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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat anticipé Mathématiques-informatique }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Mathématiques-informatique
 Nouvelle-Calédonie~\decofourright \\[7pt]novembre 2011}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

En janvier 2003, la chute d'une météorite près de Petiteville a provoqué dans la campagne environnante une pollution des sols par une substance toxique : la kryptonite.
 
La présence de cette substance dans les sols se mesure en mg/m$^2$ (milligramme par mètre carré).

\medskip
 
Immédiatement après l'accident, une carte de pollution a été dressée. On l'a reproduite en \textbf{annexe 1}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La législation interdit la culture des sols si le taux de kryptonite est supérieur à 20 mg/m$^2$. 

Hachurer sur l'\textbf{annexe 1} la zone où la culture était interdite en janvier 2003. 
\item Trois sites, A, B et C, ont fait l'objet d'un suivi régulier depuis 2003. Le graphique ci-dessous représente le relevé de pollution de ces trois sites en janvier de chaque année depuis 2003. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(9.5,60)
\psaxes[Dy=10](0,0)(9,0)(0,60)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linecolor=orange](\n,0)(\n,60)}
\multido{\n=0+10}{7}{\psline[linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psdots(6.8,54) \psdots[dotstyle=square*](6.8,51)\psdots[dotstyle=triangle*](6.8,48)-
\uput[r](7,54){Site C} 
\uput[r](7,51){Site B} 
\uput[r](7,48){Site A}
\psdots(0,54)(1,48.5)(2,43)(3,40)(4,35.5)(5,33.5)(6,30)(7,27)(8,25.5)
\psdots[dotstyle=square*](0,32)(1,28.5)(2,27)(3,25)(4,22.5)(5,20.5)(6,18)(7,17)(8,15.5)
\psdots[dotstyle=triangle*](0,18)(1,16.5)(2,15)(3,14)(4,12.5)(5,11)(6,10)(7,9.5)(8,8.5)
\psline(0,54)(1,48.5)(2,43)(3,40)(4,35.5)(5,33.5)(6,30)(7,27)(8,25.5)
\psline(0,32)(1,28.5)(2,27)(3,25)(4,22.5)(5,20.5)(6,18)(7,17)(8,15.5)
\psline(0,18)(1,16.5)(2,15)(3,14)(4,12.5)(5,11)(6,10)(7,9.5)(8,8.5)
\uput[d](4.5,-4.75){Années écoulées depuis janvier 2003}
\rput{90}(-1,30){Taux de pollution $\left(\text{en mg par m}^2\right)$}
\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture} 
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Préciser à quel point (points numérotés de 1 à 3) de la carte correspond chacun des sites. 
		\item En janvier de quelle année le site B a-t-il été rouvert à la culture? 
		\item En janvier de quelle année la pollution du site C est-elle descendue en dessous de la pollution initiale du site B ? 
		\item La décroissance de la pollution sur le site C est-elle linéaire?
	\end{enumerate} 
3. Les données du site A ont été rassemblées dans la colonne C de la feuille de calcul ci-dessous : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F\\ \hline 
1&&& \multicolumn{2}{|c|}{Site A}&\multicolumn{2}{|c|}{Site C}\\ \hline 
2& \footnotesize  Année &\footnotesize  Années &\footnotesize  Pollution &\scriptsize Taux d'évolution &\footnotesize  Pollution &\scriptsize   Taux d'évolution\\ \hline 
3 &\footnotesize (janvier) &\footnotesize écoulées &\footnotesize (en mg/m2) &\footnotesize (pourcen\-tage) &\footnotesize (en mg/m2) &$- 9$\,\%\\ \hline 
4 &2003 &0 &18,1 &&54,0&\\ \hline 
5 &2004 &1 &16,5 &$- 9$\,\%&&\\ \hline
6 &2005 &2 &15,0 &$- 9$\,\%&&\\ \hline 
7 &2006 &3 &13,7 &$- 9$\,\%&&\\ \hline 
8 &2007 &4 &12,5 &$- 9$\,\%&&\\ \hline 
9 &2008 &5 &11,4 &$- 9$\,\%&&\\ \hline
10 &2009 &6 &10,4 &$- 9$\,\%&&\\ \hline
11& 2010 &7 &9,5 &$- 9$\,\%&&\\ \hline 
12 &2011 &8 &8,6 &$- 9$\,\%&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

(Les colonnes D et F sont au format pourcentage arrondi à l'unité)
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule a-t-on pu saisir en D5 et copier vers le bas jusqu'en D12 pour calculer les taux d'évolution annuels de la pollution sur le site A ? 
		\item La décroissance de la pollution sur le site A est-elle linéaire ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item La pollution sur le site C était de 54 mg/m$^2$ en janvier 2003. On modélise la pollution sur ce site en supposant que le taux de pollution a diminué chaque année de 9\,\%.
 
