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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {ACA -- ACC Antilles-Guyane juin 2005},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small ACA - ACC}
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\thispagestyle{empty}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACA - ACC  Antilles-Guyane~\decofourright\\[6pt] 
juin 2005}}
\end{center}
    
\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill }

\medskip

Une entreprise fabrique des lits et des commodes. Sa production, sur les dix dernières années, est donnée par le tableau suivant :

\vspace{0,25cm}

{\footnotesize \begin{tabularx}{\textwidth}{|m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $x_{i}$&1994&1995&1996&1997&1998&1999&2000&2001&2002&2003\\ \hline
Production $y_{i}$ de lits	&\np{1550}&\np{1650} &\np{1600}&\np{1750}&\np{1700}&\np{1750}&\np{1650}&\np{1850}&\np{1700}&\np{1800}\\ \hline
Productions $Y_{i}$ de commodes 	&\np{1150}&\np{1300} &\np{1350}&\np{1350}&\np{1225}&\np{1350}&\np{1500}&\np{1500}&\np{1650}&\np{1500}\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

On a représenté page suivante les points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère du plan avec le symbole $+$ et les points de coordonnées $\left(x_{i}~;~Y_{i}\right)$ avec le symbole $\times$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points$\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. Placer le point G sur le graphique. 
		\item Déterminer one équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de ce nuage par la méthode des moindre carrés. On utilisera la calculatrice et on arrondira les coefficients de l'équation à l'unité par défaut.
		
La droite  est déjà tracée sur le graphique en annexe.

		\item On choisit $\mathcal{D}$ comme droite d'ajustement de la production de lits en fonction de l'année.
	\end{enumerate}
\item On choisit comme droite d'ajustement de la série $\left(x_{i}~;~Y_{i}\right)$ la droite $\Delta$ d'équation 

$Y = 42x - \np{82489}$.

Tracer  $\Delta$. On justifiera la construction.
 
\item À partir des ajustements  donnés aux questions précédentes, déterminer  à partir de quelle année on peut estimer que la production de commodes sera supérieure ou égale  à celle des lits.

Retrouver ce résultat par le calcul.
\end{enumerate}
\newpage
 
\begin{landscape}
\begin{center}

\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.00917cm}
\begin{pspicture}(18,1200)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx =1,Ox=1993,Dy=100,Oy=1000](0,0)(18,1200)
\psline(0,590)(18,950)
\multido{\n=0+0.5}{37}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1200)}
\multido{\n=0+50}{25}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)}
\psdots[dotstyle=+](1,550)(2,650)(3,600)(4,750)(5,700)(6,750)(7,650)(8,850)(9,700)(10,800)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1,150)(2,300)(3,350)(4,350)(5,225)(6,350)(7,500)(8,500)(9,650)(10,500)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\newpage

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill }

\medskip
 
Une usine fabrique des ordinateurs. Lors du passage au contrôle qualité, on teste les ordinateurs pour savoir s'ils présentent un défaut. Les défauts ont été regroupes en deux catégories : les défauts de type 1 et les défauts de type 2.

Un ordinateur est dit défectueux lorsqu'il présente au moins un des deux types de défauts. On a réalisé une étude sur $900$ ordinateurs et on a obtenu les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 5\:\% des ordinateurs présentent un défaut de type 1 ;
\item[$\bullet~$] 4\:\% des ordinateurs présentent un défaut de type 2 ;  parmi ces derniers 25\,:\% présentent aussi un défaut de type 1.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Calculer la part, en pourcentage, des ordinateurs qui présentent les deux types de défauts.	
\item  Recopier et compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&présente un défaut de type 1&	ne présente pas un défaut de type 1&	Total\\  \hline
présente un défaut de type 2	&	&	&  \\ \hline
ne présente pas un 				&	&	&  \\ 
défaut de type 2				&	&	& \\ \hline
Total 							& 	& 	& 900\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Dans la suite, on donnera les différentes probabilités sors forme de fractions irréductibles.
\item  On choisit un ordinateur au hasard. Calculer la probabilité des évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] A \og l'ordinateur présente un défaut de type 1 \fg
\item[$\bullet~$] B \og L'ordinateur présente un défaut de type 2 \fg
\item[$\bullet~$] C \og L'ordinateur présente un défaut de type 1 et un défaut de type 2. \fg
\item[$\bullet~$] D \og L'ordinateur est défectueux \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	
\item  Déterminer les probabilités suivantes $p_{\text{D}}(\text{A})$ et $p_{\text{A}}(\text{D})$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill }

\medskip

Le but de ce problème est d'associer les courbes ci-dessous à certaines fonctions puis de les exploiter. Le document sera complété au fil des questions. L'intervalle d'étude est [0~;~8].

Dans le repère orthonormal \Oij{} proposé, l'unité graphique est 
1,5~cm. On donne les représentations graphiques de trois fonctions $f,~ g$ et $h$.

\psset{unit=1.25cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture}(-1,-2)(8,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(8,10)

\psplot[plotpoints=1000]{0.0425}{8}{x ln dup mul}
\psplot[plotpoints=1000]{0.031}{8}{3 x ln 2 mul sub}
\psplot[plotpoints=1000]{0.001}{8}{5 x mul x ln x mul 2 mul sub}
\uput[u](7.5,-1){$\mathcal{C}_{1}$} 
\uput[u](7.5,4.05){$\mathcal{C}_{2}$} 
\uput[u](7.5,7.3){$\mathcal{C}_{3}$}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-2)(8,10) 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

On sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la fonction $f$ est définie sur l'intervalle ]0~;~8] par : $f(x) = (\ln x)^2$
\item[$\bullet~$] la fonction $g$ est définie sur l'intervalle ]0~;~8] par : $g(x) = 3 - 2\ln x$ ;
\item[$\bullet~$] la fonction $h$ est définie sur l'intervalle ]0~;~8] par : $h(x) = 5x - 2x\ln x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $f'$ et $g'$ les fonctions dérivées respectives de $f$ et de $g$ sur l'intervalle ]0~;~8].
Déterminer $f'(x)$ et $g'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~8].
		\item   Étudier les signes respectifs de $f'(x)$ et $g'(x)$ pour $x$ appartenant à ]0~;~8].
		\item   En déduire les variations respectives de $f$ et de $g$ sur ]0~;~8].
		\item   Calculer $h(1)$. 
	\end{enumerate}
\item   Déduire des informations obtenues à la question 1, à quelle fonction($f,~ g$ ou $h$) on associe chacune des courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$  et $\mathcal{C}_{3}$ de l'annexe.
\item   Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au point d'abscisse 2.

Tracer cette droite sur le graphique fourni en annexe.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = g (x)$ équivaut à :

		\[(\ln x + 3) \times (\ln x - 1) = 0.\]
		
\item  Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$.
\item  Interpréter graphiquement le résultat de la question 2.
\end{enumerate}
\end{document}