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%Tapuscrit : Stéphan Grignon
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Métropole Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{17 juin 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole Antilles--Guyane 17 juin 2025}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large EXERCICE PCM \hfill physique-chimie et mathématiques \hfill 4 points}

\begin{center}
\textbf{Pertes d'énergie dans le réseau électrique}
\end{center}

Lors de l'alimentation d'un équipement électrique en régime sinusoïdal, les pertes d'énergie par effet Joule dans les lignes d'alimentation peuvent être importantes. Afin d'évaluer leur valeur, on doit calculer le facteur de puissance de l'équipement électrique.

\medskip

L'équipement électrique dont on désire déterminer le facteur de puissance est constitué de l'association d'une bobine, composant électrique présent dans de nombreux circuits électriques, et d'un résistor. On réalise et on teste un circuit électrique comprenant cet équipement.

\medskip

On établit un modèle numérique à partir de cette expérience. On suppose que la fonction modélisant la puissance instantanée, exprimée en mW, reçue par l'équipement électrique en fonction du temps $t$, exprimé en secondes, est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
\[f(t) = 12,25 - 13,91 \sin(\np{12466}t).\]

\begin{enumerate}[start=6]
\item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
\[F(t) = 12,25t + \dfrac{13,91}{\np{12466}} \cos(\np{12466}t).\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

\item L'intégrale $E_{\text{mod}} = \int_{0}^{60} f(t)\,\mathrm{d}t$ modélise l'énergie reçue par l'équipement électrique pendant une minute, exprimée en mJ.

Calculer l'énergie $E_{\text{mod}}$, en arrondissant à l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{\large EXERCICE Maths  \hfill mathématiques \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

\textit{Pour cette question, indiquer la lettre de la réponse exacte, en expliquant votre choix.}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=5,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray,gridlabels=0,gridwidth=1pt,subgridwidth=0.3pt,Dx=1,Dy=1](-6,-6)(6,6)
\psaxes[arrows=->,arrowsize=2pt 4,linewidth=1pt,Dx=1,Dy=1,ticksize=-3pt 3pt,subticks=0,labels=none](0,0)(-6,-6)(6,6)
\uput[dr](1,0){1}
\psline[linewidth=0.8pt](1,-0.1)(1,0.1)
\uput[ul](0,1){1}
\psline[linewidth=0.8pt](-0.1,1)(0.1,1)
\pscircle[linecolor=blue,linewidth=1pt](0,0){1}
\pscircle[linecolor=blue,linewidth=1pt](0,0){2}
\pscircle[linecolor=blue,linewidth=1pt](0,0){3}
\pscircle[linecolor=blue,linewidth=1pt](0,0){4}
\pscircle[linecolor=blue,linewidth=1pt](0,0){5}
\psdot[dotstyle=+,dotscale=2.5,linecolor=red](3.525,-3.525)
\uput[dr](3.535,-3.535){M}
\psline[linecolor=red, linewidth=1pt](0,0)(3.525,-3.525)
\end{pspicture}
\end{center}

On considère le point M représenté dans le plan complexe ci-dessus.

L'affixe du point M est :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
A & B & C & D \\
\hline
$4\e^{-\i\frac{\pi}{4}}$ & $5\e^{\i\frac{\pi}{4}}$ & $5\e^{-\i\frac{\pi}{4}}$ & $-5\e^{-\i\frac{\pi}{4}}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit l'équation différentielle $y' = 2y - 0,5$.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer l'ensemble des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ qui sont solutions de cette équation.
    \item Déterminer la fonction $f$, solution de cette équation, avec pour nombre dérivé \mbox{$f'(0) = -3$}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \e^{-0,016x} - 2$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 0$.

Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Montrer que, pour tout $x > 0$, l'égalité suivante est vraie :
\[\ln\left(\dfrac{x^4}{9}\right) - 3 \ln(x) + \ln\left(\dfrac{9}{x}\right) = 0.\]

\bigskip


\textbf{\large Exercice MQ1}

\medskip

\textit{Pour cette question, indiquer la lettre de la réponse exacte, en expliquant votre choix.}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=5,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray,gridlabels=0,gridwidth=1pt,subgridwidth=0.3pt,Dx=1,Dy=1](-6,-6)(6,6)
\psaxes[arrows=->,arrowsize=2pt 4,linewidth=1pt,Dx=1,Dy=1,ticksize=-3pt 3pt,subticks=0,labels=none](0,0)(-6,-6)(6,6)
\uput[dr](1,0){1}
\psline[linewidth=0.8pt](1,-0.1)(1,0.1)
\uput[ul](0,1){1}
\psline[linewidth=0.8pt](-0.1,1)(0.1,1)
\pscircle[linecolor=blue,linewidth=1pt](0,0){1}
\pscircle[linecolor=blue,linewidth=1pt](0,0){2}
\pscircle[linecolor=blue,linewidth=1pt](0,0){3}
\pscircle[linecolor=blue,linewidth=1pt](0,0){4}
\pscircle[linecolor=blue,linewidth=1pt](0,0){5}
\psdot[dotstyle=+,dotscale=2.5,linecolor=red](3.525,-3.525)
\uput[dr](3.535,-3.535){M}
\psline[linecolor=red, linewidth=1pt](0,0)(3.525,-3.525)
\end{pspicture}
\end{center}

On considère le point M représenté dans le plan complexe ci-dessus.

L'affixe du point M est :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
A & B & C & D \\
\hline
$4\e^{-\i\frac{\pi}{4}}$ & $5\e^{\i\frac{\pi}{4}}$ & $5\e^{-\i\frac{\pi}{4}}$ & $-5\e^{-\i\frac{pi}{4}}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Exercice MQ2}

\medskip

Soit l'équation différentielle $y' = 2y - 0,5$.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer l'ensemble des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ qui sont solutions de cette équation.
    \item Déterminer la fonction $f$, solution de cette équation, avec pour nombre dérivé \mbox{$f'(0) = -3$}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice MQ3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \e^{-0,016x} - 2$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 0$.

Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

\bigskip

\textbf{\large Exercice MQ4}

\medskip

Montrer que, pour tout $x > 0$, l'égalité suivante est vraie :
\[\ln\left(\dfrac{x^4}{9}\right) - 3 \ln(x) + \ln\left(\dfrac{9}{x}\right) = 0.\]

\end{document}