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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rfoot{\small{Amérique du Sud}} 
\lfoot{\small {novembre 2003}}
 
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES 
Amérique du Sud novembre 2003~\decofourright}} \end{center} 

\vspace{0,35cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\bigskip 

\textbf{Partie A} 

\medskip

\textbf{Lecture graphique} 

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,5) 
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-5,-4)(5,5) 
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5,-4)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[u](-4.3,3.45){\blue $\mathcal{C}$} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{-0.179}{2.71828 x exp x add 2.71828 x exp 1 sub div} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.277}{5}{2.71828 x exp x add 2.71828 x exp 1 sub div} 
\end{pspicture} \end{center} 

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessus est une représentation graphique, dans le plan muni du repère \Oij~ d'une fonction $f$ définie sur $\R - \{0\}$. 

L'axe des ordonnées et la droite d'équation $y = 1$ sont deux asymptotes à 
la courbe $\mathcal{C}$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Lire les limites de la fonction $f$ aux bornes de l'ensemble de 
définition. 

\item Résoudre graphiquement : 
	\begin{enumerate} 
		\item $f(x) = 1$ ; 
		\item $f(x) > 1$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

On admet que la fonction $f$ représentée par la courbe précédente est 
définie sur $\R - \{0\}$ par : 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{x} + x}{\text{e}^{x}-1}.\] 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que l'on a : 
$f(x) = \dfrac{1 + \frac{x}{\text{e}^{x}}}{1 - \frac{1}{\text{e}^{x}}}$. 
		\item Retrouver alors, en justifiant, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier, suivant les valeurs de $x$, le signe 
de $\left(\text{e}^{x} - 1\right)$. 
		\item Résoudre l'inéquation $\dfrac{\text{e}^{x} + x}{\text{e}^{x}-1} > 1$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 
\left[f(x) + x\right] = 0$. 
		\item Que peut-on en déduire ? 
	\end{enumerate} 
\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite d'équation 
$y = - x$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 

\bigskip

Alain et Benjamin pratiquent assidûment le tennis. Lorsqu'ils disputent 
un match l'un contre l'autre, est déclaré vainqueur le premier qui remporte deux manches.

\vspace{0,2cm} 

\parbox[l]{0.5\textwidth}{Alain et Benjamin décident de faire un 
match.
 
On considère les évènements :
 
$A_i$ : \og Alain remporte la $i$-ième manche \fg{} ;
 
$B_i$ : \og Benjamin remporte la $i$-ième manche \fg{}.
 
On donne ci-contre l'arbre pondéré présentant toutes les issues possibles de cette 
rencontre.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité qu'Alain remporte ce match en trois manches ? 
\item Démontrer que la probabilité qu'Alain gagne cette rencontre est $0,6$. 
\end{enumerate}} 
\hfill \parbox[l]{0.45\textwidth}{%
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\Tr{$A_1$}\naput{1/3}}
	{\TR{$A_2$}\naput{3/5}	
	\pstree{\TR{$B_2$}}
			{\TR{$A_3$}\naput{3/4}
			\TR{$B_3$}
			}	
	}
\pstree{\Tr{$B_1$}}
	{\pstree{\TR{$A_2$}\naput{3/5}}
		{\TR{$A_3$}\naput{3/4}
		\TR{$B_3$}
		}	
	\TR{$B_2$}	
	}	
}
} 
\begin{enumerate}[start=3]
\item Ils décident de jouer trois matchs dans l'année (les résultats des matchs  sont indépendants les uns des autres) et de faire une cagnotte pour s'offrir  un repas en fin d'année. À la fin de chaque match, le perdant versera $20$~ 
\euro. 

