\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre  1999~\decofourright}}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

L'étude de l'évolution de la population de deux villes d'une région entre 1978
et 1998 a été réalisée de deux façons différentes.

Les populations sont exprimées en milliers d'habitants et n désigne un entier
naturel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La 1\up{re} étude a établi que, pour chacune de ces villes, le nombre d'habitants
exprimé en milliers pour l'année $(1978 + n)$ est donné par les relations
suivantes :

\begin{description}
\item[ ] ville A : $u_n = \text{e}^{0,1 n}$
\item[ ] ville B : $v_n = 4 \text{e}^{- 0,1 n}$
\end{description}

Déterminer l'année au cours de laquelle les villes A et B auront le même
nombre d'habitants.
\item  La 2\up{e} étude a établi que le nombre d'habitants de la ville A a augmenté de
$10,5$\,\% par an entre 1978 et 1998.

On note $P_0$ la population de la ville A en 1978 et $P_n$ sa population en
$(1978 + n)$. On suppose que $P_0 = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $P_{n + 1}$ en fonction de $P_n$ et montrer que $P_n$ est une suite géométrique
de raison $1,105$.
		\item Exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
\item  En utilisant $u_n$ et $P_n$ obtient-on à $20$ individus près les mêmes résultats pour
la population de la ville A en 1980 ? en 1995 ?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
Claude, élève en terminale littéraire, va passer l'épreuve d'enseignement
scientifique.

Il sait que chacune des trois matières, mathématiques, sciences physiques et
sciences de la vie et de la terre, a la même probabilité d'être tirée au sort
comme épreuve du bac.

Claude a remarqué au cours de l'année qu'il obtenait la moyenne 4 fois sur 5
en mathématiques et 2 fois sur 3 dans chacune des 2 autres matières.

Soit : $E$ l'évènement \og Claude obtient la moyenne en enseignement scientifique
\fg{};

\hspace{1.cm}$M$ l'évènement \og l'interrogation de l'enseignement scientifique porte sur les
mathématiques \fg{} ;

\hspace{1.cm}$P$ l'évènement \og l'interrogation de l'enseignement scientifique porte sur les
sciences physiques\fg{} ;

\hspace{1.cm}$S$ l'évènement \og l'interrogation de l'enseignement scientifique porte sur les
sciences de la vie et de la terre \fg.

Soit $X$ un évènement, on note $p(X)$ la probabilité qu'il soit réalisé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer avec les notations ci-dessus l'évènement \og Claude obtient la
moyenne en enseignement scientifique en étant interrogé en mathématiques
\fg.

Calculer la probabilité de cet évènement.

Le résultat sera donné sous forme de fraction.
\item Calculer $p(E \cap P)$ et $p(E \cap S)$, en déduire la probabilité que Claude ait la
moyenne en enseignement scientifique.

Les résultats seront donnés sous forme de fraction.
\item Cinq élèves de sa classe évaluent de la même façon leurs chances d'obtenir
ou non la moyenne dans cette épreuve selon la matière tirée au sort.

Quelle est la probabilité que les cinq élèves obtiennent la moyenne ?

On donnera une valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction homographique}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{3x - 1}{x - 2}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = a + \dfrac{b}{x-2}$.
\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de l'ensemble de définition.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Calculer $f'(x)$, étudier son signe suivant les valeurs de $x$ et en déduire le sens
de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Représentation d'une fonction exponentielle}

\medskip

ln désigne le logarithme népérien.

Soit $h$ la fonction définie sur $]\ln 2~;~+ \infty]$ par : 

\[h(x) = \dfrac{3\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - 2}.\]

$\mathcal{C}_h$ est la courbe représentative de $h$ dans un repère orthonormal \Oij.
(unité graphique : 1 cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $h$ en $\ln 2$. Que peut-on en déduire ?
\item Déterminer la limite de $h$ en $+ \infty$ et montrer que la droite d'équation $y = 3$ est
asymptote à $\mathcal{C}_h$ en $+ \infty$.

Préciser la position de $\mathcal{C}_h$ par rapport à cette droite.
\item On note $h'$ la fonction dérivée de $h$.

Calculer $h'(x)$, étudier son signe suivant les valeurs de $x$ et en déduire le sens
de variation de la fonction $h$.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_h$ dans le repère \Oij{} ainsi que ses asymptotes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $H$ est la fonction définie par 

\[H(x) = c \ln \left(\text{e}^x - 2\right) + dx.\]

Déterminer les réels $c$ et $d$ tels que $H$ soit une primitive de $h$ sur  $]\ln 2~;~+ \infty]$.
\item Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de la partie du plan limitée par
la courbe $\mathcal{C}_h$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \ln 3$ et $x = \ln 5$.
\end{enumerate}
\end{document}