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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\lhead{\small Baccalauréat 1L mathématiques--informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
    
\begin{center}    {\Large \textbf{Baccalauréat Mathématiques--informatique\\Métropole La Réunion septembre 2010}} 
\end{center}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 13 points}

\medskip

Madame et Monsieur IXE souhaitent emprunter \np{210000}~\euro{} afin d'acheter une villa.
 
Ils étudient deux propositions de prêts sur une durée de 20 ans à partir du 1\up{er} janvier 2010.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Les mensualités de remboursement du prêt proposé par la banque AZUR sont de 800~\euro{} la première année puis augmentent, chaque année, de 50~\euro. 
\item  Les mensualités de remboursement du prêt proposé par la banque SUD sont de 900~\euro{} la première année puis augmentent, chaque année, de 3\:\%.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{PARTIE 1 :} Comparaison graphique des propositions

\medskip
 
Sur l'axe des abscisses sont placées les vingt années de remboursement, ainsi l'année 2010 est d'abscisse 0 et l'année 2029 est d'abscisse 19.
 
Sur l'axe des ordonnées sont placées les mensualités de chaque année de remboursement. 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.008cm}
\begin{pspicture}(-1,480)(21,1950)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=500,Dy=200](0,500)(21,1900)
\multido{\na=0+1,\nb=800+50}{20}{\psdots[dotscale=1.2](\na,\nb)}
\psdots[dotstyle=square*,dotscale=1.2](0,900)(1,927)(2,954.81)(3,983.45)(4,1012.86)(5,1043.35)(6,1074.65)(7,1106.89)(8,1140.09)(9,1174.29)(10,1209.52)(11,1245.81)(12,1283.18)(13,1321.68)(14,1361.33)(15,1402.17)(16,1444.24)(17,1487.56)(18,1532.19)(19,1578.16)}
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,500)(\n,1900)}
\multido{\n=500+200}{8}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)}
\uput[u](21,500){$n$} \uput[u](0,1900){\euro}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Pourquoi peut-on affirmer que la proposition de la banque AZUR est représentée ci-dessus par les points marqués par des ronds ? Justifier. 
\item Une seule des propositions de prêt est représentée par des points alignés. Laquelle ?
 
Expliquer cet alignement. 
\item Lire les ordonnées des deux points d'abscisse 10. Donner la signification de ces coordonnées. 
\item À compter de quelle année les mensualités du prêt proposé par la banque AZUR semblent-elles dépasser celles de la banque SUD ? 
\item Donner un ordre de grandeur de la différence entre les deux mensualités lors de la dernière année de remboursement.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{PARTIE 2 : Tous les résultats seront arrondis au centième}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On s'intéresse au prêt proposé par la banque AZUR. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le montant que devront verser Monsieur et Madame IXE à la banque AZUR pour l'ensemble de l'année 2010 s'ils souscrivent à ce prêt ?
		 
On note $u_{0}$ le montant d'une mensualité en 2010, $u_{1}$ le montant d'une mensualité en 2011 et plus généralement, pour $n$ entier compris entre 0 et 19, on note $u_{n}$ le montant d'une mensualité en $2010 + n$. Ainsi $u_{0} = 800$. 
		\item  Donner $u_{1}$ puis $u_{2}$. 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ pour les entiers $n$ compris entre 0 et 19. 
		\item Quel sera le montant d'une mensualité en 2019 ?
	\end{enumerate}
	 \item On s'intéresse au prêt proposé par la banque SUD. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le montant que devront verser Monsieur et Madame IXE à la banque SUD pour l'ensemble de l'année 2010 s'ils souscrivent à ce prêt ? 
		
On note $v_{0}$ le montant d'une mensualité en 2010, $v_{1}$ le montant d'une mensualité en 2011 et plus généralement, pour $n$ entier compris entre 0 et 19, on note $v_{n}$ le montant d'une mensualité en $2010 + n$. Ainsi $v_{0} = 900$. 
		\item Donner $v_{1}$ puis $v_{2}$. 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? En déduire une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ pour les entiers $n$ compris entre 0 et 19. 
		\item Quel sera le montant d'une mensualité en 2019 ? Arrondir au centime d'euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{PARTIE 3 : Comparaison des propositions à l'aide d'un tableur}

\medskip
 
En \textbf{annexe 1} vous trouverez un tableau extrait d'une feuille de calcul, certains contenus sont masqués.
 
\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on placer en cellule C3 pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, la valeur des termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item Quelle formule contient alors la cellule C10 ? Vérifier la cohérence de la formule proposée avec la valeur \np{1200}~\euro{} contenue dans la cellule C10. 
\item La cellule H1 est au format pourcentage.
 
Parmi les formules suivantes, quelles sont toutes celles qui, placées dans la cellule E3 et recopiées automatiquement vers le bas, permettent d'obtenir les termes de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\fbox{= E2*3}&\fbox{=E2*3\:\%}&\fbox{= E2*1,03}\\ 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\fbox{=E2*\$H\$11}& \fbox{=E2*(1 +H\$1)}& \fbox{= E2*(1+\$H1)}\\
\end{tabularx} 

\item Quelle formule peut-on placer en D22 pour calculer le montant total du prêt dans le cas de la banque AZUR ? 
\item Calculer le coût du crédit pour chacune des banques (c'est-à-dire le total de ce qui est à payer en plus des \np{210000}~\euro{} qui sont à rembourser).
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

Le PICO DE TEIDE est un volcan situé au centre de l'île de TENERIFE (archipel des CANARIES). C'est le point culminant de l'ESPAGNE.
 
