\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre  2000}}

\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 2000~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans chacun des calculs, donner les résultats sous forme de fiactions
 irréductibles. 
\begin{enumerate} 
\item Le jeune Bob obtient des résultats moyens à l'école. Pour le motiver, sa maman lui propose le jeu suivant : à chaque fois qu'il obtient une \og bonne \fg{} note, il peut tirer successivement sans remise deux pièces dans un sac contenant 7 pièces de 5 francs et 3 pièces de 10 francs.
 
Si les deux pièces sont de valeurs différentes, il garde ces deux
 pièces et sa maman complète le sac pour une autre fois.
  
Si les deux pièces sont de même valeur, il remet les deux pièces dans le 
sac.

Déterminer la probabilité des évènements suivants :

$A$ : \og Bob tire deux pièces de $5$ francs \fg{} ;

$B$ : \og Bob tire deux pièces de $10$ francs \fg{} ;

$C$ : \og Bob tire deux pièces de valeurs différentes \fg{}.
\item On conserve le principe du jeu du 1).

On se propose de faire gagner un peu plus d'argent à Bob en changeant
juste le nombre de pièces de $10$ francs dans le sac, le nombre de pièces
de $5$ francs étant toujours de $7$.

On suppose qu'il y a $n$ pièces dans le sac dont toujours 7 pièces de
5 francs ($n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 10).
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité $p_n$ de l'évènement \og Bob tire deux pièces de valeurs différentes \fg{} est :

\[p_n = \dfrac{14(n- 7)}{n(n- 1)}\]

		\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[10~;~+~\infty[$  par :

\[f(x) = \dfrac{ 14 (x - 7)}{ x(x- 1)}.\] 

Étudier les variations de $f$ et en déduire les deux valeurs entières consécutives de $n$ entre lesquelles la fonction $f$ présente son maximum. Donner alors la valeur maximale de $p_n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire}

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de passagers sur une
 ligne aérienne entre 1994 et 1998 :
  
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\hline
Année 						&1994 		&1995 		&1996 		&1997 		&1998\\ \hline
Rang de l'année ~$x_i$ 		&1 			&2			&3 			&4 			&5\\ \hline
Nombre de passagers ~$p_i$ 	&\np{7550} 	&\np{9230}	&\np{10745}	&\np{12840}	&\np{15665}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Dans cet exercice, les résultats numériques pourront être obtenus à
l'aide de la calculatrice, sans justification. Ils seront donnés sous forme décimale approchée à} ~$10^{- 3}$ \emph{près par défaut sauf à la question}~3.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On pose $y_i = \ln (p_i)$.
		
Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ &1	& 2	&3	&  4	&5\\ \hline
$y_i$ &     &   &   &     	&   \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 10~cm sur l'axe des ordonnées ; les graduations commencent à 0 sur l'axe des abscisses et à 8 sur l'axe des ordonnées).
 
Placer le point moyen G de ce nuage.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier pourquoi un ajustement affine est acceptable.
		\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la
 droite d'ajustement affine (ou droite de régression) (D) de $y$ en $x$.
  
Tracer la droite (D) sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item En supposant la même évolution du nombre de passagers, donner une
 estimation de ce nombre de passagers en l'an 2000 (arrondir le résultat
 à 100 près).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

À l'entraînement, un jeune basketteur effectue des tentatives pour marquer un panier. Pour chaque tentative, il dispose de deux essais. On considère que la tentative est réussie si le premier essai est réussi ou, sinon, lorsque le second essai est réussi. 
Après plusieurs jours, son entraîneur a constaté que :

\setlength\parindent{8mm}
$\bullet~$la probabilité de réussir le premier essai est 0,5 ;
 
$\bullet~$la probabilité de réussir le deuxième essai, sachant que le premier a été raté, est 0,4.
\setlength\parindent{0mm}

Dans tout l'exercice, on considère que les tentatives successives sont indépendantes. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Le joueur fait une tentative de marquer un panier. Montrer que la
 probabilité de succès est $0,7$.
\item Le joueur effectue deux tentatives successives. Calculer la 
probabilité des évènements suivants :

$A$ \og Réussir les deux tentatives \fg{} ;

$B$ \og Réussir les deux tentatives au premier essai \fg.
\item Le joueur effectue cinq tentatives successives. Quelle est la probabilité d'en réussir exactement quatre ? (Donner un résultat arrondi à $0,01$ près.)
\item Le joueur effectue $n$ tentatives successives où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité $p_n$ de l'évènement : \og Le joueur réussit au moins une tentative \fg, est :
		 
\[p_n = 1 - 0,3^n.\]

		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(p_n\right)$.

