\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstcol} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{mai 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{Baccalauréat ES Amérique du Nord mai 2004}} \end{center} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Des éléments de formulaire sont joints au sujet. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les parties A et B sont indépendantes. À la rentrée scolaire, on fait une enquête dans une classe de sixième comprenant 25 élèves. \bigskip \textbf{Partie A :} \medskip On sait que, dans cette classe, $48\,\%$ des élèves ont $11$ ans, $\dfrac{1}{5}$ ont 13 ans et les autres ont 12 ans. Ces élèves utilisent deux types de sacs de cours : le sac à dos ou le cartable classique. 15 élèves, dont les $\dfrac{2}{3}$ ont 11 ans, ont acheté un cartable classique ; les autres, dont la moitié ont 12 ans, ont acheté un sac à dos. \medskip \begin{enumerate} \item Recopier le tableau suivant sur votre copie et le compléter à l'aide des données de l'énoncé : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} &Sac à dos &Cartable & Total\\ \hline 11 ans & & &\\ \hline 12 ans & & &\\ \hline 13 ans & & &\\ \hline Total & & & 25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On interroge au hasard un élève de cette classe. On note : $S$ l'évènement : \og l'élève a un sac à dos \fg{}. $C$ l'évènement : \og l'élève a un cartable \fg{}. $T$ l'évènement : \og l'élève a treize ans \fg. \begin{enumerate} \item Montrer que $P(S) = 0,4$. \item Calculer $P(C \cap T)$. \end{enumerate} \item On interroge successivement et de manière indépendante trois élèves de cette classe ; quelle est la probabilité qu'exactement deux d'entre eux aient un sac à dos ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip À leur inscription, ces élèves doivent souscrire une assurance scolaire ; deux types de contrats annuels sont proposés. D'après des études statistiques, le contrat A dont le coût est de 20~\euro{} est choisi avec une probabilité de 0,7 et le contrat B dont le coût est de 30~\euro{} est choisi avec une probabilité de $0,3$. De plus, le collège propose une adhésion facultative au foyer coopératif, d'un montant de $15$~\euro. Indépendamment du contrat d'assurance choisi, $40\:\%$ des élèves prennent une carte d'adhérent du foyer. On note : $A$ l'évènement : \og l'élève a choisi le contrat A \fg $B$ l'évènement : \og l'élève a choisi le contrat B \fg{} - $F$ l'évènement : \og l'élève est adhérent du foyer \fg{}. \medskip \begin{enumerate} \item Construire l'arbre des probabilités associé à la situation décrite ci-dessus. \item Quelle est la probabilité qu'un élève ait pris le contrat B et soit adhérent du foyer ? \item À chaque élève pris au hasard, on associe le coût $X$ de son inscription (assurance scolaire plus adhésion éventuelle au foyer) ; \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs possibles de ce coût ? \item Établir la loi de probabilité de ce coût et présenter le résultat dans un tableau. \item Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Une grande entreprise publie chaque année son chiffre d'affaires, en millions d'euros. Le tableau ci-dessous donne les chiffres d'affaires des années 1995 à 2001. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline Année &1995 &1996 &1997 &1998 &1999 &2000 &2001\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Chiffre d'affaires $y_{i}$ en millions d'euros&20,4 &24,2 &33,8 &38,6 &49 &53,9 &59,29\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le nuage des points $M_{i}$, associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un plan rapporté à un repère orthogonal est donné en \textbf{annexe}. \medskip \begin{enumerate} \item Répondre sans justification par Vrai ou Faux aux quatre affirmations suivantes : \emph{Les pourcentages sont arrondis au dixième.