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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat L  mathématiques--informatique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\decofourleft~\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat général  La Réunion \decofourright}}\\[7pt]

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - juin 2011}}

\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1  \hfill 8 points}

\medskip

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

\medskip

L'Office National de la Chasse (ONC) établit régulièrement des statistiques sur la faune pour permettre un suivi des populations de gibier et proposer des prélèvements raisonnables. Ci-dessous on donne la série ordonnée des poids (exprimés en kilogrammes), des $52$ chamois femelles faisant partie d'un groupe de 112~chamois d'une zone de montagne.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
8,5 &9 &9,1 &9,5 &10 &10 &10 &11 &12 &12 &12 &12,3 &12,8\\ \hline 
12,8 &13,1 &14 &14 &14,7 &15 &15 &15 &16 &16 &16,5 &16,5 &16,5\\ \hline 
16,9 &17 &17,5 &18 &18,2 &18,5 &18,5 &19 &19,6 &20 &20 &20 &20\\ \hline 
20 &20,5 &21 &21 &21 &21,6 &22 &22,5 &23 &24,5 &24,5 &30 &31\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la proportion de chamois femelles dans le groupe, en pourcentage arrondi au dixième. 
\item Pour la série des chamois femelles ci-dessus, on donne, arrondis au dixième, l'écart type $\sigma= 5,1$ et la moyenne $m = 16,9$. Peut-on affirmer qu'au moins 68\,\% des chamois femelles ont un poids compris dans l' intervalle $[m - \sigma~;~m + \sigma]$ ?
\item Déterminer la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de cette série.
\item Sur l'\textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}, a été dessiné le diagramme en boîte de la série des poids des 60 chamois mâles du même groupe. Construire, au-dessous, le diagramme en boîte de la série des poids des chamois femelles.
\item L'ONC autorisera le prélèvement des chamois dont le poids est strictement supérieur à $28$~kg si le nombre total de chamois prélevés est inférieur à $20$. Cette autorisation sera-t-elle donnée ? Justifier la réponse. 
\item Déterminer la bonne réponse à l'affirmation suivante et rédiger les calculs nécessaires à la justification.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Le poids moyen des $112$~chamois étant égal à environ $19,2$ kg, le poids moyen des chamois mâles est égal à environ ...& $18,05$ kg &$21,2$ kg &$21,5$ kg\\ \hline
\end{tabularx} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2  \hfill 12 points}

\medskip

On s'intéresse au profil du fond de l'océan entre deux îles. Pour cela, on fixe une corde de $200$~m entre les deux îles (voir schéma ci-dessous). On admet que cette corde est un segment de droite d'extrémités A et B. Une bouée est placée au milieu C de la corde.

\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(13,4)
\pscurve(0.2,0.3)(0.5,0)(1,0.15)(2,0.7)(3,1.2)(3.4,1.8)(3.1,3)(2.9,3.1)(2,2.4)(1,1.45)(0.2,0.3)
\pscurve(9.8,3.3)(10,2)(10,1.8)(11,1.6)(12,0.4)(12.7,1.7)(12.5,2.5)(12,3)(11,3.5)(10,3.4)(9.8,3.3)
\psline[linewidth=1pt](3.4,1.8)(10,1.8)
\uput[ur](3.4,1.8){A}\uput[ul](10,1.8){B}
\psdots(6.7,1.8) \uput[u](6.7,1.8){C}
\end{pspicture}
\end{center} 

La profondeur en C est égale à 100 m.
 
Deux bateaux, partant de C, se dirigent, l'un vers A et l'autre vers B, en effectuant des mesures de la profondeur de l'eau tous les 10 m. Toutes les profondeurs sont arrondies au décimètre près.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étude des relevés du bateau allant de C vers B.

Les relevés montrent que la profondeur entre C et B varie en diminuant, à chaque relevé, de $10$ mètres.