On note $C_{n}$ la pollution en mg/m$^2$ que prévoit le modèle au bout de $n$ années écoulées.
 
On a ainsi $C_{0} = 54$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $C_{1}$ (arrondir au dixième).
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(C_{n}\right)$ ?
		\item Parmi les formules suivantes, quelle est celle que l'on peut placer en E5 et recopier vers le bas jusqu'en E12 pour calculer les valeurs de la suite $\left(C_{n}\right)$ ?
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\fbox{$=\text{E}4*(1+\text{F}3)$}& 
\fbox{$=\text{E}4*(1+\$\text{F}3$}& 
\fbox{$=\text{E}4*(1+\text{F}\$3)$}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip 
		\item On admet que $C_{n} = 54 \times  0,91^n$ pour tout entier $n$. 

Quel taux de pollution donne le modèle pour le site C en janvier 2011 ?
 
Quel taux de pollution donne le graphique pour le site C en janvier 2011 (à une unité près) ?

Les deux valeurs vous semblent-elles proches? 
		\item En utilisant votre calculatrice, déterminez en quelle année le site C sera ouvert à la culture.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\medskip

Un référendum local est organisé à Petiteville pour choisir entre un projet X et un projet Y. Il y a \np{7500}~électeurs inscrits sur les listes électorales de Petiteville.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Parmi les inscrits, on distingue les votants et les abstentionnistes. Le taux de participation est le pourcentage des votants parmi les inscrits.
 
Parmi les votes, on distingue les suffrages exprimés et les votes blancs ou nuls.
 
D'après le compte-rendu du journal local : \og Le taux de participation a été de 56\,\%. Le projet X a été choisi avec \np{3000}~voix, c'est-à-dire exactement 75\,\% des suffrages exprimés \fg.
 
Répondre aux questions suivantes en s'aidant de l'annexe 2 que l'on complètera au fur et à mesure et \textbf{que l'on rendra avec la copie}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel a été le nombre de votants ? 
En déduire le nombre d'abstentions. 
\item Déterminer le nombre de suffrages exprimés. 
\item Compléter le reste de l'arbre de l'\textbf{annexe 2}. 
\item Quel pourcentage des inscrits représentent les personnes ayant voté pour le projet X ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Lors d'une enquête \og à la sortie des urnes \fg{} on a demandé leur âge à 50 personnes ayant voté pour le projet X, et 50 personnes ayant voté pour le projet Y.
 
Groupe A : les 50 personnes interrogées ayant voté pour le projet X,
 
Groupe B : les 50 personnes interrogées ayant voté pour le projet Y.
 
Les âges des 50 personnes du groupe B sont donnés dans l'ordre croissant ci-dessous :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{25}{>{\tiny}X|}}\hline
25&28&31&32&33&33&37&41&41&42&43&45&45&45&46&46&46&48&49&51&51&54&54&54&55\\ \hline
55&55&57&58&59&59&63&65&67&68&70&70&70&73&75&75&77&78&79&81&83&83&86&88&95\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

Les diagrammes en boîtes correspondant à l'âge des personnes du groupe A et à l'âge de tous les inscrits ont été tracés sur l'\textbf{annexe 3}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le minimum, le maximum, la médiane, le premier et le dernier quartile de la série des âges des personnes du groupe B.
 
Tracer le diagramme en boîtes correspondant sur l'annexe 3. 
\item Justifier qu'au moins \np{5625}~personnes inscrites sur la liste électorale de Petiteville ont moins de $65$~ans. 
\item Justifier l'affirmation : \og Plus de la moitié des personnes du groupe B et moins de 25\,\% des personnes du groupe A ont un âge supérieur ou égal à 55 ans \fg. 
\item Donner l'âge maximum des 50 personnes du groupe A.
 
