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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES (B)}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small  décembre 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat B Amérique du Sud décembre 1994~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Lors d'un prochain match, l'équipe F aura à affronter l'une des 4
équipes : A, B, C, D.

Un tirage au sort désignera l'équipe adverse de F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que l'équipe A soit désignée pour
affronter F ?
\item Il n'y a pas de match nul.

La probabilité que F gagne si elle affronte A est $0,6$.

Elle est la même si F affronte B. Si F joue contre C, sa probabilité
de gagner est $0,7$, mais si F affronte D, la probabilité qu'elle perde
le match est $0,8$.

Calculer les probabilités des évènements suivants :

$E_1$ : \og F affronte A et gagne le match \fg

$E_2$ : \og F affronte C et gagne le match \fg

$E_3$ : \og F affronte D et gagne le match \fg.
\item En déduire la probabilité que F gagne le match.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de cas d'une maladie
M, de 1985 à 1991.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
ANNÉE& 1985 &1986 &1987 &1988 &1989 &1990 &1991\\ \hline
Rang $x_1$ de l'année&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
Nombre $y_i$ de cas en milliers&29 &57 &112 &189 &286 &385 &418\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\scriptsize (Source Organisation Mondiale de la Santé)}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement la série $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère
orthogonal (2~cm pour unité graphique en abscisse ; 1~cm pour
20~milliers de cas en ordonnée).
\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de $x$ et de $y$.
\item Déterminer une équation dela droite de régression de $y$ en $x$,sous la forme : $y = mx + p$ où $m$ et $p$ seront arrondis à $10^{-1}$ près.

Représenter cette droite dans le repère précédent, en faisant apparaître le point moyen G de la série.
\item Combien de cas de la maladie M peut-on prévoir pour 1993, en
supposant que l'évolution se poursuive de la même manière ?

On donnera le résultat à \np{1000} cas près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soient $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x^3\text{e}^x - 1\]

et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} (unité
graphique : 2 cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ et
vers $- \infty$. 
		
$\left(\text{On rappelle que }\:\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(x^3\text{e}^x\right) = 0\right)$.
		\item Étudier les variations de $f$. Dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique
dans l'intervalle [0~;~1].

Trouver un encadrement de cette solution d'amplitude $10^{-1}$.
\item Construire la courbe $(C)$ et la droite $(D)$ d'équation $y = - 1$.

Préciser la tangente à $(C)$ au point d'abscisse $0$ et l'asymptote.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x^3\text{e}^x$.
		
Vérifier que la fonction $G$ définie par G$(x) = \left(x^3 - 3x^2 + 6x - 6\right)
\text{e}^x$ est une primitive de $g$ sur $\R$.
		\item En déduire l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par la 
courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et
$x = -3$.
		
Donner une valeur approchée de cette aire à $10^{-2}$ près par excès.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}