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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES (A1)}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small  décembre 1994}
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\begin{center} 
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 Amérique du Sud décembre 1994~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On considère les 5 suites numériques suivantes pour tout entier naturel $n$ :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $\left(a_{n}\right)$ définie par $a_{n} = (- 1)^n$ ; 
\item[ ] $\left(b_{n}\right)$ définie par $b_{n} = n\text{e}^{-n}$ ; 
\item[ ] $\left(c_{n}\right)$ définie par $c_{n} = \dfrac{n + 5}{n + 1}$ ;
\item[ ] $\left(d_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c l}
d_{0}&=&5\\ \text{et}&&\\ d_{n+1}&=&d_{n} - 5\end{array}\right.$
\item[ ] $\left(u_{n}\right)$ définie par définie par $d_{n} =  \ln \left(n^2 + n + 1\right)$ (où ln représente le logarithme népérien).
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On sait que, parmi ces 5 suites,
 
une et une seule est géométrique ;
 
une et une seule est minorée par 1 ;
 
une et une seule est croissante ;
 
une et une seule converge vers $0$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant. en cochant les cases qui correspondent à une réponse \og oui \fg{} : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{}&$\left(a_{n}\right)$&$\left(b_{n}\right)$&$\left(c_{n}\right)$&$\left(d_{n}\right)$&$\left(u_{n}\right)$\\ \hline 
est géométrique&&&&&\\ \hline 
est minorée par 1&&&&&\\ \hline 
est croissante&&&&&\\ \hline 
converge vers $0$&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\item Si le tableau ci-dessus était rempli par un dispositif aléatoire qui, ligne par ligne et de manière indépendante, coche au hasard une case unique par ligne, quelle serait la probabilité qu'il y ait au moins une réponse exacte ?
\end{enumerate}
 
\textbf{N. B.} : \og  au hasard \fg{} signifie qu'il s'agit d'équiprobabilité. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = 1 - x^3 - 2 \ln x\]

où ln représente le logarithme népérien. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition. 
\item Calculer la dérivée de $g$ et établir le tableau de variation de la fonction $g$. 
\item Montrer que 1 est l'unique solution de l'équation $g(x) = 0$. 

En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Soit la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par: 
2 
\[f(x) = \dfrac{2\ln x}{x^2} - 2 x + 3.\] 

Soit $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 4~cm). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 
\item Calculer la dérivée de $f$. 

Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $f'(x) = 2g(x)$.

En déduire le signe de $f'(x)$, puis le sens de variation de $f$.

Établir le tableau de variation de $f$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite D d'équation $y = - 2x + 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
\item Étudier les positions relatives de D et $\mathcal{C}$. 
\item Tracer, dans le repère \Oij, la droite D et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale : 
 
\[\int_{1}^{\frac{3}{2}} \dfrac{\ln x}{x^2}\:\text{d}x.\] 
 
\item Calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite D et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \dfrac{3}{2}$. 
\end{enumerate}
\end{document}