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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\begin{document}
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\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small juin 2004}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\decofourleft~ \Large \textbf{Baccalauréat général  Métropole \decofourright}}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - juin 2004}}

La calculatrice  est autorisée.

\textbf{Le candidat doit traiter les  DEUX exercices}

\textbf{L'annexe 1 est à rendre avec la copie}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 Exploitations agricoles} \hfill 9 points}

\medskip

Le tableau (incomplet) ci-dessous donne la répartition des 800 chefs d'exploitation agricole d'une région selon leur âge et l'aire de la Surface Agricole Utile (S.A.U.) de leur exploitation.

L'aire est exprimée en hectares (ha) et l'âge en années.

\begin{center} \begin{tabular}{| *{6}{c |}}\hline
\backslashbox{\text{tranche d'âge}}{\text{S.A.U.}}&[0 ; 10[&[10 ; 30[&[30 ; 50[&[50 ; 100[&\text{TOTAL}\\ \hline
[15 ; 25[&2		&1	&5	&3	& \\ \hline
[25 ; 35[&21	& 	&16	&28	& 84\\ \hline
[35 ; 45[&40	&33	&	&59	&148\\ \hline
[45 ; 55[&17	&	&53	&123& \\ \hline
[55 ; 65[&110	&60	&70	&57	&297\\ \hline
TOTAL	 &190	&180&	&270& 800\\ \hline
\end{tabular}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Compléter le tableau (on recopiera sur la copie les colonnes complétées correspondant à une Surface Agricole Utile de [10~;~30[ et de [30~;~50[).

\item Les pourcentages demandés dans cette question seront arrondis à 
$0,1\,\%$.

	\begin{enumerate} 
		\item Parmi les chefs d'exploitation agricole, quel est le pourcentage de ceux dans la tranche d'âge [25~;~35[ ?
		\item Parmi les chefs d'exploitation agricole, quel est le pourcentage de ceux âgés de strictement moins de 45 ans et possédant au moins 30~ha de Surface Agricole Utile ?
		\item Parmi les chefs d'exploitation agricole de 55 ans ou plus, quel est le pourcentage de ceux qui ont une Surface Agricole Utile de moins de 10~ha ?
		\item Parmi les chefs d'exploitation agricole de Surface Agricole Utile de moins de 10 ha, quel est le pourcentage de ceux âgés de 55 ans ou plus ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Combien de chefs d'exploitation agricole ont strictement moins de 45 ans ? Strictement moins de 55 ans ?
		\item Expliquer pourquoi l'âge médian des chefs d'exploitation agricole est nécessairement entre 45 et 55 ans.

Pour déterminer l'âge médian, la répartition des âges dans la classe [45~;~55[ est donnée par le tableau suivant :

\[\begin{array}{|*{11}{c|}}\hline
\text{ÂGE}&45&46&47&48&49&50&51&52&53&54\\ 
\text{EFFECTIF}&18&21&24&31&30&31&30&27&28&20\\ \hline
\end{array}\]

Combien de chefs d'exploitation ont 45 ans ou moins ?

Justifier que l'âge médian est de 51 ans.
		\item Les premier et troisième quartiles de la série des âges sont 42 et 58.

Construire le diagramme en boîte de cette série en prenant compte des valeurs extrêmes 18 et 65.

On choisira comme échelle 2 mm pour une année.
	\end{enumerate}

\item Le diagramme en boîte des âges des chefs d'exploitation de 50 ha à 100 ha et celui des chefs d'exploitation de moins de 10 ha sont représentés ci-dessous.

\begin{center}\psset{xunit=1.4cm}\begin{pspicture}(6.5,1.5)
\psline(2.4,0.7)(2.4,0.8)
\psline(2.4,.75)(4.2,0.75)
\psline(5.4,0.75)(6.5,0.75)
\psline(6.5,0.7)(6.5,0.8)
\psframe(4.2,0)(5.4,1.5)
\psline(4.7,0)(4.7,1.5)
\uput[d](2.4,0){24} \uput[d](4.2,0){42} \uput[d](4.7,0){47} 
\uput[d](5.4,0){54} 
\uput[d](6.5,0){65}
\rput(0,1.2){exploitations de}
\rput(0,0.7){50 à 100 ha}\end{pspicture}   \end{center}

\vspace{0,8cm}

\begin{center}\psset{xunit=1.4cm}\begin{pspicture}(6.5,1.5)
\psline(1.8,0.7)(1.8,0.8)
\psline(1.8,.75)(4.3,0.75)
\psline(6.0,0.75)(6.3,0.75)
\psline(6.3,0.7)(6.3,0.8)
\psframe(4.3,0)(6.0,1.5)
\psline(5.7,0)(5.7,1.5)
\uput[d](1.8,0){18} \uput[d](4.3,0){43} \uput[d](5.7,0){57} 
\uput[d](6.0,0){60} 
\uput[d](6.3,0){63}
\rput(0,1.2){exploitations de}
\rput(0,0.7){moins de  10 ha}\end{pspicture}   \end{center}

Un journaliste a écrit : \og Dans leur ensemble les chefs d'exploitation de 50 à 100~ha sont plus jeunes que les chefs d'exploitation de moins de 10 ha. \fg{}

Commenter cette affirmation en utilisant ces diagrammes en boîtes.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2 Programme d'entrainement} \hfill 11 points}

\medskip

Aline, Blandine et Caroline décident de reprendre l'entraînement à vélo chaque samedi pendant 15~semaines. à l'aide d'un tableur, chacune a établi son programme d'entraînement.
 Elles parcourent 20~km la première semaine et souhaitent effectuer ensemble une sortie la quinzième semaine.

