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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2012},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\lhead{\small Baccalauréat 1L mathématiques--informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Antilles Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{Baccalauréat Mathématiques--informatique\\[7pt] Antilles Guyane 16 juin 2011}} 
\end{center}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Une étude est effectuée sur les performances d'athlètes, coureurs de 100~m.}

\medskip


\textbf{Partie A: étude de l'évolution des performances}

\smallskip

Le tableau ci-dessous indique les meilleurs temps enregistrés sur 100~m par un sportif de haut niveau les quatre dernières années.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Année & 2007 & 2008 & 2009 & 2010 \\
\hline 
Temps réalisé (en s)& \np{11,5} & \np{11,04} & \np{10,6} & \np{10,2}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}



\begin{enumerate}
\item Montrer par le calcul qu'entre l'année 2007 et l'année 2008 le temps réalisé a diminué de 4~\%.
\item Calculer le pourcentage de diminution du temps réalisé entre 2008 et 2009 puis entre 2009 et 2010 (arrondir au dixième dans chaque cas).
\item On propose un modèle mathématique pour décrire l'évolution des performances de cet athlète.\\
On note $T_0$ le temps réalisé en 2007 et $T_n$ le temps théorique calculé pour l'année $2007+n$ ($n$ étant un entier naturel).\\
On modélise les temps théoriques à l'aide de la suite numérique définie par:
\[
T_0=\np{11,5}\qquad \text{ et }\qquad T_{n+1}=T_n\times\np{0,96}.
\]
\begin{enumerate}
\item Préciser la nature et la raison de cette suite.
\item Déterminer l'expression de $T_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $T_3$, le temps théorique calculé pour 2010 (arrondir au centième). Le modèle théorique vous paraît-il valable?
\end{enumerate}

\item Avec le modèle proposé, quel pourrait être le temps théorique réalisé en 2011 par cet athlète~? (Arrondir au centième.)
\item Calculer $T_{10}$ (arrondir au centième). Le modèle théorique vous paraît-il toujours valable~? (\emph{\textbf{Indication}: le record du monde de la spécialité était de $\np{9,58}$~s en $2010$}).
\end{enumerate}





\textbf{Partie B: étude de la course}

\smallskip

On met en place à côté de la piste d'athlétisme un dispositif constitué d'un appareil comportant des capteur placés tous les 10 mètres à partir de 5 mètres du départ et qui mesurent la vitesse instantanée (en mètres par seconde: m/s ou m.s$^{-1}$).

Les résultats sont indiqués dans la feuille de calcul de l'\textbf{annexe 1}.

On peut ainsi lire qu'au bout de 65 mètres, la vitesse maximale est atteinte et qu'elle est de \np{11,83}~m/s.

\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C1 pour remplir la ligne 1 par une recopie automatique vers la droite~?
\item La ligne 3 du tableau donne le pourcentage de la vitesse atteinte au niveau de chaque capteur par rapport à la vitesse maximale. Quelle formule a pu être saisie  dans la cellule B3  pour effectuer ensuite une recopie vers la droite~?
\item Pour convertir une vitesse exprimée en m/s en une vitesse exprimée en km/h il faut multiplier par \np{3,6}. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B4 pour remplir la ligne 4 par une recopie automatique vers la droite~?
\item La course est représentée par une courbe représentant la vitesse instantanée (en m/s) du coureur en fonction de la distance (en m) parcourue depuis le départ~? Quelle est la bonne représentation graphique parmi celles fournies dans l'\textbf{annexe 1}~? Justifier.
\end{enumerate}



