\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{multirow} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-node,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Amérique du Nord 31 mai 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{31 mai 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord 31 mai 2007~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification.\\ Une bonne réponse apporte $1$ point, une mauvaise enlève $0,5$ point.\\ L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.\\ Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à $0$.} \begin{center} \textbf{COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE EN ANNEXE} \end{center} \begin{flushleft}\textbf{Rappel : } La notation $P_{A}(B)$ désigne la probabilité de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé. \end{flushleft} \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|m{8cm}|m{3,5cm}|}\hline Questions & \\ \hline \multirow{3}{8cm}{\textbf{1.} $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants tels que $p(A) = 0,7$ et $p(B) = 0,2$.} &$\Box~~p(A \cap B) = 0,14$\\ \cline{2-2} & $\Box~~p(A \cup B) = 0,9$\\ \cline{2-2} &$\Box~~p_{A}(B) = 0,5$\\ \hline \multirow{3}{8cm}{\textbf{2.} Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir le côté face est égale à $\dfrac{1}{3}$. On lance $4$ fois de suite cette pièce. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le côté face ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~\dfrac{18}{81}$\\ \cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~\dfrac{72}{81}$\\\cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~\dfrac{65}{81}$\\\hline \multirow{3}{8cm}{\textbf{3.} On considère l'arbre pondéré ci-dessous.\\ Quelle est la probabilité de $P_{H}(F)$ ?\\ \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$E$~}\taput{0,2}} { \TR{$G$}\taput{0,6} \TR{$H$}\tbput{} } \pstree{\TR{$F$~}\tbput{}} { \TR{$G$}\taput{0,3} \TR{$H$}\tbput{} } } \end{center}}&\rule[-3mm]{0mm}{18mm} $\Box~~P_{H}(F) = 0,7$\\\cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{H}(F) = 0,56$\\\cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{H}(F) = 0,875$\\\hline \multirow{3}{8cm}{\textbf{4.} Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, $n$ fois de suite (avec $n> 1$).\\ Quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^n}$\\ \cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}$\\ \cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{2n}}$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{0,5cm} \setlength\parindent{0mm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip La courbe ($\mathcal{C}$) ci-dessous représente une fonction $F$ définie et dérivable sur l'intervalle J $= \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$. On sait que ($\mathcal{C}$) coupe l'axe des abscisses au point (3~;~0) et a une tangente horizontale au point $(1~;~- 2)$. On note $f$ la fonction dérivée de $F$. \bigskip \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.5,-4.5)(7.6,10.5) \psgrid[griddots=10,subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,gridwidth=1pt](0,0)(0,-4)(7.5,10) \multido{\n=0.0+0.5}{16}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-4)(\n,10.)} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=2](0,0)(-0.,-4.5)(7.5,10.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=2]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.501}{7.5}{2 x mul 1 sub 2 x mul 1 sub ln mul 2 div x sub 3 add 5 ln 5 mul 2 div sub} \uput[r](7,8.3){\blue ($\mathcal{C}$)} \end{pspicture*} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide du graphique, donner les variations de $F$ et en déduire le signe de $f$. \item Donner $f(1),\: F(1)$ et $F(3)$. Préciser le signe de $f(3)$. \item Calculer $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \item Trois fonctions $f_{1}~,f_{2}$ et $f_{3}$ sont définies sur l'intervalle J par : \[f_{1}(x) = (x^2 - x +1)\text{e}^{2x - 1},~ f_{2}(x) = \ln (2x - 1 )~ \text{et}~f_{3}(x) = - 1 + \dfrac{1}{2x - 1}.\] Une de ces trois fonctions est la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f_{1}$ sur l'intervalle J. \item Résoudre l'équation $f_{2}(x) = 0$ sur l'intervalle J. \item Calculer $f_{3}(1)$. \item Calculer $\displaystyle\int_{1}^3 f_{3}(x)\:\text{d}x$. \item En déduire la fonction $f$ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip \textbf{Première Partie : Étude d'un graphe} \begin{center} \begin{pspicture}(6,4) \dotnode(0,0.5){Y} \dotnode(0,2){Z} \dotnode(1,2.5){A} \dotnode(3,4){B} \dotnode(2.5,1.8){C} \dotnode(4,2){D} \dotnode(3.5,0.5){G} \dotnode(6,3){F} \dotnode(5.5,1.5){E} \dotnode(5,0){H} \ncarc{Z}{A} \ncarc{A}{B} \ncarc{B}{F} \ncarc{F}{E} \ncarc{E}{H} \ncarc{E}{D} \ncarc{E}{B} \ncarc{H}{G} \ncarc{G}{D} \ncarc{G}{C} \ncarc{C}{D} \ncarc{A}{C} \ncarc{Y}{C} \ncarc{B}{D} \ncarc{A}{Y} \uput[l](0,0.5){Y} \uput[l](0,2){Z} \uput[ul](1,2.5){A} \uput[u](3,4){B} \uput[d](2.5,1.8){C} \uput[dr](4,2){D} \uput[d](3.5,0.5){G} \uput[r](6,3){F} \uput[r](5.5,1.5){E} \uput[r](5,0){H} \ncarc{Y}{G} \end{pspicture} \end{center} \medskip On considère le graphe ci-dessus. