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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat anticipé Mathématiques-informatique }
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{27 mai 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Mathématiques-informatique
 Liban 27 mai 2011~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} Les tulipes \hfill 9 points}

\medskip

Un jardinier a deux lots de bulbes de tulipes A et B de provenance différentes. Il a pesé un à un tous les bulbes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la feuille \textbf{annexe 1} est tracé le diagramme en boîte qui résume les résultats des masses en grammes des bulbes du lot A.
	\begin{enumerate}
		\item À partir de ce diagramme, donnons les valeurs des 1\up{er} et 3\up{e} quartiles, de la médiane et des extremums.
		\begin{shortenumerate}
		\item minimum :10
		\item Q$_1$ =40
		\item médiane :55
		\item Q$_3$ =70
		\item maximum :100
		\end{shortenumerate}
		\item Une estimation du pourcentage de bulbes dont la masse est supérieure ou égale à 40~g est de 75~\% par définition de Q$_1$ ; 25\,\% ont une masse inférieure ou égale à Q$_1$ et 75\,\% une masse supérieure ou égale à Q$_1$.
		\item L'intervalle interquartile est l'intervalle [40~\:;\:70]. Environ 50~\% de la masse des bulbes  est comprise dans cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item  Le tableau des effectifs du lot B est le suivant :

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{| m{1.62cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
masse			&20&25&30&35&40&45&50&55&60\\ \hline
nombre de bulbes&10&14&22&25&18&12&8&6&5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item La masse moyenne au gramme près des bulbes du lot B est de 36~g.  En effet 
		\[\overline{x}=\frac{10\times 20+14\times 25+\cdots + 6\times 55+ 5\times 60}{10+14+\cdots+ 6+5}=\frac{\np{4375}}{120}\approx\np{36.46}\]
		\item Déterminons \begin{description}
\item [premièrement] la médiane; c'est une valeur qui partage la série en deux parties de même effectif. Le nombre d'éléments étant pair, nous prendrons pour médiane le centre de l'intervalle formé par les 60 et 61\ieme{}  valeurs. La 60\ieme{} est 35, la 61\ieme{} aussi donc M$_e=35$
\item [deuxièmement]le premier quartile est la valeur du caractère dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à $\frac{N}{4}$. Il y a 120 éléments donc Q$_1$ est la 30\ieme{} valeur soit Q$_1$=30.
\item [troisièmement] le troisième quartile est la valeur du caractère dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à $\frac{3N}{4}$. Il y a 120 éléments donc Q$_3$ est la 90\ieme{} valeur soit Q$_3$=45.
\end{description}
		\item Sur l'\textbf{annexe 1} traçons  le diagramme en boîte du lot B.
		\item Le lot B semble le mieux calibré  puisqu'environ la moitié des bulbes ont une masse entre 30 et 45.
		\item Déterminons le pourcentage de bulbes dont la masse est strictement comprise entre 25 et 55~g.  Considérons les bulbes dont la masse est 30, 35, 40, 45 et 50. Leur nombre est 85 (22+25+18+12+8=85). Ce qui donne une proportion de $\frac{85}{120}=\np{0.7083}$ ou un pourcentage arrondi à 1\,\% près de 71\,\%.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} La collecte du verre \hfill 11 points}

\medskip

Deux villes X et Y organisent à partir du 1\up{er} janvier 2000, la récupération du verre usagé.

Pour $n$ entier naturel, on note $u_{n}$ la quantité de verre récupéré, en tonnes, au cours de l'année $(2000 + n)$ par la ville X et $v_{n}$ la quantité de verre récupéré, en tonnes, au cours de l'année $(2000 + n)$ par la ville Y.

Le tableau en \textbf{annexe 2} obtenu à l'aide d'une feuille automatisée de calculs donne certains résultats sur ces deux suites.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas géométrique car le quotient de deux termes consécutifs de cette suite n'est pas constant.
$\frac{320}{300}\approx 1,066667$, $\frac{340}{320}\approx \np{1.0625}$
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique puisque la différence entre deux termes consécutifs est constante.
		
$320-300=340-320=360-340=\cdots=480-460=20$. La raison est 20.
		\item Calculons $u_{15}$ ; le terme général d'une suite arithmétique est :$u_n=u_0+nr$ soit ici $u_n=300+20n$. par conséquent pour $n=15$, $u_{15}=300+15\times 20=600$.  Ce nombre représente la quantité de verre récupéré, en tonnes, au cours de l'année $2015 $ par la ville X.
		\item On souhaite faire figurer dans les cellules E2 à E11 les quantités de verre collecté depuis l'année 2000 par la ville X.
		