} \begin{enumerate} \item Entre 1997 et 1998, le chiffre d'affaires a augmenté de $14,2\,\%$ ; \item Entre 2000 et 2001, l'augmentation en pourcentage du chiffre d'affaires a été la même qu'entre 1999 et 2000 ; \item Entre 1995 et 2001, l'augmentation annuelle moyenne, en pourcentage, du chiffre d'affaires a été d'environ $31,8\,\%$ \item On considère le nuage des points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$. Les coordonnées du point moyen de ce nuage sont (3~;~38,6). \end{enumerate} On cherche maintenant à faire des prévisions sur le chiffre d'affaires pour l'année 2004 en utilisant plusieurs méthodes. \item \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi le nuage de points donné en annexe montre qu'un ajustement affine peut être envisagé. \item Tracer la droite $d_{1}$ passant par M$_0$ et M$_6$ ; par lecture graphique, déterminer une prévision $n_1$ du chiffre d'affaires pour l'année 2004. \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $d_2$, droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au centième le plus proche. En déduire une prévision $n_{2}$ du chiffre d'affaires pour l'année 2004. \end{enumerate} \item On remarque que les valeurs du chiffre d'affaires correspondant aux années 1999, 2000 et 2001 forment une suite géométrique ; on pose donc $u_0 = 49,$ $u_1 = 53,9$ et $u_2 = 59,29$. \begin{enumerate} \item Calculer la raison de cette suite. \item Calculer la valeur de $u_5$ pour cette suite géométrique. Comment peut-on l'interpréter ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère le graphe G$_{1}$ ci-dessous : \vspace{0,4cm} \begin{center} \begin{pspicture}(6,3) \psline(0,2)(1,3)(4,3)(0,2)%FBCF \psline(0,2)(4.2,1.8)(5.4,0.8)(0,2)%FADF \psline(1,3)(4.2,1.8)%BA \psline(0,2)(2.3,0.7)(4.2,1.8)(0,2)%FEAF \psline(1,3)(2.3,0.7) \uput[ul](1,3){B} \uput[ur](4.2,1.8){A} \uput[r](4,3){C} \uput[dr](5.4,0.8){D} \uput[d](2.3,0.7){E} \uput[l](0,2){F} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier les affirmations suivantes : A$_{1}$. Le graphe G$_1$ admet au moins une chaîne eulérienne. A$_{2}$. La chaîne DABCFBEFAE n'est pas une chaîne eulérienne de G$_1$. \item Déterminer un sous-graphe complet de G$_1$, ayant le plus grand ordre possible. En déduire un minorant du nombre chromatique $\gamma$ de ce graphe. \item Déterminer un majorant de ce nombre chromatique. (On justifiera la réponse). \item En proposant une coloration du graphe G$_1$, déterminer son nombre chromatique. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit la matrice M d'un graphe orienté G$_2$ dont les sommets A, B, C, D et E sont pris dans l'ordre alphabétique. On donne M = $\begin{pmatrix} 0&1&1&1&0\\ 1&0&1&0&1\\ 1& 1& 0& 0& 1\\ 0&1&0&0&1\\ 1&1&0&1&0\\ \end{pmatrix}$~et ~$\text{M}^3 = \begin{pmatrix} 6&6&4&5&3\\ 5&6&5&3&6\\ 5& 7& 4 &3& 6\\ 3&5&3&3&3\\ 6& 6& 3& 3& 5\\ \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Construire le graphe G$_2$. \item Déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 reliant B à D. Les citer toutes. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La représentation graphique ($\mathcal{C}$) ci-dessous est celle d'une fonction $f$ définie sur $[- 2~;~3 ]$ dans le repère \Oij. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La courbe ($\mathcal{C}$) vérifie les propriétés suivantes : Les points ainsi marqués $\bullet$ sont à coordonnées entières et appartiennent à la courbe tracée, la tangente au point d'abscisse $- 1$ est parallèle à l'axe des abscisses, la tangente au point d'abscisse $0$ coupe l'axe des abscisses en $x = 2$. \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=2mm} \begin{pspicture}(-2,-5)(3,20) \multido{\n=-2+0.5}{11}{\psline[linestyle=dotted](\n,-5)(\n,20)} \multido{\n=-5+5}{6}{\psline[linestyle=dotted](-2,\n)(3,\n)} %\multido{\n=-2+1}{5}{\uput[dr](\n,0){\n}} %\multido{\n=-5+5}{5}{\uput[ur](0,\n){\n}} %\psline[linewidth=2pt]{->}(-2,0)(3,0) %\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-5)(0,20) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-5)(3,20) \psline[linewidth=1.1pt]{<->}(-2,20)(3,-5) \psline{<->}(-1.5,13.5914)(-0.5,13.5914) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{3}{x 5 mul 10 add 2.71828 x exp div} \qdisk(0,10){2pt} \qdisk(-2,0){2pt} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner une équation de la tangente au point d'abscisse $0$. \item Donner les variations de $f$ \item Une des quatre courbes ci-dessous représente graphiquement la fonction $f'$. Déterminer celle qui la représente, en justifiant l'élimination de chacune des trois autres courbes. \vspace{0,6cm} \parbox[c]{0.4\textwidth}{ \psset{yunit=1mm}\begin{pspicture}(-2,-10)(3,20) \multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linestyle=dotted](\n,-10)(\n,20)} \multido{\n=-10+10}{4}{\psline[linestyle=dotted](-2,\n)(3,\n)} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(3,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-10)(0,20) \multido{\n=-2+1}{6}{\uput[dr](\n,0){\n}} \multido{\n=-10+10}{4}{\uput[ur](0,\n){\n}} \rput(0,-13){Figure 1} \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2,0)(-1.5,-5.5)(-1,-9)(0,-5)(1,-3)(2,-2)(3,-1) \end{pspicture}} \hfill \parbox[c]{0.4\textwidth}{ \psset{yunit=1mm}\begin{pspicture}(-2,-10)(3,20) \multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linestyle=dotted](\n,-10)(\n,20)} \multido{\n=-10+10}{4}{\psline[linestyle=dotted](-2,\n)(3,\n)} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(3,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-10)(0,20) \multido{\n=-2+1}{6}{\uput[dr](\n,0){\n}} \multido{\n=-10+10}{4}{\uput[ur](0,\n){\n}} \rput(0,-13){Figure 2} \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2,12)(-1.5,4.3)(-1,0)(0,4.5)(0.75,10)(1,12)(2,20) \end{pspicture}} \vspace{1cm} \parbox[c]{0.4\textwidth}{ \psset{yunit=1mm}\begin{pspicture}(-2,-10)(3,20) \multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linestyle=dotted](\n,-10)(\n,20)} \multido{\n=-10+10}{4}{\psline[linestyle=dotted](-2,\n)(3,\n)} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(3,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-10)(0,20) \multido{\n=-2+1}{6}{\uput[dr](\n,0){\n}} \multido{\n=-10+10}{4}{\uput[ur](0,\n){\n}} \rput(0,-13){Figure 3} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.7}{3}{5 neg 5 x mul sub 2.71828 x exp div} \end{pspicture}} \hfill \parbox[c]{0.4\textwidth}{ \psset{yunit=1mm}\begin{pspicture}(-2,-10)(3,20) \multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linestyle=dotted](\n,-10)(\n,20)} \multido{\n=-10+10}{4}{\psline[linestyle=dotted](-2,\n)(3,\n)} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(3,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-10)(0,20) \multido{\n=-2+1}{6}{\uput[dr](\n,0){\n}} \multido{\n=-10+10}{4}{\uput[ur](0,\n){\n}} \rput(0,-13){Figure 4} \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2,20)(-1.5,3)(-1,0)(0,-2)(1,-3)(2,-4)(3,-5) \end{pspicture}} \vspace{0,8cm} \item On admet que la fonction $f$ est définie par une expression de la forme $f(x) = (ax + b)\text{e}^{kx}$ où $a,~ b$ et $k$ sont des nombres réels. \textbf{a.} Déterminer $f'$ en fonction de $a,~ b$ et $k$. \textbf{b.