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%Tapuscrit : Claire Lacaze avec nos remerciements
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L Mathématiques-informatique}
\lfoot{\small{France métropolitaine}}
\rfoot{\small juin 2006}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{Baccalauréat général  France métropolitaine }}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - juin 2006}}

L'usage de la calculatrice  est autorisé.

\textbf{Le candidat doit traiter les  DEUX exercices}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 10 points}

\medskip

Le 29 mai 2005, lors du référendum français sur la constitution européenne, un institut a analysé les votes à la sortie des urnes dans une petite ville.

Dans cette ville \np{3062}~personnes sont inscrites sur les listes électorales.

Parmi les personnes inscrites, on distingue les votants et les abstentionnistes.

Dans les suffrages des votants, on considère les votes \og OUI \fg, les votes \og NON \fg et les votes nuls ou blancs.

\vspace{0.5cm}

\textit{Dans l'ensemble de l'exercice, les pourcentages obtenus seront arrondis à $0,1$\,\%}.

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Sur les \np{3062} personnes inscrites, \np{1048} se révèlent être des abstentionnistes.

Le taux de participation au référendum correspond au pourcentage des votants parmi l'ensemble des inscrits. Déterminer ce taux de participation.

\item Lors du vote, \np{2000} personnes ont déclaré avoir voté  \og OUI \fg{} ou \og NON \fg{} au référendum. On considérera que leurs déclarations sont sincères.

Leur répartition en pourcentage est donné dans le tableau suivant :

\vspace{0.5cm}

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|*{2}{c|}}
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Répartition en pourcentage selon les}}\\
\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{classes d'âges}} \\ \hline
\textbf{\^Age} &\makebox[20mm]{\textbf{OUI}} &\makebox[20mm]{\textbf{NON}} \\\hline
\textbf{18-24 ans}&$7,1\,\%$ & $8,9\,\%$\\ \hline
\textbf{25-34 ans}&$10,4\,\%$ & $12,7\,\%$\\ \hline
\textbf{35-44 ans}&$11,0\,\%$ & $16,8\,\%$\\ \hline
\textbf{45-59 ans}&$5,3\,\%$ & $8,7\,\%$\\ \hline
\textbf{60-69 ans}&$6,3\,\%$ & $5,0\,\%$\\ \hline
\textbf{70 ans et plus}&$4,4\,\%$ & $3,4\,\%$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Parmi ces \np{2000} personnes :

	\begin{enumerate}
		\item Relever le pourcentage de personnes qui ont moins de 25 ans et qui ont voté  \og OUI \fg.
		\item Déterminer le pourcentage de personnes ayant entre 18 et 24 ans.
		\item Déterminer le pourcentage de personnes ayant voté  \og OUI \fg.
		\item Déterminer le nombre de personnes ayant voté  \og OUI \fg.
	\end{enumerate}
\item Compléter les effectifs de l'\textbf{arbre} donné en feuille annexe, \textbf{à rendre avec la copie}.
\item Parmi les inscrits, déterminer le pourcentage de personnes ayant voté   \og NON \fg.

\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Des informations du bureau de vote obtenues le 29 mai 2005, l'institut a retenu de plus les résultats présentés dans le \textbf{tableau} ci-dessous.

\newpage

\begin{center}

\textbf{TABLEAU (fréquences en lignes)}
\vspace{0.5cm}

\begin{tabular}{|l|*{3}{c|}}
\hline
\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Répartition des inscrits, en pourcentage, selon les classes d'âges}}\\ \hline
\textbf{\^Age} &\makebox[20mm]{\textbf{Votants}} &\makebox[40mm]{\textbf{Abstentionnistes}} &\makebox[20mm]{\textbf{total}}\\\hline
\textbf{18-24 ans}& & &$100\,\%$\\ \hline
\textbf{25-34 ans}&$55,0\,\%$ & $45,0\,\%$&$100\,\%$\\ \hline
\textbf{35-44 ans}&$68,0\,\%$ & $32,0\,\%$&$100\,\%$\\ \hline
\textbf{45-59 ans}&$77,3\,\%$ & $22,7\,\%$&$100\,\%$\\ \hline
\textbf{60-69 ans}&$89,8\,\%$ & $10,2\,\%$&$100\,\%$\\ \hline
\textbf{70 ans et plus}&$70,0\,\%$ & $30,0\,\%$&$100\,\%$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0.5cm}


Les résultats sont donnés en pourcentage des personnes inscrites dans chaque classe d'âge.

\begin{enumerate}
\item Parmi les 550 personnes inscrites et âgées de 18 à 24 ans, il y a 229 abstentionnistes.

Quel est le taux d'abstention dans cette tranche d'âge ?

\item Dans le tableau ci-dessus, que signifie le nombre $77,3\, \%$ situé à l'intersection de la ligne des 45-59 ans et de la colonne des votants ?
\item Parmi l'ensemble des personnes âgées de 25 à 34 ans, 378 sont abstentionnistes.

Combien y a-t-il de personnes de cette tranche d'âge inscrites dans ce bureau de vote ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\medskip

Une enquête est réalisée dans un magasin, afin d'étudier l'évolution du nombre mensuel de clients.

Au cours du premier mois, l'enquête montre que 8\,000 clients sont venus faire leurs achats dans ce magasin.