Pour cela, déterminons :
		\begin{enumerate}
			\item Une formule à inscrire dans la cellule E4  est \fbox{=E3+C4} ou  \fbox{=\$E3+\$C4};
			\item l'opération à réaliser une fois cette formule inscrite est un \og copier-glisser\fg{} vers le bas.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item Chaque année la quantité de verre récupéré par la ville Y augmente de 10\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Calculons $v_{1}$ et $v_{2}$.  À une augmentation de 10\,\% correspond un coefficient multiplicateur de 1+$\frac{10}{100}$, soit 1,1. Par conséquent $v_{1}=250\times 1,1=275$ et $v_{2}=275\times 1,1=302,5$
		\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique puisque l'on passe d'un terme au suivant en le multipliant toujours par 1,1. La  raison est par conséquent 1,1.
		\item Pour obtenir les valeurs de $v_{1}$ à $v_{9}$ à l'aide d'une seule formule écrite dans la cellule D3, puis recopiée vers le bas, nous pourrions écrire \ovalbox{=D2*1,1} ou \ovalbox{ \verb|=\$D\$2*1,1^B3|}
	\end{enumerate}
\item Sur le graphique de la feuille \textbf{annexe 2} sont représentés les premiers termes de la suite $\left(v_{n}\right)$ ; sur le m\^eme graphique, plaçons les premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$.  Par lecture graphique, à partir de 2005 la collecte dans la ville Y dépassera celle de la ville X. Pour 5, les points de la suite $\left(v_{n}\right)$ sont au dessus des points de la suite   $\left(u_{n}\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item La collecte de la ville X dépassera les \mbox{700 tonnes} lorsque $u_{n}\geqslant 700$.
		
		\[300+20n\geqslant700\quad 20n\geqslant 400 \quad n\geqslant 20\]
		\`A partir de 2020 la ville  X dépassera les 700 tonnes de verre récupéré.
		\item La collecte de la ville Y dépassera les 700~tonnes  en 2011. En effet $v_{10}\approx 648,44$ et $v_{11}\approx713,28$
	\end{enumerate}
\item Justifions l'exactitude ou l'inexactitude des affirmations suivantes.
	\begin{enumerate}
		\item Première affirmation : \og De 2000 à 2002 la quantité de verre récupéré par la ville Y a augmenté de 20\,\%. \fg
		
		 Cette affirmation est fausse, elle a augmenté de 21\,\%. $1,1\times1,1=1,21$ soit une augmentation de 21\,\%.
		 
		\item Deuxième affirmation : \og Entre 2000 et 2009, la quantité de verre récupéré par la ville X a augmenté de 60\,\%. \fg
		
		Calculons le taux d'évolution  de la quantité de verre récupéré entre 2000 et 2009 $\frac{480-300}{300}=0,6=60\,\%$.  Par conséquent l'affirmation est vraie.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)}

\vspace{2.5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 1 :} À compléter, en suivant les consignes de la question 2. c. 
\end{flushleft}


\vspace{2.5cm}

\textbf{Diagramme en boîte}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.114cm,yunit=0.57cm}
\begin{pspicture}(5,0)(110,12)
\multido{\n=5+5}{22}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,12)}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt,linecolor=orange](5,\n)(110,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt](10,2)(10,4)\psline[linewidth=1.5pt](100,2)(100,4)
\psline[linewidth=1.5pt](10,3)(40,3)\psline[linewidth=1.5pt](70,3)(100,3)
\psframe(40,2)(70,4)\psline(55,2)(55,4)\rput(55,4.5){Lot A}
\multido{\n=5+5}{22}{\uput[d](\n,1){\n}}
\rput(22.5,-1){Masses en grammes des bulbes}
\psframe(30,6)(45,8)\psline(35,6)(35,8)
\psline[linewidth=1.5pt](20,6)(20,8)\psline[linewidth=1.5pt](60,6)(60,8)\rput(35,8.5){Lot B}
\psline[linewidth=1.5pt](20,7)(30,7)\psline[linewidth=1.5pt](45,7)(60,7)
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)}

\vspace{2.5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2}
\end{flushleft}

\bigskip

Feuille automatisée de calcul :

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E\\ \hline
1&Année 	&$n$&$u_{n}$&$v_{n}$	&\\ \hline
2&2000		&0	&300	&250		&300\\ \hline
3&2001		&1	&320	&			&620\\ \hline
4&2002		&2	&340	&			&\\ \hline
5&2003		&3	&360	&			&\\ \hline
6&2004		&4	&380	&			&\\ \hline
7&2005		&5	&400	&			&\\ \hline
8&2006		&6	&420	&			&\\ \hline
9&2007		&7	&440	&			&\\ \hline
10&2008		&8	&460	&			&\\ \hline
11&2009		&9	&480	&			&\\ \hline
12&			&	&		&			&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2.5cm}

\begin{flushleft}
Représentation graphique des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$. À compléter, en suivant les consignes de la question 3.
\end{flushleft}

\bigskip

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.007cm}
\begin{pspicture}(17,1200)
\uput[u](17,0){$x$}\uput[r](0,1200){$y$}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(17,1200)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100](0,0)(17,1200)
\psdots[dotstyle=square*](0,250)(1,275)(2,302.5)(3,332.75)(4,366.03)(5,402.63)(6,442.89)(7,487.18)(8,535.9)(9,589.49)(10,648.44)(11,713.28)(12,784.61)(13,863.07)(14,949.37)(15,1044.3)(16,1148.7)
\rput(12,700){Ville Y}
\psdots[dotstyle=*](0,300)(1,320)(2,340)(3,360)(4,380)(5,400)(6,420)(7,440)(8,460)(9,480)(10,500)(11,520)(12,540)(13,560)(14,580)(15,600)
\rput(12,500){Ville X}
%\psplot[plotpoints=17,linewidth]{0}{16}{1.1 x exp 250 mul}
\end{pspicture}



\end{center}

















\end{document}