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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES  } 
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2008}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud 
novembre 2008~\decofourright}\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
 
Aucune justification n'est demandée.
  
  \emph{Barème : pour chaque question, une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève de point. Si la somme des points de cet exercice est négative, la note est ramenée à $0$.}
  
\medskip
  
\parbox{0.48\linewidth}{Les deux parties sont indépendantes.
 
\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Dans cette partie, on considère la courbe	représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~5]$ (voir ci-contre). On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\textbf{1.}  On peut affirmer que :
\setlength\parindent{10mm} 
\begin{itemize}
\item[] Réponse A : $f'(4,5) = 0$ ;

\item[] Réponse B : $f'(3) = 0$ ;

\item[] Réponse C : $f'(3) = 4,5$.
\end{itemize}}\hfill
\parbox{0.47\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}\begin{pspicture}(-1.5,-4.5)(5.5,5) 
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](-1,-4)(5,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-4.)(5.,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.5pt, linecolor=blue]{-1}{5}{x 2 exp 9 2 x mul sub mul 6 div}
\psline[linewidth=1pt]{<->}(2.25,4.5)(3.75,4.5) \psline[linewidth=0.43pt](2.25,4.5)(0,4.5)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-0.75,0)(0.75,0)
\uput[l](0,4.5){4,5} \uput[dl](4.6,0){4,5}
\uput[u](5.1,0){$x$} \uput[r](0,5){$y$}
\end{pspicture}}

\textbf{2.}  Soit $F$ une primitive sur l'intervalle $[-1~;~5]$ de la fonction $f$.  Alors : 
\setlength\parindent{10mm} 
\begin{itemize}
\item[] Réponse A : $F$ est décroissante sur l'intervalle $[3 ~;~ 4,5]$ ;

\item[] Réponse B : $F$ présente un minimum en $x = 0$ ; 
 
\item[] Réponse C : $F$ présente un maximum en $x = 4,5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $\left]- \infty~;~- \dfrac{1}{3}\right[$	par
 
\[ h(x) = 9 + \ln \left(\dfrac{3x + 1}{x - 2} \right).\]

\setlength\parindent{10mm} 
\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative de la fonction $h$ admet pour asymptote la droite d'équation :

\begin{itemize}
\item[] Réponse \textbf{A} : $y = 9$ ;
 
\item[] Réponse \textbf{B} : $y = - \dfrac{1}{3}$ ; 
 
\item[] Réponse \textbf{C} : $y = 9 + \ln (3)$.
\end{itemize} 
\item  Parmi les expressions suivantes de $h(x)$, l'une d'elles est fausse, laquelle ? 
 
\begin{itemize}
\item[]Réponse \textbf{A} : $h(x) = 9 + \ln(3x + 1) - \ln(x -2)$ ;

\item[]Réponse \textbf{B} : $h(x) = 9+ \ln \left(3 +\dfrac{7}{x - 2}\right)$ ;
 
\item[]Réponse \textbf{C} : $h(x) = 9 - \ln \left(\dfrac{x -2}{3x + 1} \right)$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\setlength\parindent{0mm} 

\newpage
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Suite à une panne technique, un distributeur de boissons ne tient aucun compte de la commande faite par le client.
 
Cette machine distribue soit un expresso, soit du chocolat, soit du thé en suivant une programmation erronée.
  
Chaque boisson peut être sucrée ou non. 

\setlength\parindent{10mm}    
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  La probabilité d'obtenir un expresso est $\dfrac{1}{2}$.
\item[$\bullet~$]   La probabilité d'obtenir un thé sucré est $\dfrac{2}{9}$ .
\item[$\bullet~$]   Si l'on obtient un expresso, la probabilité qu'il soit sucré est $\dfrac{5}{9}$.
\item[$\bullet~$]   Si l'on obtient un chocolat, la probabilité qu'il soit sucré est $\dfrac{1}{3}$.
\item[$\bullet~$]   La probabilité d'obtenir une boisson sucrée est $\dfrac{5}{9}$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

On pourra considérer les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm} 
$T$ : \og On a obtenu un thé \fg. 
 
$E$ : \og On a obtenu un expresso \fg.
 
$C$ : \og On a obtenu un chocolat \fg.
 
$S$ : \og La boisson obtenue est sucrée \fg.
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Construire un arbre probabiliste modélisant la situation.
\item  Calculer la probabilité d'obtenir un expresso sucré.
\item  Démontrer que la probabilité d'obtenir un chocolat sucré est $\dfrac{1}{18}$.
\item  En déduire la probabilité d'obtenir un chocolat.
\item  Une personne obtient une boisson sucrée.

Quelle est la probabilité que cette boisson soit un thé ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\textbf{Partie A}

Laurent s'occupe de distribuer le courrier dans les bureaux d'une grande entreprise.

 Le graphe ci-dessous représente les différents parcours qu'il peut faire pour distribuer le courrier dans les bureaux A, B, C, D, E, F et G.
 
