P}$ et un ensemble de villages $\mathcal{V}$.

Au $1\up{er}$ janvier 2002, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{V}$ comptaient respectivement \np{200000} et \np{300000} habitants. Chaque année, la population de $\mathcal{P}$ augmente de $10\,\%$, alors que celle de $\mathcal{V}$ diminue de \np{20000} habitants.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Au $1\up{er}$ janvier 2002 , quel pourcentage représente la population de $\mathcal{P}$ par rapport à celle de $\mathcal{I}$ ? 
		\item Calculer la population de $\mathcal{P}$ , celle de $\mathcal{V}$ puis celle de $\mathcal{I}$ au $1\up{er}$ janvier 2003. Quel pourcentage représente alors la population de $\mathcal{P}$ par rapport à celle de $\mathcal{I}$ ?
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. On note $p_{n}$ la population de $\mathcal{P}$ au $1\up{er}$ janvier (2002 $+  n$). Ainsi $p_{0} =  \np{200000}$.

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $p_{n+1}$	en fonction de $p_{n}$  et en déduire la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$.
		\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$. Calculer $p_{5}$. Que représente cette valeur ?
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. On note $v_{n}$ la population de $\mathcal{V}$ au $1\up{er}$ janvier (2002 $+ n$), ainsi $v_{0} =  \np{300000}$.

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et en déduire la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. Calculer $v_{5}$.  Que représente cette valeur ?
	\end{enumerate}
\item \textbf{Cette question fait intervenir le tableau donné en annexe, à rendre avec la copie.}

Un tableur donne dans la colonne A les années de 2002 à 2007, dans la colonne B la population de la capitale $\mathcal{P}$, dans la colonne C la population de l'ensemble des villages $\mathcal{V}$ et dans la colonne D la population totale du pays $\mathcal{I}$ au $1\up{er}$ janvier de l'année correspondante. 

	\begin{enumerate}
		\item Indiquer les formules qu'il faudrait écrire dans les cellules D2, A3, B3 et C3 afin d'obtenir automatiquement, en recopiant vers le bas, les années dans la colonne A et les populations dans les colonnes B, C et D. 
		\item Remplir le tableau fourni en annexe et rendre celle-ci avec la copie.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement l'évolution de la population de $\mathcal{P}$ et  celle de  $\mathcal{V}$ en plaçant les points de coordonnées $\left(n~;~p_{n}\right)$ et $\left(n~;~v_{n} \right)$ lorsque l'entier $n$ varie de $0$ à $5$. On prendra comme unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses et 1~cm pour \np{10000} habitants sur l'axe des ordonnées qui sera gradué à partir de \np{200000} habitants, 
		\item Donner l'année $x$ au cours de laquelle la population de $\mathcal{P}$ dépassera celle de $\mathcal{V}$. 
		\item En supposant linéaire l'évolution des populations de $\mathcal{P}$ et de $\mathcal{V}$ au cours de l'année $x$ déterminer graphiquement le trimestre au cours duquel la population de P dépassera celle de $\mathcal{V}$, en faisant apparaître tous les tracés utiles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

\textbf{Annexe : à rendre avec la copie}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 	& A 	& B 		& C & D \\ \hline
1 	& Année & Population de $\mathcal{P}$ & Population de $\mathcal{V}$& Population de $\mathcal{I}$\\
  	& 		& au  $1\up{er}$ janvier & au  $1\up{er}$ janvier & au  $1\up{er}$ janvier\\ \hline
2 	&2002 	&\np{200000} 	&\np{300000} & \\ \hline
3 	& 		& 				& 			& \\ \hline
4 	& 		& 				& 			& \\ \hline
5 	& 		& 				& 			& \\ \hline
6 	& 		& 				& 			& \\ \hline
7 	& 		& 				& 			& \\ \hline
\end{tabularx}
  
\bigskip
   
Les lignes sont repérées par des numéros 1, 2, 3, \ldots  et les colonnes par des lettres A, B, C.

 Ainsi, par exemple, la référence B3 repère la cellule se trouvant à l'intersection de la colonne B et de la ligne 3.
\end{document}
 