Benjamin s'interroge sur sa dépense éventuelle en fin d'année. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les dépenses possibles de Benjamin ? 
		\item Démontrer que la probabilité que Benjamin dépense 40 \euro~est 0,432. 
		\item Quelle est la loi de probabilité associée à la dépense possible de 
Benjamin ? 
		\item Calculer l'espérance de dépense en fin d'année pour Benjamin. 
\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 

\textbf{Enseignement de spécialité} 

\bigskip

Monsieur X a placé \np{2000}~\euro{} le 31 décembre 2002 sur son livret bancaire,  à intérêts composés au taux annuel de $3,5\,\%$ (ce qui signifie que, chaque  année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). À partir de l'année suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, $700$~\euro{} supplémentaires sur ce livret. 

On désigne par $C_n$ le capital, exprimé en euros, disponible le 
$1\up{er}$ janvier de l'année $(2003 + n)$, où $n$ est un entier naturel. 
Ainsi, on a : 

\[\text{C}_0 = \np{2000}.\] 

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le capital disponible le 
$1\up{er}$ janvier 2004. 
		\item Établir, pour tout entier naturel $n$, une relation entre $C_{n + 1}$ et $C_n$. 
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : 

\[u_n = C_n + \np{20000}.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite 
géométrique dont on déterminera la raison. 
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : 

\[C_n = \np{22000} \times (1,035)^n - \np{22000}.\] 

		\item Calculer le capital disponible le $1\up{er}$ janvier 2008 (on arrondira le résultat à l'euro près). 
	\end{enumerate} 
\item Le premier janvier 2008, Monsieur X retirera alors le capital disponible de la banque pour financer un voyage dont le coût (supposé fixe) est 
de \np{6000}~\euro. Il paiera cette somme en 4 mensualités qui seront 4 termes 
consécutifs d'une suite arithmétique de raison $800$~\euro. 

Calculer le montant de chacune de ces 4 mensualités. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} 

\bigskip 

\textbf{Partie A} 

\medskip

\textbf{Étude d'une fonction} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \ln \left(x^3 - x^2\right).\] 

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Justifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $]1~;~ 
+\infty[,\: f(x)$ est définie. 
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{{x \to 1} \atop {x > 1}} f(x)$, puis 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Vérifier que, pour tout $x$ dans l'intervalle $]1 ~;~ +\infty[$ 

\[f'(x) = \dfrac{3x - 2}{x(x - 1)}.\] 

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]1~;~+\infty[$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que l'équation : 

\[f(x) = 0\] 

admet sur $]1~;~+\infty[$ une solution unique $\alpha$. Donner la valeur arrondie  de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. 
		\item Démontrer que $f(x)$ est strictement positif sur $]\alpha~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm, tracer la courbe  $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$. 
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]1 ~;~ +\infty[$ par : 

\[h(x) = 2x \ln x + (x- 1)\ln (x- 1).\] 

On note $h'$ sa fonction dérivée. 

Pour tout $x$ de $]1~;~+\infty[$, calculer $h'(x)$. 

En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1 ~;~ +\infty[$ 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie B} 

\medskip

\textbf{Interprétation économique} 

\medskip

On considère une machine produisant un composé chimique liquide. 

Pour qu'elle soit rentable, cette machine doit produire au moins 
2 hectolitres. 

De plus, le liquide produit est dangereux et impose une fabrication maximale 
de 9 hectolitres avant révision de la machine. 

Pour tout $x$ de [2 ; 9], la valeur du coût marginal $c(x)$, exprimé en milliers  d'euros, est donnée par : 

\[c(x) = \ln \left(x^3 - x^2\right),\] 

et $C_T(x)$ est le coût total de fabrication de $x$ hectolitres de liquide. On 
rappelle que : 

\[C'_T(x) = c(x).\] 

où $C'_T$ désigne la fonction dérivée de $C_T$. 

Le coût total des deux premiers hectolitres (mise en route de la machine 
et fabrication) est 10 milliers d'euros, ce qui se traduit par $C_T(2) = 
10$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le coût total $C_T(x)$ en fonction de 
$x$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $C_T(9) - C_T(2)$. On donnera d'abord la valeur 
exacte, puis une valeur approchée à l'euro près. 
		\item Donner une interprétation graphique de la question \textbf{2. a.}. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}  
\end{document}