Vous trouverez en annexe 2 la carte d'une partie de l'île de TENERIFE. Cette carte est agrandie en annexe 3.
 
Les courbes de niveau sont indiquées en mètres. Une route principale (en foncé) ceinture l'île.
 
Les nombres situés sur la partie blanche de la carte de l'annexe 2 indiquent des profondeurs, en mètres.
 
\begin{enumerate}
\item Donner l'altitude du point culminant de l'île. 
\item Quelle est la différence d'altitude (dénivelé) entre deux courbes de niveau consécutives? 
\item À quelle altitude se trouve le village de LA OROTA V A ? 
\item Le PICO VIEJO est un volcan jumelé au PICO DE TEIDE. Il est d'altitude 3 134 met n'apparaît pas sur la carte. 
Où le positionneriez-vous par rapport au PICO DE TEIDE ? Expliquer votre réponse. 
\item Représenter sur l'annexe 41e profil de la coupe du relief entre SAN JUAN sur la côte et PICO DE TEIDE pris en ligne droite. 
Pour construire le profil vous placerez tous les points du trajet situés sur une courbe 
de niveau. 
\item  	Pourquoi n'y a pas de route qui relie directement GUIMAR à LA OROTAVA ? 
\item  	Quelle est la forme du relief sous-marin autour de l'île ? Plutôt plate ou pentue ? Justifier. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{0.5cm}|p{0.8cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|}\hline 
&A &B &C&D &E &F &G &H \\ \hline
1&\small Rang $n$&\small Année $2010 + n$&\small Mensua\-lités $u_{n}$ en \euro& 
\small Montant annuel payé à AZUR&
\small Mensua\-lités $v_{n}$ en \euro&
\small Montant annuel payé à SUD &50 &3\:\%\\ \hline 
2 &0 &2010 &800,00&& 900,00&&&\\ \hline 
3 &1 &2011&&&&&&\\ \hline 
4 &2 &2012&&&&&&\\ \hline  
5 &3 &2013& 950,00~\euro& \np{11400,00}~\euro& \np{983,45} ~\euro& \np{11801,45} ~\euro&&\\ \hline  
6 &4& 2014 &\np{1000,00}~\euro& \np{12000,00}~\euro &\np{1012,96}~\euro &\np{12155,50} ~\euro&&\\ \hline  
7 &5 &2015 &\np{1050,00}~\euro& \np{12600,00}~\euro &\np{1043,35} ~\euro &\np{12520,16} ~\euro &&\\ \hline
8 &6 &2016 &\np{1100,00}~\euro &\np{13200,00}~\euro &\np{1074,65}~\euro &\np{12895,76} ~\euro&&\\ \hline 
9 &7 &2017 &\np{1150,00}~\euro& \np{13800,00}~\euro &\np{1106,89} ~\euro& \np{13282,64} ~\euro&&\\ \hline  
10 &8 &2018 &\np{1200,00}~\euro &\np{14400,00} ~\euro &\np{1140,09}~\euro &\np{13681,12} ~\euro&&\\ \hline   
11 &9 &2019 &&&&&&\\ \hline
12 &10 &2020 &\np{1300,00}~\euro &\np{15600,00} ~\euro &\np{1209,52}~\euro &\np{14514,30} ~\euro&&\\ \hline   
13 &11 &2021 &\np{1350,00}~\euro &\np{16200,00}~\euro &\np{1245,81}~\euro &\np{14949,73}~\euro&&\\ \hline   
14 &12 &2022 &\np{1400,00}~\euro &\np{16800,00}~\euro &\np{1283,18} ~\euro &\np{15398,22}~\euro&&\\ \hline   
15& 13& 2023& \np{1450,00}~\euro& \np{17400,00}~\euro& \np{1321,68} ~\euro& \np{15860,16} ~\euro&&\\ \hline 
16& 14& 2024& \np{1500,00}~\euro& \np{18000,00}~\euro & \np{1361,33}~\euro& \np{16335,97}~\euro&&\\ \hline 
17& 15& 2025& \np{1550,00}~\euro& \np{18600,00} ~\euro& \np{1402,17}~\euro& \np{16826,05} ~\euro&&\\ \hline 
18& 16& 2026& \np{1600,00}~\euro& \np{19200,00}~\euro& \np{1444,24}~\euro& \np{17330,83} ~\euro &&\\ \hline
19& 17& 2027& \np{1650,00}~\euro& \np{19800,00} ~\euro& \np{1487,56}~\euro& \np{17850,75} ~\euro&&\\ \hline 
20& 18& 2028& \np{1700,00}~\euro& \np{20400,00}~\euro& \np{1532,19}~\euro& \np{18386,28} ~\euro &&\\ \hline
21& 19& 2029& \np{1750,00}~\euro& \np{21000,00}~\euro& \np{1578,16}~\euro& \np{18937,87} ~\euro&&\\ \hline 
22&&& Coût total en ~\euro &\np{306000,00} ~\euro&& \np{290200,04} ~\euro &&\\ \hline 
\end{tabularx}}
\medskip
\end{center}
\newpage
\begin{landscape}
\begin{pspicture}(20,15)

\rput(9.5,7){\includegraphics[width=17cm]{MapaTeide.eps}}
\psgrid

\rput(7,0.6){\small 91}
\end{pspicture}
\end{landscape}
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