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Ce graphe est-il connexe ? \item Déterminer le degré de chacun des sommets. On pourra donner le résultat sous forme de tableau. \item Justifier l'existence d'une chaîne eulérienne. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer un encadrement du nombre chromatique de ce graphe. \item Montrer que ce nombre chromatique est égal à 3. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième Partie : Visite d'un musée} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(10,5) \psframe(0,0)(3.3,3.4)%accueil \psframe(3.3,0)(7.5,1.8)%G \psframe(7.5,0)(10.6,1.8)%H \psframe(3.3,1.8)(5.2,3.4)%C \psframe(5.2,1.8)(9,3.4)%D \psframe(9,1.8)(10.6,3.4)%E \psframe(10.6,0)(12.1,5.2)%F \psframe(0,3.4)(2.3,4.5)%boutique \psframe(2.3,3.4)(6.5,5.2) %A \psframe(6.5,3.4)(10.6,5.2)%B \rput(1.1,3.8){Boutique} \rput(1.65,1.7){Accueil} \rput(4.3,4.3){A} \rput(8.8,4.4){B} \rput(4.3,2.5){C} \rput(7.1,2.5){D} \rput(9.9,2.5){E} \rput(11.5,2.8){F} \rput(5.6,0.9){G} \rput(9,0.9){H} \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.4,3.4)(3.2,3.4)%accueil \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.8)(0,2.2)%accueil \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,3.5)(0,4.4)%boutique gauche \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.3,3.6)(2.3,4.4)%boutique droite \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](6.5,3.9)(6.5,4.7)%A \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.3,0.4)(3.3,1.2)% accueil droit \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.3,2)(3.3,2.8)% accueil droit \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.3,2.2)(3.3,3)% accueil droit haut \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](5.2,2.2)(5.2,3)%C \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](9,2.2)(9,3)%D \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](7.8,3.4)(8.6,3.4)%D haut \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.6,2.2)(10.6,3)%E \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](7.5,0.4)(7.5,1.2)%G \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](6,1.8)(6.8,1.8)%G haut droit \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](4,3.4)(4.8,3.4)%C haut \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](4,1.8)(4.8,1.8)%C bas \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.6,2.2)(10.6,3)%E droit \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](9.4,1.8)(10.2,1.8)%E bas \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.6,3.9)(10.6,4.7)%B droit \psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](9.4,3.4)(10.2,3.4)%H haut \end{pspicture} \end{center} \medskip Voici le plan d'un musée : les parties grisées matérialisent les portes et les visiteurs partent de l'accueil, visitent le musée et doivent terminer leur visite la la boutique. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation à l'aide d'un graphe en précisant ce que représentent arêtes et sommets. \item \begin{enumerate} \item Pourquoi est-il possible de trouver un circuit où les visiteurs passent une fois et une seule par toutes les portes ? \item Donner un exemple d'un tel circuit. \end{enumerate} \item Comment colorier les salles y compris l'accueil et la boutique, en utilisant un minimum de couleurs, pour que deux salles qui communiquent par une porte aient des couleurs différentes ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Dans tout l'exercice, le détail des calculs statistiques n'est pas demandé.\\Les résultats seront arrondis à }$10^{-3}$. \emph{On rappelle que l'image d'un réel $x$ par la fonction exponentielle peut être notée } exp$(x) = \text{e}^x$. \medskip On veut étudier l'évolution des records de l'épreuve d'athlétisme du 100 mètres masculin. Pour cela, on cherche un ajustement des records pour en prévoir l'évolution. On donne dans le tableau suivant certains records, établis depuis 1900. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1900 &1912 &1921 &1930 &1964 &1983 &1991 &1999\\ \hline Rang de l'année, $x_{i}$ &0 &12 &21 &30 &64 &83 &91 &99\\ \hline Temps en secondes, $y_{i}$ &10,80 &10,60 &10,40 &10,30 &10,06 &9,93 &9,86 &9,79\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Étude d'un modèle affine} \begin{enumerate} \item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, avec $i$ compris entre 1 et 8, associé à cette série statistique double. On prendra comme unité graphique 1~cm pour dix ans en abscisse et 1 cm pour un dixième de seconde en ordonnées. On commencera les graduations au point de coordonnées (0~;~9). \item Peut-on envisager un ajustement affine à court terme ? Cet ajustement permet-il des prévisions pertinentes à long terme sur les records futurs ? \end{enumerate} \item \textbf{Étude d'un modèle exponentiel} Après étude, on choisit de modéliser la situation par une autre courbe. On effectue les changements de variables suivants : \[X = \text{e}^{-\nombre{0,00924}x}~\text{ et }~ Y = \ln y.