On note $u_{0}$ la profondeur en C, puis $u_{1}$ la profondeur au premier relevé $10$~m plus loin vers B, et $u_{n}$ la profondeur au $n$-ième relevé, pour $n \geqslant 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Donner son premier terme et sa raison. 
		\item Le bateau s'arrête à $10$~m de B. Quel est l'indice correspondant au dernier relevé ? Quelle est alors la profondeur ?
	\end{enumerate}
\item Étude des relevés du bateau allant de C vers A

Les relevés montrent que la profondeur entre C et A varie en diminuant, à chaque relevé, de 45\,\%.

Le bateau s'arrête à $10$~m de A.
 
On note maintenant $v_{0}$ la profondeur en C, puis $v_{1}$ la profondeur au premier relevé $10$~m plus loin vers A, $v_{n}$ la profondeur au $n$-ième relevé, pour $n \geqslant 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la profondeur mesurée au premier relevé ? Écrire le calcul effectué. 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Donner son premier terme et sa raison.
	\end{enumerate} 
\item Création d'une feuille de calcul sur tableur.
 
Pour calculer automatiquement les profondeurs on crée la feuille de calcul reproduite ci-dessous:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
	&A 	& B 	&C 	&D 	&E 	&F\\ \hline 
1 	& \multicolumn{2}{|c|}{Relevés de C vers B}&	& \multicolumn{2}{|c|}{Relevés de C vers A}&\\ \hline 
2	&\footnotesize  Distance à C&\footnotesize  Profondeur&&\footnotesize  Distance à C &\footnotesize  Profondeur&\\ \hline 
3	&\footnotesize (en mètres)&\footnotesize en mètres&&\footnotesize (en mètres)&\footnotesize en mètres&\\ \hline
4	&0&100&&0&100&\\ \hline
5	&10&&&10&&\\ \hline
6	&20&&&20&&\\ \hline
7	&&&&&&\\ \hline
8	&&&&&&\\ \hline
9	&&&&&&\\ \hline
10	&&&&&&\\ \hline
11	&&&&&&\\ \hline
12	&&&&&&\\ \hline
13	&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule peut-on placer dans la cellule B5 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		\item Écrire sur votre copie quelle formule, parmi les suivantes, on peut placer dans la cellule E5 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite $\left(v_{n}\right)$ :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$=\text{E}4*0,45$&$ =\text{E}\$4*0,55$&$ =\text{E}\$4*0,45$& =\text{E}4*0,55\\
\end{tabularx}

\medskip
	\end{enumerate}
\item Graphique de la profondeur entre les deux îles
	\begin{enumerate}
		\item Que représentent les points placés sur le graphique de l'annexe 2, page 6, à rendre avec la copie ? 
		\item Calculer les profondeurs obtenues en allant de C vers A. On arrondira les résultats au dixième.
		\item Compléter le graphique, puis tracer le profil du fond de l'océan entre les deux îles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 \qquad (À RENDRE AVEC LA COPIE)}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 1, question 4}
\end{flushleft}

\begin{table}[h]
\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture}(5,-10)(42,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=5](5,0)(42,0)\psline[linewidth=1.5pt]{->}(41,0)(42,0)
\psline(7,4)(13,4) \psline(28,4)(38,4)
\psframe(13,3)(28,5) \psline(23,5)(23,3)
\end{pspicture}
\end{table}

\vspace{2cm}
\textbf{ANNEXE 2 \qquad (À RENDRE AVEC LA COPIE)}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2, question 4}
\end{flushleft}

\begin{table}[h]
\psset{unit=0.075cm}
\begin{pspicture}(-110,-110)(110,10)
\multido{\n=-100+10}{21}{\psline[linestyle=dotted](\n,-110)(\n,10)}
\multido{\n=-100+10}{12}{\psline[linestyle=dotted](-110,\n)(110,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=20](0,0)(110,10)(-110,-110)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(110,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-110)
\psdots(0,-100)(10,-90)(20,-80)(30,-70)(40,-60)(50,-50)(60,-40)(70,-30)(80,-20)(90,-10)(100,0)
\uput[ul](0,0){C}\uput[dr](100,0){B}\uput[dl](-100,0){A}
\end{pspicture}
\end{table}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}