Peut-on affirmer que les \np{3000} personnes ayant voté pour le projet X ont moins de 75 ans ? 
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 - Exercice 1 (à rendre avec la copie)}

\bigskip
 
Carte de pollution de janvier 2003 

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(13,9)
%\psgrid
\psframe(13,9) 
\pscurve(0.1,2)(1,2.9)(2,3.3)(3,3.75)(4,4.6)(3,5.7)(2,6.5)(1.3,7.7)(2,8.3)(3,8.55)(4,8.65)(5,8.7)(6,8.6)(7,8.55)(8,8,8.4)(9,7.8)(10,7)(11,6)(12,5)(12.8,4)(12.9,3.5)(12.5,2)(12,1.35)(11,0.9)(10,0.85)(9,1.1)(8,1.6)(7,1.9)(6,1.85)(5,1.6)(4,1.3)(3,1)(2,0.6)(1,0.4)(0.4,0.4)(0.2,1)(0.1,2)
\pscurve(3.4,3)(4,3.65)(5,3.8)(5.9,4.4)(5.2,5.8)(6,6.55)(7,6.5)(8,6.3)(9,5.9)(10,5.1)(11,4.2)(11.7,2.8)(11,1.9)(10,1.7)(9,1.8)(8,2.4)(7,2.7)(6,2.8)(5,2.75)(4,2.6)(3.6,2.8)(3.4,3)
\pscurve(5.1,3.3)(5.5,3.75)(6,3.8)(6.4,4.2)(6,5.4)(7,5.8)(8,5.5)(9,4.7)(10,4)(11,3.2)(11.1,2.8)(11,2.5)(10,2.2)(9,2.5)(8,3)(7,3.25)(6,3.18)(5.5,3.2)(5.1,3.3)
\pscurve(6.6,5)(7,5.4)(8,5)(9,4.2)(10,3.7)(10.85,2.7)(10.6,2.5)(10,2.7)(9,3)(8,3.25)(7,3.7)(6.8,4)(6.6,5)
\pscurve(7,4.6)(7.2,4.8)(8,4.45)(8.7,4)(9,3.8)(9.8,3.1)(9.4,3)(9,3.2)(8,3.5)(7.4,4)(7,4.6)
\psdots(5.6,4.3)(7.5,4.3)(5.7,3.3)
\rput(3.2,8.5){10}
\rput(6.1,6.5){20}
\rput(6.8,5.8){30}
\rput(7,5.3){40}
\rput(7.2,4.8){50}
\end{pspicture}

Les lignes de niveaux sont graduées en mg/m$^2$. L'astérisque * marque le lieu de la chute.

\vspace{1cm}
 
\textbf{Annexe 2 - Exercice 2 (partie A) (à rendre avec la copie)}

\bigskip

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(17.5,6.5)
\psframe(0,3.4)(3.4,4.6)\rput(1.7,4.25){Inscrits}\rput(1.7,3.65){\np{7500}}
\psframe(4.6,5.1)(8,6.3)\rput(6.3,5.95){Abstentions}
\psframe(9.3,3.5)(12.9,4.7)\rput(11,4.25){Blancs ou nuls}
\psframe(4.6,1.7)(8.2,2.9)\rput(6.3,2.3){Votants}
\psframe(14,1.7)(17.6,2.9)\rput(15.7,2.55){Projet X}\rput(15.7,1.95){\np{3000}}
\psframe(9.3,0)(12.7,1.2)\rput(11,0.6){Projet Y}
\psframe(9.3,1.7)(13.1,2.9)\rput(11.2,2.3){\small Suffrages exprimés}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm} 
 
\textbf{Annexe 3 - Exercice 2 (partie B) (à rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm} 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(13.8,3.8)
\psline(0,0)(13.8,0)
\multido{\n=2.0+1.5,\na=20+10}{8}{\uput[d](\n,0){\na}}
\psline(1.8,2.5)(3.7,2.5)\psline(1.8,2.2)(1.8,2.8)
\psline(6.6,2.5)(9.7,2.5)\psline(9.7,2.2)(9.7,2.8)
\psframe(3.7,2.2)(6.6,2.8)\psline(5.4,2.2)(5.4,2.8)
\psline(1.8,3.4)(4.1,3.4)\psline(1.8,3.1)(1.8,3.7)
\psline(8.2,3.4)(12.4,3.4)\psline(12.4,3.1)(12.4,3.7)
\psframe(4.1,3.1)(8.2,3.7)\psline(6.1,3.1)(6.1,3.7)
\rput(0,3.3){\scriptsize Ensemble}
\rput(0,3.){\scriptsize des inscrits}
\rput(0,2.4){Groupe A}
\rput(0,1.4){Groupe B}
\rput(6,-0.8){ \scriptsize Âges en années}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}