\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks,pst-tree,pstricks-add} %\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}} %Sujet aimablement communiqué par Denis Le Fur et Olivier Noël %Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small 21 novembre 2013} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Sud~\decofourright\\ 21 novembre 2013} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l'entreprise. \medskip Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. \medskip \begin{enumerate} \item La direction de l'entreprise décide de diminuer le budget consacré aux frais de déplacements de ses commerciaux. \medskip \textbf{Affirmation 1 }: \og Diminuer ce budget de 6\,\% par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30\,\% sur la période de 5 ans \fg. \item La production mensuelle varie entre $0$ et \np{10000} clés. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par \[B(x) = - x^2 + 10x - 9,\] où $x$ représente le nombre de milliers de clés produites et vendues. \medskip \textbf{Affirmation 2a}: \og Lorsque l'entreprise produit et vend entre \np{1000} et \np{9000} clés USB, le bénéfice est positif \fg. \medskip \textbf{Affirmation 2b}: \og Lorsque l'entreprise produit et vend \np{5000} clés USB, le bénéfice mensuel est maximal \fg. \medskip \textbf{Affirmation 2c} : \og Lorsque l'entreprise produit et vend entre \np{2000} et \np{8000} clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à \np{78000}~euros \fg. \item Pour contrôler la qualité du stock formé des milliers de clés USB fabriquées chaque année, on sélectionne au hasard un échantillon de \np{4000}~clés. Parmi ces clés, $210$ sont défectueuses. Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, dépasse 7\,\%. \medskip \textbf{Affirmation 3} : \og À l'issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication \fg. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip On considère $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x} + 1.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan et $f'$ la fonction dérivée de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x,\: f'(x) = \text{e}^{- x}(1 - x)$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-1~;~0]$. \item Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{- 1}$ près. \end{enumerate} \item Montrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ est $y = x + 1$. \item L'objectif de cette question est de déterminer la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T$. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel $x$, l'expression et le signe de $f''(x)$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de $f$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|l|X|}\hline &\textbf{Instruction} &\textbf{Réponse}\\ \hline 1& $f(x) = x*\text{exp}(-x) + 1$ &$x\text{e}^{-x} + 1$\\ \hline 2& $f''(x) = $ dérivée seconde$[f(x)]$& $\text{e}^{-x}(x - 2)$\\ \hline 3& résoudre $[\text{e}^{-x}(x - 2) \geqslant 0]$&$x \geqslant 2$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\R$. \item Déterminer l'intervalle de $\R$ sur lequel la fonction est convexe puis celui sur lequel elle est concave. \item En déduire la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T$ sur l'intervalle $]-~\infty~;~2]$. \end{enumerate} \item On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la tangente $T$ dans un repère orthonormé. \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture*}(-2,-0.666)(2,2.666) \multido{\n=-2.0000+0.1666}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](\n,-0.666)(\n,2.666)} \multido{\n=-0.6666+0.1666}{21}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](-2,\n)(2,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-0.666)(2,2.666) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2}{1.6}{x 1 add} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{x 2.71828 x exp div 1 add} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2.71828 x exp div 1 add} \psline(1,2)(0,1)} \uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1.5,2.5){$T$} \uput[d](1.9,1.25){$\mathcal{C}_{f}$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par \[F(x) = \text{e}^{- x}(- 1 - x) + x.\] Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine hachuré compris entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la tangente $T$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ puis donner le résultat arrondi à $10^{- 3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{ES : Enseignement obligatoire\\ L : Enseignement de spécialité} \bigskip Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c'est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l'action qu'il mène). Ce sondage résulte d'une enquête réalisée auprès d'un échantillon de la population du pays. \medskip Les enquêtes réalisées révèlent que d'un mois à l'autre : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 6\,\% des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ; \item[$\bullet~~$] 4\,\% des personnes qui n'étaient pas favorables le deviennent. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $F_{0}$ l'évènement \og la personne interrogée a une opinion favorable dès l'élection du président \fg{} de probabilité $p_{0}$ et $\overline{F_{0}}$ son évènement contraire ; \item[$\bullet~~$] $F_{1}$ l'évènement \og la personne interrogée le 1\up{er} mois a une opinion favorable \fg{} de probabilité $p_{1}$ et $\overline{F_{1}}$ son évènement contraire. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant. \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$F_{0}$}\taput{$p_{0}$}} { \TR{$F_{1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{F_{1}}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{F_{0}}$}\tbput{\ldots}} { \TR{$F_{1}$}\taput{0,04} \TR{$\overline{F_{1}}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Montrer que $p_{1} = 0,9 p_{0} + 0,04$. \end{enumerate} \medskip \emph{Pour la suite de l'exercice, on donne $p_{0} = 0,55$ et on note, pour tout entier naturel $n,\: F_{n}$ l'évènement \og la personne interrogée le $n$-ième mois a une opinion favorable \fg{} et $p_{n}$ sa probabilité.\\ On admet de plus, que pour tout entier naturel $n,\: p_{n+1} = 0,9 p_{n} + 0,04$.} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :}& \\ &$I$ et $N$ sont des entiers naturels\\ & $P$ est un nombre réel\\ \textbf{Entrée :}&\\ &Saisir $N$\\ \textbf{Initialisation :}&\\ &$P$ prend la valeur $0,55$\\ \textbf{Traitement :}&\\ &Pour $I$ allant de $1$ à $N$\\ & \hspace{1cm} $P$ prend la valeur $0,9P + 0,04$\\ & Fin Pour\\ \textbf{Sortie :}&\\ &Afficher $P$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Écrire ce qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $N = 1$. \item Donner le rôle de cet algorithme. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n} = p_{n} - 0,4$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et préciser la valeur de son premier terme $u_{0}$. \item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter le résultat. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $0,15 \times 0,9^n + 0,4 \leqslant 0,45$. \item Interpréter le résultat trouvé. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard. L'étude révèle que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu'elle pratique le snowboard l'hiver suivant est égale à $0,2$. \item Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu'elle pratique le ski de piste l'hiver suivant est égale à $0,3$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On note $S$ l'état : \og la personne pratique le ski de piste \fg{} et $\overline{S}$ l'état : \og la personne pratique le snowboard \fg. On note également pour tout entier naturel $n$ : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $p_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le ski de piste lors du $n$-ième hiver ; \item $q_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le snowboard lors du $n$-ième hiver; \item $P_{n} = \left(p_{n}\quad q_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste du système lors du $n$-ième hiver. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc $P_{0} = (1\quad 0)$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $S$ et $\overline{S}$. \item \begin{enumerate} \item Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste. \item Calculer $M^2$. \item Déterminer l'état probabiliste $P_{2}$. \end{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $p_{n+1} = 0,5 p_{n} + 0,3$. \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :}&\\ \textcircled{1}&$J$ et $N$ sont des entiers naturels\\ \textcircled{2}&$p$ est un nombre réel\\ \textbf{Entrée :}&\\ \textcircled{3}& Saisir $N$\\ \textbf{Initialisation :}&\\ \textcircled{4}&$p$ prend la valeur 1\\ \textbf{Traitement :}&\\ \textcircled{5}&Pour $J$ allant de $1$ à $N$\\ \textcircled{6}&\hspace{0.75cm}$p$ prend la valeur \dotfill.\\ \textcircled{7}&Fin Pour\\ \textbf{Sortie :}&\\ \textcircled{8}&Afficher $p$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Recopier et compléter la ligne $\textcircled{6}$ de cet algorithme afin d'obtenir la probabilité $p_{N}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère, pour tout entier naturel $n$, l'évènement $S_{n}$ : \og la personne pratique le ski de piste lors du $n$-ième hiver \fg. La probabilité de l'évènement $S_{n}$ est notée $p\left(S_{n}\right)$. On a donc $p_{n} = p\left(S_{n}\right)$. On sait d'après la \textbf{partie A} que pour tout entier naturel $n,\: p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,3$. Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = p_{n} - 0,6$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et préciser la valeur de $u_{0}$. \item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter le résultat. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-dessous. Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas. Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passages. Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(13,11.5) \cnodeput(0.3,8){A}{A} \cnodeput(4.8,10.8){B}{B} \cnodeput(12.3,8.3){C}{C} \cnodeput(11.4,3.6){D}{D} \cnodeput(1.8,4.1){E}{E} \cnodeput(5.5,6.2){F}{F} \cnodeput(9.3,0.8){G}{G} \cnodeput(6.4,3.7){H}{H} \cnodeput(4,0.4){I}{I} \ncline{A}{B}\ncput*{7}\ncline{B}{C}\ncput*{13}\ncline{C}{D}\ncput*{12}\ncline{D}{G}\ncput*{5} \ncline{G}{I}\ncput*{7}\ncline{I}{E}\ncput*{18}\ncline{A}{E}\ncput*{21}\ncline{C}{A}\ncput*{16}\ncline{E}{F}\ncput*{5} \ncline{F}{C}\ncput*{8}\ncline{B}{D}\ncput*{18} \ncline{H}{D}\ncput*{6}\ncline{H}{E}\ncput*{12} \ncline{H}{I}\ncput*{19}\ncline{H}{G}\ncput*{13} \ncline{B}{E}\ncput*{15}\ncline{F}{H}\ncput*{7} \ncline{F}{B}\ncput*{8} \end{pspicture} \end{center} Déterminer, à l'aide de l'algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \emph{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à $10^{-3}$ près. \\ Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip Dans un cabinet d'assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Une enquête affirme que 30\,\% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année. \medskip \begin{enumerate} \item Dans le cadre d'une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 15 clients. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l'année. \begin{enumerate} \item Justifier que la loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 15$ et $p = 0,3$. \item Calculer $P(X \geqslant 1)$. \end{enumerate} \item Un expert indépendant interroge un échantillon de $100$ clients choisis au hasard dans l'ensemble des clients du cabinet d'assurance. \begin{enumerate} \item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l'année. \item L'expert constate que $19$ clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année. Déterminer, en justifiant, si l'affirmation du cabinet d'assurance : \og 30\,\% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année \fg{} peut être validée par l'expert. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Selon leur gravité, les sinistres sont classés en catégorie. \medskip On s'intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l'année. On note $Y$ la variable aléatoire donnant le coût, en euros, de ces sinistres. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu = \np{1200}$ et d'écart-type $\sigma = 200$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre \np{1000}~\euro{} et \np{1500}~\euro. \item Calculer la probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à \np{1000}~\euro. \end{enumerate} \end{document}