\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}


En ville la vitesse est limitée à 50~km/h. Les autorités effectuent une enquête dans une zone où il semble y avoir des excès de vitesse. Un dispositif est mis en place pour mesurer les dépassements de la vitesse autorisée. On relève un échantillon de 125 mesures effectuées sur des véhicules en excès de vitesse. Le tableau ci-dessous indique les résultats de cette enquête.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Dépassement de la} & & & & & & & & & & \\
\textbf{vitesse autorisée} & \phantom{1}1 &\phantom{1}2 & \phantom{1}3 & \phantom{1}4 & \phantom{1}5 & \phantom{1}6 & \phantom{1}7 & \phantom{1}8 & \phantom{1}9 & 10 \\
\textbf{en km/h} & & & & & & & & & & \\
\hline
\textbf{Nombre de véhicules} & 5 & 6  & 5 & 5 & 12 & 7 & 6 & 7 & 6 & 4\\
\hline
\end{tabular}
\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Dépassement de la} & & & & & & & & & & \\
\textbf{vitesse autorisée} & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\
\textbf{en km/h} & & & & & & & & & & \\
\hline
\textbf{Nombre de véhicules} & 5 & 6  & 5 & 5 & 11 & 8 & 6 & 7 & 6 & 3\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne des dépassements de la vitesse autorisée (arrondir à \np{0,1} près).
\item Quel est le pourcentage des véhicules pour lesquels le dépassement de la vitesse autorisée est supérieur ou égal à 10~km/h~?
\item Déterminer la médiane et les quartiles de cette série.
\item Des aménagements urbains destinés à ralentir les véhicules et à prévenir les conducteurs sont mis en place. Quelque temps après, on effectue alors une nouvelle étude sur 125 véhicules en excès de vitesse. On donne le diagramme en boîte de cette nouvelle série (les extrémités correspondent au minimum et au maximum):
\begin{center}
\psset{xunit=6mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(16,2.5)
\psaxes[Ox=0,Dx=1,labels=none](0,0)(16,0)
\uput[-90](0,0){0}
\uput[-90](5,0){5}
\uput[-90](10,0){10}
\uput[-90](15,0){15}
\psline(2,2)(5,2)
\psline(10,2)(15,2)
\psframe(5,1.5)(10,2.5)
\psline[linewidth=1.5pt](8,1.5)(8,2.5)
\end{pspicture}
\end{center}
Déterminer $Q_1$, $M$ et $Q_3$.
\item Après les aménagements, chacune des affirmations suivante est-elle vraie ou fausse~? Justifier.
\begin{enumerate}
\item Le quart exactement des automobilistes en excès de vitesse dépassent la vitesse autorisée de 8~km/h ou de plus de 8~km/h.
\item La médiane a diminué de 2~km/h.
\end{enumerate}

\item Un sondage est réalisé auprès de 250 personnes après les aménagements. On leur demande si les mesures mises en place ont modifié ou non leurs habitudes de conduite à cet endroit. Voici les résultats:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& A modifié ses & N'a pas modifié  & Sans opinion  & Total \\
& habitudes & ses habitudes &&\\
\hline
Homme & 40 & 50 & 35 & 125 \\
\hline
Femme & 60 & 45 & 20 & 125 \\
\hline
Total & 100 & 95 & 55 & 250 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quel est le pourcentage de conducteurs qui ont déclaré avoir modifié leurs habitudes~?
\item Parmi les femmes interrogées, quel est le pourcentage de celles qui déclarent avoir modifié leurs habitudes~?
\item Parmi les personnes qui ont modifié leurs habitudes, quel est le pourcentage d'hommes~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\centering{\large\textbf{Annexe 1}}
\setlength{\hoffset}{-2cm}


\medskip

\begin{center}
\small
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\blue A&\blue B&\blue C&\blue D&\blue E&\blue F&\blue G&\blue H&\blue I&\blue J&\blue K\\
\hline
\blue 1& \begin{tabular}{c}Distance\\ (en m)\end{tabular} & 5 & 15 & 25 & 35 & 45 & 55 & 65 & 75 & 85 & 95\\
\hline
\blue2 & \begin{tabular}{c}Vitesse\\ instantanée\\ (en m/s)\end{tabular} &\np{5,25}&\np{9,70}&\np{10,83}&\np{11,42}&\np{11,72}&\np{11,79}&\np{11,83}&\np{11,80}&\np{11,67}&\np{11,57}\\
\hline
\blue 3 & \begin{tabular}{c}Pourcentage\\ de la \\ vitesse\\ maximale\end{tabular}& \np{44,4}& \np{82} & \np{91,6} & \np{96,6} & \np{99} & \np{99,7} & 100 & \np{99,7} & \np{98,7} & \np{97,8} \\
\hline
\blue 4 & \begin{tabular}{c} Vitesse\\ instantanée \\ (en km/h) \end{tabular}& \np{18,9}& & & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}




