\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{colortbl}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\textwidth}{15cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Baccalauréat L mathématiques--informatique}%tapez un titre
\rfoot{\small{novembre 2008}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large  \decofourleft~Baccalauréat L Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
    Épreuve anticipée Mathématiques-informatique\\ novembre 2008
 Durée : 1 heure 30}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points}

\medskip

Une grande entreprise étudie l'évolution de la proportion de femmes parmi ses salariés.

\medskip

\emph{Les trois parties sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A :  Étude de la situation sur les deux dernières années.}

\medskip

Le tableau suivant donne le nombre d'hommes et de femmes salariés dans l'entreprise au 1\up{er} janvier 2007 et au 1\up{er} janvier 2008.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|p{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\multicolumn{1}{|c|}{A}&B&C& \\ \hline
1&&	1/1/2007&	1/1/2008&  \\ \hline
2&Nombre d'hommes&	\np{21000}&\np{19700}&\\ \hline
3&Nombre de femmes&	\np{11000}	&\np{10700}&\\ \hline
4&Nombre total de salariés&	\np{32 000}&	\np{30400}&\\ \hline
5&Pourcentage des femmes  parmi les salariés&	34,4\:\%&	35,2\:\%& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Les cellules B5 et C5 sont au format \og pourcentage \fg. Pour calculer leurs valeurs, on a inscrit une formule en B5, que l'on a recopiée en C5. 

Quelle formule a-t-on inscrite en B5 ?

\item  La colonne D est au format \og pourcentage \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  Dans la cellule D2, on inscrit la formule : \fbox{=(C2-B2)/B2}.
		
Que calcule cette formule ?
		\item On recopie la formule de la cellule D2 vers le bas jusqu'à la cellule D4. 
		
Quelle formule contient maintenant la cellule D4 ?
		\item Quel résultat obtient-on dans la cellule D4 ?
	\end{enumerate}
\item Expliquer pourquoi le pourcentage de femmes salariées dans l'entreprise a augmenté, bien que le nombre de femmes dans l'entreprise ait diminué.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B :  Évolution du nombre de femmes et du nombre de salariés dans l'entreprise}

\medskip

On note $u_{0}$ le nombre de femmes dans l'entreprise au 1\up{er} janvier 2007, et $u_{n}$ le nombre de femmes dans l'entreprise au 1\up{er} janvier de l'année $2007 +  n$.

\medskip
 
On note $v_{0}$ le nombre total de salariés dans l'entreprise au 1\up{er} janvier 2007, et $v_{n}$ le nombre total de salariés dans l'entreprise au 1\up{er} janvier de l'année $2007 + n$.

\medskip
 
Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de femmes et du nombre total de salariés dans l'entreprise. Les lignes 8 à 25 n'apparaissent pas.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D\\ \hline
1&&& Nombre de femmes&	Nombre total de salariés\\ \hline
2&&$n$&$u_{n}$&$v_{n}$\\ \hline
3& 1/1/2007&	0& \np{11000}&\np{32000}\\ \hline
4&1/1/2008	&	1& \np{10700}&\np{30400}\\ \hline
5&1/1/2009	&	2&			&\\ \hline
6&1/1/2010	&	3&			&\\ \hline
7&1/1/2011	&	4&			&\\ \hline
\ldots&	&	&			&\\ \hline
26&1/1/2030&23	&			&\\ \hline
\end{tabularx} 
 \end{center}
\begin{enumerate}
 
\item  On suppose que le nombre de femmes dans l'entreprise diminue chaque année de 300. 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
		\item  Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
		\item  Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item  Calculer $u_{23}$.
	\end{enumerate}
\item   On suppose que le nombre de salariés dans l'entreprise diminue chaque année de 5\,\%. 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 
		\item  Quelle formule peut-on placer dans la cellule D4 puis recopier vers le bas jusqu'en D26 pour calculer les termes de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
		\item  Justifier que $v_{n} = \np{32000} \times (0,95)^n$. 
		\item  Calculer $v_{23}$ (arrondir à une unité près).
	\end{enumerate}
\item   Si les hypothèses des questions précédentes sont vérifiées, quel sera le pourcentage de femmes parmi les salariés de l'entreprise le 1\up{er} janvier 2030 ? (arrondir à 0,1\,\% près.)
\end{enumerate} 

\medskip 
 
\textbf{Partie C : Évolution de la proportion de femmes parmi les salariés de l'entreprise}
 
 \medskip

Le modèle étudié dans la partie B permet d'obtenir le graphique suivant qui montre l'évolution de la proportion de femmes parmi les salariés de l'entreprise au cours des années à venir. Chaque point correspond à la proportion estimée au premier janvier d'une année.
 