L'annexe reproduit l'état final de la feuille de calcul utilisée. La valeur de certaines cellules a été masquée.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Programme d'entraînement d'Aline}

\medskip

La distance parcourue par Aline chaque semaine est représentée sur le graphique de l'annexe et certaines distances figurent dans la colonne B du tableau.

On note $U(n)$ la distance parcourue la $n$-ième semaine. Ainsi $U(1) = 20$ et $U(15)~=~118$.

\begin{enumerate} 
\item En utilisant des valeurs de la colonne B et le graphique :
	\begin{enumerate} 
		\item Conjecturer la nature de la suite des nombres $U(n)$. (Justifier la réponse donnée)
		\item Exprimer alors $U(n)$ en fonction de $n$ pour tout entier $n$ compris entre 1 et 15.
	\end{enumerate}
\item Calculer la distance parcourue par Aline  la dixième semaine.
\item Quelle formule, recopiable vers la droite, a-t-elle saisie dans la cellule B23 pour calculer la distance moyenne parcourue par chacune au cours des entraînements ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : Programme d'entraînement de Blandine}

\medskip

Blandine parcourt 20~km la première semaine. Elle veut augmenter chaque semaine d'un même pourcentage la distance parcourue de telle sorte que la distance parcourue à la quinzième semaine soit, à l'unité près, 118 km. Pour cela elle a testé différents pourcentages écrits dans la cellule C3.
\begin{enumerate} 
\item Quelle formule a-t-elle saisie dans la cellule C7 puis recopiée vers le bas de C8  à C20, sachant que les résultats se sont actualisés automatiquement lorsqu'elle a modifié le pourcentage d'augmentation hebdomadaire ?
\item Les essais lui ont permis de trouver qu'une augmentation hebdomadaire de $13,5\,\%$ convient.

On note $V(n)$ la distance parcourue par Blandine la $n$-ième semaine.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la nature de la suite des nombres $V(n)$ ? (Justifier la réponse donnée).
		\item Exprimer $V(n)$ en fonction de $n$ pour tout entier $n$ compris entre 1 et 15.
		\item Quelle distance Blandine parcourt-elle  la dixième semaine ?
	\end{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'augmentation de la distance parcourue entre la première et la quinzième semaine.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C : Programme d'entraînement de Caroline}

\medskip

Caroline parcourt 20~km la première semaine, Pour calculer les distances parcourues les semaines suivantes, elle a saisi dans la cellule D7 la formule :

= D6*(1+\$D\$3)+\$D\$2 et l'a recopiée vers le bas de D8 à D20.

\begin{enumerate} 
\item La valeur figurant dans la cellule D7 a été masquée. Quelle est cette valeur ?
\item Quelle est la formule contenue par la cellule D8 ?
\item On note $W(n)$ la distance parcourue par Caroline la $n$-ième semaine.
La suite des nombres $W(n)$ est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? Justifier les réponses.
\item Calculer la distance moyenne parcourue par Caroline au cours de ses entraînements.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\hspace{0,5cm}  \textbf{Annexe}

\medskip

{\footnotesize\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
 & A & B & C & D\\ \hline
 & &Programme d'entraî- &Programme d'entraî- &Programme 
d'entraî-\\ 
1& &nement d'Aline &nement de Blandine &nement de Caroline \\ \hline
&&&Pourcentage&4 \\
&&&d'augmentation & \\ \hline
3 &&&$13,50\,\%$ & $5 \,\%$ \\ \hline
 & & Distance $U(n)$ parcou- & Distance $V(n)$ parcou- &Distance $W(n)$ 
 parcou- \\ 
4 &&rue par Aline  &rue par Blandine  &rue par Caroline \\ 
&&la semaine $n$ (en km) &la semaine $n$ (en km) &la semaine 
$n$ (en km) \\ \hline
5&&&&\\ \hline
6& semaine 1 & 20&20&20\\ \hline
7 & semaine2 &27 & 22,7 & \\ \hline
8& semaine 3 &&&30,250\\ \hline
9& semaine 4 & && \\ \hline
10 & semaine 5 & 48 &33,190 &41,551\\ \hline
11&semaine 6 & & 37,671&47,628\\ \hline
12 & semaine 7 &62&42,757&54,010\\ \hline
13 & semaine 8&69&48,529&60,710\\ \hline
14 & semaine 9&&55,060&67,746\\ \hline
15 & semaine 10&&&\\ \hline
16 & semaine 11&&&82,889\\ \hline
17 & semaine 12&97&80,535&\\ \hline
18 & semaine 13&&&99,586\\ \hline
19 & semaine 14&111&103,747&108,585\\ \hline
20 & semaine 15&118&117,753&117,993\\ \hline
21 & &&& \\ \hline
22 & Distance totale&1035&841,849&957,856 \\ 
& parcourue&&&\\ \hline
23& Distance&&& \\ 
&moyenne&69&56,123& \\ \hline
\end{tabular}} 

\vspace{1,5cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.5mm}
\begin{pspicture}(15,140)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(15,0) 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,140)
\rput(7,-15){semaine}
\rput{90}(-1.5,80){distance en km}
\multido{\n=0+20}{8}{\psline(-0.2,\n)(15,\n)}
\multips(0,0)(1,7){15}{\qdisk(1,20){2.5pt}}
\rput(8,150){\textbf{Distance parcourue par Aline}}
\multido{\n=0+1}{16}{\uput[d](\n,0){\n}}
\multido{\n=0+20}{8}{\uput[l](0,\n){\n}}
\multido{\n=0+1}{15}{\psline(\n,-0.5)(\n,0.5)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}