Déterminer sa limite quand $n$ tend vers $+ \infty$.
\item Déterminer le nombre minimal $n$ de tentatives que doit effectuer le joueur pour que la probabilité $p_n$ soit supérieure à $0,999$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

La répartition de la masse salariale d'une entreprise entre ses salariés
 peut être décrite par une fonction $f$ qui permet d'apprécier si la
 distribution des salaires est plus ou moins régulièrement répartie. Une
 telle fonction, qui indique des pourcentages de salaires en fonction de
 pourcentages d'individus, est définie sur l'intervalle [0~;~1] et 
satisfait aux conditions (C) suivantes :

\setlength\parindent{9mm} 
(C$_1)~:~f(0) = 0$ et $f(1) = 1$~;

(C$_2)~:~f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1] ;

(C$_3$) : pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1],~$ f'(x) \leqslant x$.
\setlength\parindent{0mm} 

Ce problème a pour but d'étudier deux de ces fonctions, de tracer leur
 courbe représentative et de comparer la répartition des masses
 salariales des entreprises correspondantes.

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie I}

\medskip

$\star$  \textbf{Étude d'une fonction préliminaire}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur [0~;~1] par :

\[g(x) = 1 - \text{e}^{x- 1}.\]

\smallskip
 
Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$~ ; étudier son signe.

Calculer $g(0)$ et $g(1)$~; en déduire le signe de $g(x)$ sur [0~;~1].

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère deux entreprises $P$ et $Q$ pour lesquelles les fonctions $p$ et $q$ donnant les répartitions de masse salariale sont définies sur [0~;~1] par :

\[p(x) = x^2\quad  \text{et} \quad  q(x) = x\text{e}^{x- 1}.\]

\vspace{0,3cm}

$\star$ \textbf{A. Étude des conditions (C) pour les fonctions \boldmath 
$p$ \unboldmath  et  \boldmath $q$ \unboldmath}
\begin{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $p$ vérifie les trois conditions (C$_1$),  
(C$_2$),  (C$_3$).
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $q$ vérifie la condition (C$_1$).
		\item Calculer $q'(x)$ où $q'$ désigne la fonction dérivée de $q$.
		
Étudier le signe de $q'(x)$ sur [0~;~1].

Montrer que la fonction $q$ vérifie la condition (C$_2$).
		\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1] :~$ x - q(x) = xg(x)$ où $g$ est la fonction de la partie 1.

Montrer que la fonction $q$ vérifie la condition (C$_3$). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,3cm}
$\star$~ \textbf{B. Tracé des courbes représentatives des fonctions \boldmath $p$ \unboldmath  et \boldmath $q$ \unboldmath}

\medskip

On appelle ($\Delta$)  la droite d'équation $y = x$ et on appelle respectivement $\left(\Gamma_p\right)$ et  $\left(\Gamma_q\right)$ les représentations graphiques des fonctions $p$ et $q$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 10~cm.

Recopier et compléter le tableau suivant (donner les valeurs arrondies à 0,01 près).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ 	& 0&0,1&0,2	&0,3&0,4&0,5&0,6&0,7&0,8&0,9&1\\ \hline
$p(x)$ 	&  &   &  	&  	&   &   &  	&   &  	&  	&  \\ \hline
$q(x)$ 	&  &   &  	&  	&   &   &  	&   &  	&  	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Tracer ($\Delta$), $\left(\Gamma_p\right)$ et $\left(\Gamma_q\right)$ dans le repère défini ci-dessus.

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie III}

\medskip

$\star$~ \textbf{Coefficient de Gini}

\medskip

Le coefficient de Gini d'une entreprise est un indicateur d'inégalité de
répartition salariale dans l'entreprise. Plus il est grand, plus la répartition des salaires est inégale.
Dans une entreprise dont la répartition de la masse salariale est décrite par une fonction $f$ satisfaisant aux conditions (C), on appelle coefficient de Gini le nombre réel :

\[G_f = 2\displaystyle\int_0^1  [x-f(x)]\:\text{d}x.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate} 
\item Calculer le coefficient de Gini $G_p$ de l'entreprise $P$
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $Q$ définie sur [0~;~1] par
$Q(x) = (x - 1)\text{e}^{x- 1}$ est une primitive de la fonction $q$ sur [0~;~1].
		\item Calculer le coefficient de Gini $G_q$ de l'entreprise $Q$.
	\end{enumerate}
\item Comparer $G_p$ et $G_q$.

Dans laquelle des deux entreprises la répartition de la masse salariale 
 est-elle la plus inégale ? justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{document}