\medskip

\begin{center} 
\psset{xunit=0.4375cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(0,30)(24,45)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,30)(24,45)
\multido{\n=30+5}{4}{\uput[l](0,\n){\n\:\%}}
\multido{\n=0+4}{7}{\psline(\n,30)(\n,45)}
\multido{\n=30+5}{4}{\psline(0,\n)(24,\n)}
\multido{\n=0+4,\na=2007+4}{6}{\uput[d](\n,30){1/1/\na}}
\pscurve[showpoints=true](0,34.375)(1,35.197)(2,36.01)(3,36.81)(4,37.6)(5,38.37)(6,39.1)(7,39.83)(8,40.5)(9,41.15)(10,41.755)(11,42.304)(12,42.796)(13,43.22)(14,43.57)(15,43.84)(16,44.02)(17,44.096)(18,44.057)(19,43.891)(20,43.59)(21,43.13)(22,42.499)(23,41.686)
\psplot[linecolor=blue]{0}{23}{1100 30 x mul sub 0.95 x exp 32 mul  div}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip

Répondre aux questions suivantes par lecture du graphique, et en supposant que le modèle est valide jusqu'en 2030.

\begin{enumerate}
\item  Quelle sera la proportion de femmes parmi les salariés de l'entreprise le 1\up{er} janvier 2023 ?
\item  Au cours de quelle année la proportion de femmes dépassera-t-elle 40\:\% ?
\item  Au premier janvier de quelle année la proportion de femmes sera-t-elle la plus grande ?
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

On mesure la quantité d'une certaine molécule M dans le sang de plusieurs groupes de personnes,
\begin{itemize}
\item  un groupe A de \np{5000}~individus en bonne santé,
\item  un groupe de $100$~individus souffrant d'une même maladie P répartis au hasard en deux groupes :
	\begin{itemize}
		\item  un groupe B de $50$~individus qui ne reçoivent pas de traitement,
		\item  un groupe C de $50$~individus qui reçoivent un traitement.
 	\end{itemize}
\end{itemize} 
La quantité est mesurée en $\mu$g/L (microgramme par litre).

\bigskip
  
\textbf{Partie A : Étude du groupe A}
  
\medskip

La série de données recueillies dans le groupe A (appelée série de référence) correspond à des données gaussiennes. La plage de normalité à 95\,\% obtenue pour cette série de référence est l'intervalle [120~;~ 160].

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour approximativement quel nombre d'individus du groupe A le dosage a-t-il été dans la plage de normalité ?
\item  Quelle est la moyenne de la série de référence ?
\item  Quel est l'écart-type de la série de référence ?
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B : Étude du groupe B}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne les résultats obtenus pour le groupe B
  
\medskip
  
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Quantité ($\mu$g/L)&	130& 135& 140& 145& 150& 155 &160& 165& 170&175&180&185&190\\ \hline
Effectifs&	2&	3&	3&	5&	3&	4&	3&	7&	5&	6&3&2& 	4\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour quel pourcentage des individus du groupe B la quantité mesurée est-elle dans la plage de normalité [120~;~160] ?
\item  Calculer les effectifs cumulés croissants de cette série. Compléter le tableau donné sur la feuille annexe.
\item  Déterminer la médiane et les quartiles de cette série statistique.
\item  Tracer le diagramme en boîtes de cette série sur la feuille annexe. Prendre pour extrémités le minimum et le maximum de la série.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Étude du groupe C}

\medskip
 
Les données recueillies pour le groupe C ont été résumées dans le diagramme en boîtes tracé sur l'annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour approximativement quel pourcentage des individus du groupe C la quantité mesurée est-elle dans la plage de normalité [120~;~ 160] ?
\item  Quel semble être l'effet du traitement sur les individus du groupe C par comparaison avec ceux du groupe B?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Feuille annexe \vspace{0,5cm} (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : partie B 2.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Quantité ($\mu$g/L)&	130& 135& 140& 145& 150& 155 &160& 165& 170&175&180&185&190\\ \hline
Effectifs&	2&	3&	3&	5&	3&	4&	3&	7&	5&	6&3&2& 	4\\ \hline
Effectifs cumulés croissants&&&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 : partie B 4.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.2cm}
\begin{pspicture}(118,0)(192.5,25)
\multido{\n=127.5+2.5}{27}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,25)}
\multido{\n=0.0+2.5}{11}{\psline[linewidth=0.25pt](127.5,\n)(192.5,\n)}
\multido{\n=130+5}{13}{\uput[d](\n,0){\n}}
\psframe[linewidth=1pt](140,5)(160,10)
\psline[linewidth=1pt](130,5)(130,10) \psline[linewidth=1pt](180,5)(180,10) 
\psline[linewidth=1pt](130,7.5)(140,7.5) \psline[linewidth=1pt](160,7.5)(180,7.5)
\psline[linewidth=1pt](150,5)(150,10)
\uput[l](125,7.5){Groupe C}\uput[l](125,17.5){Groupe B}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