  Le poids de chaque arête indique le nombre d'obstacles (portes, escaliers, machines à café... ) qui nuisent à la distribution du courrier.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7,7)
\cnodeput(1.8,6.5){A}{A} \cnodeput(0.7,4.5){B}{B}
\cnodeput(2.2,1.1){C}{C} \cnodeput(3.1,4.5){D}{D}   
\cnodeput(5.6,5.9){E}{E} \cnodeput(6,4){F}{F}
\cnodeput(4.6,2.7){G}{G}
\ncarc{A}{B} \ncput*{5}  \ncarc{A}{E} \ncput*{6}
\ncarc{A}{D} \ncput*{10} \ncarc{C}{B} \ncput*{5} 
 \ncarc{C}{D} \ncput*{7} \ncarc{C}{G} \ncput*{3}
 \ncarc{G}{F} \ncput*{2} \ncarc{D}{F} \ncput*{1}
 \ncarc{D}{E} \ncput*{3}  \ncarc{F}{E} \ncput*{5} 
  \ncarc{D}{G} \ncput*{4} 
\end{pspicture}
\end{center}

Laurent se voit confier par le bureau A un colis à livrer au bureau G. 

Indiquer un parcours qui permette à Laurent de partir du bureau A pour arriver au bureau G en rencontrant le minimum d'obstacles.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pris par le temps, il n'est pas rare de voir Laurent oublier de livrer le courrier du matin !

On considère que :

\setlength\parindent{10mm}  
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si Laurent a distribué le courrier du matin un certain jour, la probabilité qu'il y pense le lendemain est de $0,7$.
\item[$\bullet~$] Si Laurent a oublié de distribuer le courrier du matin un certain jour, la probabilité pour qu'il oublie à nouveau le lendemain est de $0,8$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

Le lundi matin 1\up{er} octobre, Laurent a bien distribué le courrier.

On note $a_{n}$ la probabilité que Laurent distribue le courrier le $n$-ième jour de travail (on considère donc que le lundi 1\up{er} octobre est le premier jour et que $a_{1} = 1$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de cet exercice à l'aide d'un graphe probabiliste. Préciser la matrice de transition associée à ce graphe.
\item Démontrer que, pour tout $n \geqslant 1$, on a : $a_{n+1} =  0,5 a_{n} + 0,2$.
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout $n \geqslant 1$, par $u_{n} = a_{n} - 0,4$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$. Calculer son premier terme.
		\item  En déduire, pour tout $n \geqslant 1$, la valeur de $a_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
	
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Depuis 1997, une collectivité territoriale s'intéresse à la quantité annuelle de déchets recyclés, en particulier l'aluminium.

En 2008, cette collectivité dispose des données suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	&1997	&1999&	2001&	2003&	2005\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$&	0&	2&	4&	6&	8\\ \hline
Aluminium recyclé (en tonnes) $y_{i}$&	300&	850&	\np{1100}&	\np{1350}&	\np{1400}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On a représenté ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.004cm}
\begin{pspicture}(8.5,1600)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=200]{->}(0,0)(8.5,1600)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.4,linecolor=red](0,300)(2,850)(4,1100)(6,1350)(8,1400)
\uput[u](8,0){$x$} \rput{90}(0.25,1500){tonnes}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.

		\item 	À l'aide de cet ajustement, estimer la quantité d'aluminium qui sera recyclée en 2008.
	\end{enumerate}
\item Un responsable affirme que l'augmentation annuelle moyenne entre 2003 et 2005 a été d'environ 1,8\,\%.

	\begin{enumerate}
		\item Justifier ce taux de 1,8\,\%.
		\item En utilisant ce taux, estimer, à une tonne près, la quantité d'aluminium qui sera recyclée en 2008.
		\item Avec cette méthode, en quelle année peut-on estimer que plus de \np{1600}~tonnes d'aluminium seront recyclées ?
		\end{enumerate}
		
\item	\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
\medskip
		
En janvier 2008 sont publiés les résultats de l'année 2007. La quantité d'aluminium recyclé en 2007 est de \np{1500}~tonnes. Lorsque ce résultat paraît, une réunion des responsables de la collectivité est organisée pour ajuster les prévisions. Lequel des deux modèles précédents semble-t-il le plus adapté ?
\end{enumerate}
		
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
\[ f(x) = (8x + 6) \text{e}^{ -0,8x}.\]
 On admet que la dérivée $f'$ de $f$ est donnée pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par :
 
$f'(x) = (-6,4x+3,2)\text{e}^{- 0,8x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Donner une interprétation graphique de cette limite.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

Dresser son tableau de variation.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par \[F(x) = - 10(x + 2)\text{e}^{ -0,8x}\] est une primitive de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

L'objet de cette partie est d'étudier les ventes d'un nouveau baladeur numérique.

 On considère que le nombre de baladeurs numériques vendus par un fabricant à partir du début des ventes jusqu'au temps $t$ est donné par \[B(t) = \int_{0}^t f(x)\:\text{d}x.\]

Le temps $t$ est exprimé en année, le début des ventes (correspondant à $t = 0$) étant le 1\up{er} janvier 2000.
 
 Le nombre de baladeurs numériques est exprimé en centaines de milliers.

À l'aide de la partie A, décrire l'évolution du rythme des ventes au cours des années. En quelle année le nombre de baladeurs vendus dans le courant de l'année est-il devenu inférieur à \np{100000} ?
\end{document}