} En utilisant la question précédente et les propriétés de la courbe ($\mathcal{C}$) données au début de l'exercice, calculer $a,~ b$ et $k$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\text{I} = ]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{ 2(1 + \ln x)}{x}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans I l'équation $f(x) = 0$ ; $\left(\text{Calculer la valeur exacte de la solution,}\right.$\\ $\left.\text{puis en donner une valeur arrondie à}~ 10^{-3}\right)$. \item Résoudre dans I l'inéquation $f(x) > 0$. \end{enumerate} \item On donne ci-dessous le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle I. Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau (variations, limites, valeurs numériques). \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(10,4.1) \psframe(10,4.1) \psline(2,0)(2,4.1) \psline[doubleline=true](2.25,0)(2.25,3.5) \uput[u](2.25,3.5){$0$} \psline(0,3)(10,3) \psline(0,3.5)(10,3.5) \uput[u](1,3.5){$x$} \uput[u](6,3.5){$1$} \uput[u](9.6,3.5){$+ \infty$} \rput[u](1,3.2){$f'(x)$} \uput[u](4,3){+} \uput[u](6,3){$0$} \uput[u](8,3){$-$} \uput[u](1,1.3){$f(x)$} \rput(6,2.7){$2$} \rput(2.6,0.3){$- \infty$} \rput(9.6,0.3){$0$} \psline{->}(2.8,0.5)(5.6,2.6) \psline{->}(6.4,2.6)(9.2,0.5) \end{pspicture} \end{center} \item Dans une entreprise, on a modélisé par la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,2~;~+ \infty[$ le \og bénéfice \fg{} mensuel (éventuellement négatif) réalisé en vendant $x$ milliers d'objets fabriqués. Ce bénéfice est exprimé en milliers d'euros. En utilisant les résultats des questions précédentes, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Quel nombre minimal d'objets l'entreprise doit-elle vendre mensuellement pour que le bénéfice soit positif ? \item Combien faut-il vendre d'objets pour réaliser le bénéfice maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice maximal ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À L'EXERCICE 2 (non spécialistes)} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{1,5cm} \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.225cm} \begin{pspicture}(9,80) \uput[u](9,0){$x$} \uput[r](0,80){$y$} \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,80)} \multido{\n=0+10}{9}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(9,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=4,Dy=20]{->}(0,0)(9,80) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,20.4)(1,24.2)(2,33.8)(3,38.6)(4,49)(5,53.9)(6,59.29) \uput[ur](0,20.4){M$_{0}$} \uput[ur](1,24.2){M$_{1}$} \uput[ur](2,33.8){M$_{2}$} \uput[ur](3,38.6){M$_{3}$} \uput[ur](4,49){M$_{4}$} \uput[ur](5,53.9){M$_{5}$} \uput[ur](6,59.29){M$_{6}$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{MATHÉMATIQUES -- SÉRIE ES}\\ Eléments de formulaire \end{center} \textbf{Probabilités} \textbf{Probabilité conditionnelle de B sachant A} $P_{A}(B)$ est définie par $P(A \cap B) = P_{A}(B) \times P(A)$. \vspace{0,5cm} \textbf{Cas où $A$ et $B$ sont indépendants :} $P(A \cap B) = P(A) \times~ P(B)$. \textbf{Formule des probabilités totales} Si les évènements $B_{1}$, $B_{2}$, \ldots, $B_{n}$ forment une partition de $\Omega$ alors \begin{center}$P(A) = P(A \cap B_1) + P(A\cap B_2) \ldots + P(A\cap B_n)$. \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Espérance mathématique} Une loi de probabilités étant donnée, son espérance mathématique est \[ \text{E} = \displaystyle\sum_{i=1}^n p_ix_i.\] \vspace{0,5cm} \textbf{Analyse} \vspace{0,5cm} \textbf{Limites} \vspace{0,3cm} \[\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty \qquad \qquad \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x } {x} = 0\] \vspace{0,5cm} \textbf{Dérivées et primitives} Les hypothèses permettant d'utiliser les formules doivent être vérifiées par le candidat. \vspace{0,5cm} \[\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\] \end{document}