\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STG}, pdftitle = {ACA--ACC La Réunion juin 2005}, allbordercolors = white} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STT ACC-ACA juin 2005} \lfoot{\small{La RŽéunion}} \rfoot{\small{juin 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STT ACA - ACC La RéŽunion~\decofourright\\juin 2005}} \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points } \medskip Dans une entreprise de nettoyage industriel créée voici quatre ans, on a relevé l'ancienneté des $120$ techniciens et techniciennes de surface y travaillant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Ancienneté en mois & Nombre \\ \hline [0 ; 6] &37\\ \hline [6 ; 12] &23\\ \hline [12 ; 24] &19\\ \hline [24 ; 36] &6\\ \hline [36 ; 48] &35\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item En considérant les intervalles d'ancienneté comme étant les classes d'une série statistique à une variable et le nombre d'employés comme étant leurs effectifs correspondants. \begin{enumerate} \item Calculer les centres de ces classes. \item Calculer l'ancienneté moyenne en mois de ces $120$ employés. \end{enumerate} \emph{Dans toute la suite de cet exercice, les probabilités seront données à} $10$^{-2}$ \emph{près}. \item Un (ou une) employé(e) est choisi(e) au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ou qu'elle ait une ancienneté inférieure à un an. \item Chacune de ces $120$ personnes a un contrat de travail. Dans cette entreprise on rencontre 3 types de contrat de travail différents : Le Contrat à Durée Déterminée (C. D. D) Le Contrat à Durée Indéterminée à mi-temps (C. D. I./M. T.) Le Contrat à Durée Indéterminee à temps complet (C. D. I./T. C.) Les C. D. D. représentent $30$\:\% de l'effectif total et 75\,\% des C. D. D. sont à des femmes. Les C. D. I/T. C. représentent la moitié de l'effectif total et $60$\:\% des C. D. I./T. C. sont à des hommes Un seul homme a un C. D. I./M. T. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} &C.D.D. & C.D.I./M.T. & C.D.I./T.C. & Total\\\hline Hommes & & & & \\\hline Femmes & & & & \\\hline Total & & & &120 \\\hline \end{tabularx} \end{center} \item On choisit au hasard une personne parmi ces $120$ employés. On considère les évènements suivants : A : \og La personne a un C. D. D. \fg{} ; B : \og La personne est une femme \fg{} ; C : \og La personne a un C. D. D. ou est une femme \fg{}. Calculer la probabilité de chacun des évènements A, B et C. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Parmi les hommes, quelle est la probabilité d'en choisir un ayant un C. D. I./T. C. ? \item Parmi les femmes, quelle est la probabilité d'en choisir une ayant un C. D. I./T. C. ? \item Que remarque-t-on ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Pour participer à la finale du jeu \og Super Game \fg{}, organisée par un magasin de jeu vidéo, deux enfants, Ulysse et Victor, s'entraînent chaque jour, pendant les vacances. Pour être sélectionné, un joueur doit obtenir un minimum de \np{2000} points avant la date de la finale et contacter l'organisateur qui l'inscrit alors sur la liste des participants au concours. Le premier jour de son \og entraînement \fg{}, Ulysse, féru de jeu vidéo, obtient un très bon score de \np{1500}~points. Victor, qui est plus jeune, marque \np{1000}~points. Au fur et à mesure des jours, Ulysse remarque que, quotidiennement, son score progresse de $3$\:\% alors que celui de Victor augmente de $70$~points. On note $u_{0}$ et $v_{0}$ les scores obtenus respectivement par Ulysse et Victor le premier jour de leur entraînement, soit le 30 juin (on a donc $u_{0} = \np{1500}$ et $v_{0} = \np{1000}$). De même, $u_{n}$ et $v_{n}$ correspondront aux scores obtenus le $n$ juillet. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$ en arrondissant le score au point supérieur. \item Calculer $v_{1},~v_{2}$ et $v_{3}$. \item Quelle est la nature de chacune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ? Justifier. \item La finale a lieu le 14 juillet. Qui sera sélectionné pour y participer ? Justifier la réponse par un calcul. \item À l'aide de la calculatrice, pour chacun des enfants, déterminer la date à laquelle il aura atteint le score fatidique des \np{2000} points. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur [0~ ;~15] par \[f(x) = x^3 - 10x^2 + 25x + \np{1200}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur [0~;~15]. Déterminer $f'(x)$. \item Montrer que $f'(x) = (3x - 5)(x -5)$. \item Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur [0~ ;~15]. \end{enumerate} \item La courbe $\mathcal{C}$ jointe en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$précédente. À l'aide de cette courbe, résoudre graphiquement l'équation $f(x) = \np{2000}$. On fera apparaître sur l'annexe, que l'on joindra à la copie, le tracé utilisé. \item Un troisième joueur, Fabrice, s'est également entraîné à partir du 30 juin pour la finale du jeu \og Super Game \fg. La fonction précédente correspond aux points obtenus par Fabrice, où $x$ représente le nombre de jours écoulés depuis le 30 juin. \begin{enumerate} \item Que représente $f(0)$ ? \item Utiliser le résultat de la \textbf{question 2.} pour déterminer si ce joueur sera sélectionné pour la finale du 14 juillet. À quelle date ? Qui, entre Ulysse, Victor et Fabrice sera sélectionné le premier ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \psset{xunit=0.8cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1)(15,7) \psgrid[gridlabels=0pt,dy=1,Dy=500,subgriddiv=5,gridcolor=lightgray,gridwidth=0.4pt](0,0)(15,6) \psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=5,dy=1,Dy=500]{->}(0,0)(15,6) \rput(15,-0.3){$x$} \rput(-0.5,6){$y$} \uput[d](1,0){$1$} \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{x 3 exp x 2 exp 10 mul sub 25 x mul add 1200 add 500 div} \uput[u](13,4.2){$\mathcal{C}$} \rput(7.5,-1){\textbf{ANNEXE EXERCICE 2 Partie B}} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{document