\begin{tabular}{c|c|c}

\footnotesize{vitesse instantanée du coureur} &\footnotesize{vitesse instantanée du coureur} &\footnotesize{vitesse instantanée du coureur} \\
\psset{xunit=0.5mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-15,-4)(90,14)
\psline[linecolor=lightgray](0,2)(90,2)
\psline[linecolor=lightgray](0,4)(90,4)
\psline[linecolor=lightgray](0,6)(90,6)
\psline[linecolor=lightgray](0,8)(90,8)
\psline[linecolor=lightgray](0,10)(90,10)
\psline[linecolor=lightgray](0,12)(90,12)
{\footnotesize
\psaxes[labels=y,Dx=10,Dy=2,axesstyle=frame](0,0)(90,14)
}
\uput[-90](5,0){\footnotesize 5}
\uput[-90](15,0){\footnotesize 15}
\uput[-90](25,0){\footnotesize 25}
\uput[-90](35,0){\footnotesize 35}
\uput[-90](45,0){\footnotesize 45}
\uput[-90](55,0){\footnotesize 55}
\uput[-90](65,0){\footnotesize 65}
\uput[-90](75,0){\footnotesize 75}
\uput[-90](85,0){\footnotesize 85}
\rput[b]{0}(45,-3){\footnotesize distance (en m)}
\rput[b]{90}(-12,7){\footnotesize vitesse (en m/s)}
\psline[linecolor=magenta](5,5.19)(15,9.67)(25,10.79)(35,11.4)(45,11.71)(55,11.76)(65,11.76)(75,11.76)(85,11.81)
\end{pspicture}

&
\psset{xunit=0.5mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-15,-4)(90,14)
\psline[linecolor=lightgray](0,2)(90,2)
\psline[linecolor=lightgray](0,4)(90,4)
\psline[linecolor=lightgray](0,6)(90,6)
\psline[linecolor=lightgray](0,8)(90,8)
\psline[linecolor=lightgray](0,10)(90,10)
\psline[linecolor=lightgray](0,12)(90,12)
{\footnotesize
\psaxes[labels=y,Dx=10,Dy=2,axesstyle=frame](0,0)(90,14)
}
\uput[-90](5,0){\footnotesize 5}
\uput[-90](15,0){\footnotesize 15}
\uput[-90](25,0){\footnotesize 25}
\uput[-90](35,0){\footnotesize 35}
\uput[-90](45,0){\footnotesize 45}
\uput[-90](55,0){\footnotesize 55}
\uput[-90](65,0){\footnotesize 65}
\uput[-90](75,0){\footnotesize 75}
\uput[-90](85,0){\footnotesize 85}
\rput[b]{0}(45,-3){\footnotesize distance (en m)}
\rput[b]{90}(-12,7){\footnotesize vitesse (en m/s)}
\psline[linecolor=magenta](5,5.25)(15,9.7)(25,10.83)(35,11.42)(45,11.72)(55,11.79)(65,11.83)(75,11.9)(85,11.67)

\end{pspicture}

&
\psset{xunit=0.5mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-15,-4)(90,14)
\psline[linecolor=lightgray](0,2)(90,2)
\psline[linecolor=lightgray](0,4)(90,4)
\psline[linecolor=lightgray](0,6)(90,6)
\psline[linecolor=lightgray](0,8)(90,8)
\psline[linecolor=lightgray](0,10)(90,10)
\psline[linecolor=lightgray](0,12)(90,12)
{\footnotesize
\psaxes[labels=y,Dx=10,Dy=2,axesstyle=frame](0,0)(90,14)
}
\uput[-90](5,0){\footnotesize 5}
\uput[-90](15,0){\footnotesize 15}
\uput[-90](25,0){\footnotesize 25}
\uput[-90](35,0){\footnotesize 35}
\uput[-90](45,0){\footnotesize 45}
\uput[-90](55,0){\footnotesize 55}
\uput[-90](65,0){\footnotesize 65}
\uput[-90](75,0){\footnotesize 75}
\uput[-90](85,0){\footnotesize 85}
\rput[b]{0}(45,-3){\footnotesize distance (en m)}
\rput[b]{90}(-12,7){\footnotesize vitesse (en m/s)}
\psline[linecolor=magenta](5,5.191)(15,9.7)(25,10.801)(35,11.431)(45,11.693)(55,11.745)(65,11.850)(75,11.955)(85,12.165)

\end{pspicture}


\\
Graphique 1 & Graphique 2 & Graphique 3
\end{tabular}


\end{document}