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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACA-ACC  Métropole--La Réunion~\decofourright\\ septembre 2005}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la CSP (catégorie socioprofessionnelle) de 6 022 fils en fonction de celle de leurs pères. Par exemple, on peut lire, \textbf{3} fils dont le père appartient à la CSP \og Cadre supérieur et profession libérale \fg{} sont \og Agriculteurs \fg{} d'autre part, \textbf{1 911} fils sont ouvriers.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|p{2.5cm}|*{7}{c|}}\cline{3-9}
\multicolumn{2}{c|}{~}&\multicolumn{7}{c|}{CSP du fils}\\ \cline{3-9}
\multicolumn{2}{c|}{~}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Agriculteur\\\end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Artisan, commerçant,\\ chef d'entreprise\\ \end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Cadre supérieur et\\   profession libérale\\ \end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Profession \\ intermédiaire\\ \end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Employé\\ \end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Ouvrier\\ \end{tabular}}&\rotatebox{90}{\begin{tabular}{p{3.2cm}}Ensemble\\ \end{tabular}}\\ \hline
\multirow{7}{0.5cm}{\rotatebox{90}{CSP du père \hspace{1,5cm}~}}&Agriculteur&	258&	81&	108&	153&	84&	365&1049\\ \cline{2-9}
&Artisan, commerçant, chef d'entreprise&14&246&180&168&56&167&831\\ \cline{2-9}
&Cadre supérieur et profession libérale&3&54&	266&104&42&	34&503\\ \cline{2-9}
&Profession intermédiaire&	5&	56&	225&190&61&	97&634\\ \cline{2-9}
&Employé&1&49&148&215&74&	180&667\\ \cline{2-9}
&Ouvrier&	19&	204	&228&	568&251&\nombre{1068}&\nombre{2338}\\ \cline{2-9}
&Ensemble&300&690&\nombre{1155}&\nombre{1398}& 568 &\nombre{1911} &\nombre{6022}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{flushright}D'après source INSEF.\end{flushright}

\emph{On exprimera les probabilités sous la forme d'un nombre décimal arrondi au centième.}

\textbf{Les deux parties sont indépendantes}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	On choisit un fils au hasard parmi les \nombre{6022}. Chaque fils a la même probabilité d'être choisi.
	\begin{enumerate}
		\item	Quel est le nombre de fils agriculteurs dont le père est agriculteur ?
		\item Vérifier que le nombre de fils appartenant à la même CSP que le père est \nombre{2102}.
		
En déduire la probabilité $P_{1}$ que la CSP du fils soit la même que celle du père.
	\end{enumerate}
\item On choisit un fils dont le père est agriculteur. Chaque fils a la même probabilité d'être choisi.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $P_{2}$ qu'il soit agriculteur ? 
		\item Commenter le résultat $P_{2} < P_{1}$.
	\end{enumerate}

\item On choisit un fils agriculteur. Chaque fils a la même probabilité d'être choisi. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $P_{3}$ que son père soit agriculteur ? 
		\item Commenter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On choisit un fils au hasard parmi les \nombre{6022}. Chaque fils a la même probabilité d'être choisi.

On considère les deux évènements :

A : \og La CSP de son père est Profession intermédiaire \fg{}.

 B : \og La CSP du fils est Cadre supérieur et profession libérale \fg{}.
\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase les évènements A~ $\cap$~B et A~$\cup$~B.
\item  Calculer les probabilités $P$(A), $P$(B) et $P(\text{A}~ \cap~ \text{B})$. En déduire le calcul de $P(\text{A}~ \cup~ \text{B})$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 12 points}

\medskip

Une entreprise fabrique mensuellement une quantité de $0$ à $80$~tonnes de produit chimique.

Le coût de la fabrication de $x$ tonnes, exprimé en centaines d'euro, est donné par la fonction $C$ définie par : 
 
 \[C(x) = 0,01x^3- 1,05x^2 + 37x + 40.\]
 
Chaque tonne est vendue 19 centaines d'euro.
\begin{enumerate}
\item	Calculer, en euro, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice correspondant à $40$ tonnes.
\item Calculer $C'(x)$ pour $x$ compris entre $0$ et $80$ (où $C'$ est la fonction dérivée de la fonction $C$) et vérifier que 
$C'(x) = 0,03\left[(x - 35)^2 + \dfrac{25}{3}\right]$.

En déduire que la fonction $C$ est croissante sur [0~;~80].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant :
  
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&10		&20	&30	&40	&50	&60	&70	&80\\ \hline
$C(x)$	&	& 315	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  
		\item La recette est exprimée en centaines d'euro par la fonction $R$ définie par $R(x) = 19x$.

Tracer la représentation graphique de $C$ et de $R$ dans un même repère orthogonal. 

Unité sur l'axe des abscisses : $2$~cm pour $10$~tonnes.

Unité sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 100~centaines d'euro.

	\end{enumerate}
\item Déterminer graphiquement à partir de quelle quantité l'entreprise réalise un bénéfice. Justifier en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item	Montrer que le bénéfice mensuel en centaines d'euro, est donné par la fonction $B$ définie par :

	\[B(x) =  - 0,01x^3+1,05x^2- 18x - 40.\]

		\item Montrer que $B'(x) = (- 0,03 x + 0,3)(x - 60)$ où $B'$ est la fonction dérivée de la fonction $B$.
		\item À l'aide d'un tableau de signes, étudier le signe de $B(x)$ sur [0~ ;~80].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $B$ sur [0~;~80].
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la question précédente, le nombre de tonnes que doit vendre l'entreprise pour que son bénéfice mensuel soit maximal. Justifier.

Que vaut alors ce bénéfice en euro ?
		\item Comment retrouver ces deux résultats par lecture graphique ? Justifier la réponse en faisant apparaître sur le graphique tous les tracés utiles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}