On constate que, chaque mois, par rapport au mois précédent, $70\, \%$ des clients restent fidèles à ce magasin et 3\,000 autres clients apparaissent.

Pour un entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ le nombre de clients venus au cours de $n$-ième mois de l'enquête.

On a ainsi $u_1 = \np{8000}$.

On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de la suites $(u_n)$.

La feuille annexe reproduit la feuille de calcul utilisée.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre $u_2$ de clients venus dans ce magasin au cours du deuxième mois.
\item Quelle est la formule à saisir dans la cellule B3, à recopier vers le bas, permettant de caculer les termes de la suite $(u_n)$ ?
\item Quelle formule apparaît dans la cellule B4 lors de la recopie ?
\item Écrire, dans le tableau de la feuille annexe \textbf{à rendre avec la copie}, les valeurs numériques obtenues dans les cellules B3 et B4.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La suite $(u_n)$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
		\item La suite $(u_n)$ est-elle arithmetique ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Le gérant du magasin suppose que l'évolution du nombre mensuel de clients se poursuit suivant le modèle étudié dans la partie A.

Il se demande s'il peut prévoir d'atteindre \np{10000}~clients par mois.

Pour cela, dans la colonne C de la feuille de calcul précédente, il calcule mensuellement la différence entre cette prévision et le nombre de clients ayant fréquenté le magasin.

Pour un entier naturel $n$ non nul, il note $v_n$ cette différence au $n$-ième mois.

On a donc pour tout $n$ entier naturel non nul : $v_n = \np{10000} - u_n$.


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
\item Vérifier que $v_1 = \np{2000}$.
\item Quelle est la formule à saisir dans la cellule C2, à recopier vers le bas, permettant de calculer les termes de la suite $\left(v_n\right)$ ?
\item Vérifier que $v_2 = \np{1400}$, $v_3 = 980$ et $v_4 = 686$.
	\end{enumerate}
\item Dans la cellule D3, on saisit la formule \boxed{=C3/C2} et on l'a recopié vers le bas.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter les valeurs numériques obtenues dans les cellules D3 et D4 du tableau de la feuille annexe, \textbf{à rendre avec la copie}.
		\item Les trois premiers termes de la suite $(v_n)$ sont-ils trois termes consécutifs d'une suite géométrique ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item On admet désormais que $\left(v_n\right)$ est une suite décroissante et géométrique de raison 0,7.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Le gérant estime que son objectif sera atteint lorsque $v_n$ sera inférieur à 50. En utilisant la calculatrice, déterminer à partir de combien de mois le nombre de clients satisfera cette condition.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE à rendre agrafée avec la copie}\end{center}

\vspace{1cm}

\underline{\textbf{Exercice 1}}

\begin{center}
\textbf{Arbre (effectifs)}
\begin{pspicture}(0,-4)(12,6)
%\psset{unit=0.9cm}

\rput(5.9,-3.1){\LARGE{\textbf{$\cdots\cdots\cdots$}}}
\rput(4.2,2.9){\textbf{LES VOTANTS}}
\rput(4.2,2.1){\LARGE{\textbf{$\cdots\cdots\cdots$}}}

\rput(12,3){\textbf{Personnes ayant votés \og \textbf{NON} \fg}}
\rput(12,2.4){\textbf{1\,110}}

\rput(5.9,-2.3){\textbf{LES ABSTENTIONNISTES}}
\rput(12,5){\textbf{Personnes ayant votés \og \textbf{OUI} \fg}}
\rput(12,4.2){\LARGE{\textbf{$\cdots\cdots\cdots$}}}

\rput(11.7,1.5){\textbf{Personnes ayant voté blanc }}
\rput(11.7,1){\textbf{ou ayant un vote nul}}
\rput(11.7,0.2){\LARGE{\textbf{$\cdots\cdots\cdots$}}}

\rput(-1,0){\textbf{LES INSCRITS}}
\rput(-0.8,-0.8){\LARGE{\textbf{$\cdots\cdots\cdots$}}}

\pstree[arrows=>,treemode=R,levelsep=3.5cm,treefit=loose,thistreesep=4cm,nodesep=10mm]{\TR{}}%
{
{\pstree[arrows=->,treefit=loose,thislevelsep=7.5cm,thistreesep=2.3cm,nodesep=25mm]{\Tr{}}{\Tr{} \Tr{} \Tr{}}
                

           }	
\pstree[nodesep=4mm]{\Tr{}}

           }

\end{pspicture}
\end{center}


\vspace{0,3cm}
\textbf{Exercice 2}

\begin{center}
\textbf{Tableau avec valeurs numériques}
\vspace{0,6cm}

\definecolor{gristab}{gray}{0.80}

\begin{tabular}{|>{\columncolor{gristab}}c|c|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{gristab}&\makebox[12mm]{A}&\makebox[15mm]{B}&\makebox[15mm]{C}&\makebox[12mm]{D}\\
\hline
1&$n$&$u_n$&$v_n$&\\
\hline
2&$1$&$8\,000$&&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}\\
\hline
3&$2$&&&\\
\hline
4&$3$&&&\\
\hline
5&$4$&&&\\
\hline
6&$5$&&&\\
\hline
7&$6$&&&\\
\hline
8&$7$&&&\\
\hline
9&$8$&&&\\
\hline
10&$9$&&&\\
\hline

\end{tabular}\\
\end{center}
\end{document} 