\] On obtient le tableau suivant : \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $X_{i} = \text{e}^{-\np{0,00924}x_{i}}$& 1 &0,895 &0,824 &0,758 &0,554 &0,464 &0,431&0,401\\ \hline $Y_{i} = \ln y_{i}$ &2,380 &2,361 &2,342 &2,332 &2,309 &2,296 &2,288&2,281\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Donner une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ obtenue par la méthode des moindres carrés. \item En déduire que l'on peut modéliser une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme suivante : $y = \text{exp} (a \text{e}^{-\nombre{0,00924}x} + b)$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer. \item À l'aide de cet ajustement, quel record du 100 mètres peut-on prévoir en 2010 ? \item Calculer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression suivante : \[f(t) = \text{exp}\left(0,154 \text{e}^{-\nombre{0,00924}x} + 2,221\right).\] \item Que peut-on en conclure, en utilisant ce modèle, quant aux records du cent mètres masculin, àa très long terme ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.} \medskip \textbf{Première partie} \medskip On considère une fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+\infty \right[$ par : \[ g(x) = - x^2 + a x - \ln (2x + b),\: \text{ où } \:a\:\text{et}\: b\: \text{sont deux réels.}\] Calculer $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de $g$ dans un plan muni d'un repère \Oij{} passe par l'origine du repère et admette une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$. \medskip \textbf{Deuxième partie} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+\infty \right[$ par : \[f(x) = -x^2 + 2x - \ln (2x+1).\] On admet que $f$ est dérivable et on note $f'$ sa dérivée. Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant : \begin{center} \begin{pspicture}(11.5,5) \psframe(11.5,5) \psline(0,3)(11.5,3) \psline(0,4)(11.5,4) \psline(2.5,0)(2.5,5) \psline(2.6,0)(2.6,4) \psline(2.65,0)(2.65,4) \psline{->}(3.25,2.7)(5.2,0.3) \psline{->}(5.8,0.3)(7.8,2.7) \psline{->}(9.2,2.7)(11,0.4) \uput[u](1.25,4.25){$x$} \rput(1.25,3.5){signe de $f'(x)$} \rput(1.25,2.7){variations} \rput(1.25,2){de} \rput(1.25,1.3){$f$} \uput[u](2.7,4.25){$- \frac{1}{2}$}\uput[u](5.5,4.25){$0$} \uput[u](8.5,4.25){$\frac{1}{2}$} \uput[u](11,4.25){$+\infty$} \uput[u](5.5,3.25){$0$}\uput[u](8.5,3.25){$0$} \uput[u](4,3.25){$-$} \uput[u](7,3.25){$+$} \uput[u](10,3.25){$-$} \uput[d](2.9,3){$+ \infty$} \uput[u](5.5,0){$0$} \uput[d](8.5,3){$\frac{3}{4} + \ln \left(\frac{1}{2}\right)$} \uput[u](11,0){$- \infty$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~1\right]$. \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \item Déterminer le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+\infty \right[$. \end{enumerate} \newpage \bigskip \textbf{ANNEXE \hfill À RENDRE AVEC LA COPIE} \bigskip \begin{center} \begin{tabular}{|m{8cm}|m{3,5cm}|}\hline Questions & \\ \hline \multirow{3}{8cm}{\textbf{1.} $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants tels que $p(A) = 0,7$ et $p(B) = 0,2$.} &$\Box~~p(A \cap B) = 0,14$\\ \cline{2-2} & $\Box~~p(A \cup B) = 0,9$\\ \cline{2-2} &$\Box~~p_{A}(B) = 0,5$\\ \hline \multirow{3}{8cm}{\textbf{2.} Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir le côté face est égale à $\dfrac{1}{3}$. On lance $4$ fois de suite cette pièce. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le côté face ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~\dfrac{18}{81}$\\ \cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~\dfrac{72}{81}$\\\cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~\dfrac{65}{81}$\\\hline \multirow{3}{8cm}{\textbf{3.} On considère l'arbre pondéré ci-dessous.\\ Quelle est la probabilité de $P_{H}(F)$ ?\\ \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$E$~}\taput{0,2}} { \TR{$G$}\taput{0,6} \TR{$H$}\tbput{} } \pstree{\TR{$F$~}\tbput{}} { \TR{$G$}\taput{0,3} \TR{$H$}\tbput{} } } \end{center}}&\rule[-3mm]{0mm}{18mm} $\Box~~P_{H}(F) = 0,7$\\\cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{H}(F) = 0,56$\\\cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{H}(F) = 0,875$\\\hline \multirow{3}{8cm}{\textbf{4.} Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, $n$ fois de suite (avec $n> 1$).\\ Quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^n}$\\ \cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}$\\ \cline{2-2} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{2n}}$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{document}