\documentclass[10pt]{article}
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% Tapuscrit Denis Vergès relu par Arié Yallouz
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 30 mai 2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }
\vspace{0,25cm}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Nord~\decofourright\\30 mai 2014}}
\end{center}
\vspace{0,25cm}
\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.}
\medskip
La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~5]$.
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(6,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5.99,-1)(6,3)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{-5}{5}{x dup mul .125 neg mul EXP}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $[-5~;~5]$ :
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.}\; $f$ est une fonction de densité de probabilité & \textbf{b.}\; $f$ est positive \\
\textbf{c.}\; $f$ n'est pas continue & \textbf{d.}\; l'équation $f'(x)=0$ admet deux solutions
\end{tabularx}
\medskip
\item Sur l'intervalle $[-5~;~5]$ :
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; $f'(1)=0$ & \textbf{b.}\; $f'(0)=1$ & \textbf{c.}\; $f'(0)=0$ & \textbf{d.}\; $f'(1)=1$
\end{tabularx}
\medskip
\item On admet qu'une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 4 est $y=-\dfrac{x}{\mathrm{e}^2}+\dfrac{5}{\mathrm{e}^2}$.
Le nombre dérivé de $f$ en 4 est :
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; $f'(4)=\dfrac{5}{\mathrm{e}^2}$ & \textbf{b.}\; $f'(4)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ & \textbf{c.}\; $f'(4)=-\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ & \textbf{d.}\; $f'(4)=\mathrm{e}^{-2}$
\end{tabularx}
\medskip
\item On pose $A=\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \: \mathrm{d} x$ . Un encadrement de $A$ est :
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; $0 }(0,0)(10,110)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=5](0,0)(10,110)
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{.5}{8.404}{.311 x mul EXP 8.06 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour \np{8000} personnes connectées.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par $f$.
\item Donner une interprétation de ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }} Modèle logarithmique}
\medskip
On considère une autre fonction $g$ pour modéliser la situation précédente.
On note $x$ le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est alors $g(x)$ avec $g(x) = 10x - 8\ln (x)$ pour $x$ appartenant à $[0,5~;~+\infty[$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$.
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $[0,5~;~+\infty[$.
\item Justifier que la fonction $G$ définie sur $[0,5~;~+\infty[$ par $G(x)=5x^2+8x-8x\ln(x)$ est une primitive de $g$ sur $[0,5~;~+\infty[$.
\item On pose $I = \dfrac{1}{2}\displaystyle \int_{2}^{4} g(x) \:\mathrm{d} x$
\begin{enumerate}
\item Montrer que la valeur exacte de $I$ peut s'écrire sous la forme $a+b\ln (2)$ où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on déterminera.
\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $I$ puis donner une interprétation de ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}
\medskip
Une vidéo particulièrement demandée a attiré simultanément \np{8000} personnes. On a constaté que le temps de chargement était de 92 secondes.
Déterminer, en justifiant, celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation pour cette vidéo.
\vspace{0.5cm}
\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}
\textbf{Enseignement obligatoire et L}
\medskip
Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5\,\% des arbres existants et de replanter \np{3000} arbres.
Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée $u$ où $u_n$ désigne le nombre d'arbres au cours de l'année $(2013 + n)$.
En 2013, la forêt compte \np{50000} arbres.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.
\item Montrer que la suite $u$ est définie par $u_0 = \np{50000}$ et pour tout entier naturel $n$ par la relation
\[u_{n+1}=0,95u_n+ \np{3000}.\]
\end{enumerate}
\item On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n =\np{60000} - u_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $v$ est une suite géométrique de raison 0,95.
Déterminer son premier terme.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{10000}(6-0,95^n)$.
\item Déterminer la limite de la suite $u$.
\item Interpréter le résultat précédent.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n \geqslant \np{57000}$
\item Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme affichant pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite du rang $0$ au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.
\medskip
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|@{}p{1mm}@{}|X|@{}p{1mm}@{}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{|c|}{Algorithme 1}&&\multicolumn{1}{c|}{Algorithme 2}&&\multicolumn{1}{c|}{Algorithme 3}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$A$, $U$, $N$ sont des nombres&&$U$, $I$, $N$ sont des nombres&&$U$, $I$, $N$ sont des nombres\\
\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}\\
Saisir la valeur de $A$&&Saisir la valeur de $N$&&Saisir la valeur de $N$\\
$N$ prend la valeur 0&&$U$ prend la valeur \np{50000}&&$U$ prend la valeur \np{50000}\\
$U$ prend la valeur \np{50000}&&\textbf{Pour} $I$ variant de 1 à $N$&&\textbf{Pour} $I$ variant de 1 à $N$\\
\textbf{Tant que} $U