\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{fancybox} %Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,,pstricks-add} \usepackage{colortbl} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Amérique du Sud 22 novembre 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{graphicx} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Baccalauréat S} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Amérique du Sud }} \rfoot{\small{22 novembre 2016}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016~\decofourright\\}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ données en annexe 1 sont les représentations graphiques, dans un repère orthonormé \Oij, de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0~;~+ \infty[$. On considère les points A(0,5~;~1) et B$(0~;~-1)$ dans le repère \Oij. On sait que O appartient à $\mathcal{C}_f$ et que la droite (OA) est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point O. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose que la fonction $f$ s'écrit sous la forme $f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x^2}$ où $a$ et $b$ sont des réels. Déterminer les valeurs exactes des réels $a$ et $b$, en détaillant la démarche. \end{enumerate} \textbf{Désormais, on considère que \boldmath$f(x) = 2x\text{e}^{- x^2}$ pour tout $x$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$\unboldmath} \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item On admettra que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x}\times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}$. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item La fonction $g$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ passe par le point B$(0~;~-1)$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression de $g(x)$. \item Soit $m$ un réel strictement positif. Calculer $I_m = \displaystyle\int_0^{m} f(t)\:\text{d}t$ en fonction de $m$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{m \to + \infty} I_m$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ est une fonction densité de probabilité sur $[0~;~+ \infty[$. \item Soit $X$ une variable aléatoire continue qui admet la fonction $f$ comme densité de probabilité. Justifier que, pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$,\: $P(X \leqslant x) = g(x) + 1$. \item En déduire la valeur exacte du réel $\alpha$ tel que $P(X \leqslant \alpha) = 0,5$. \item Sans utiliser une valeur approchée de $\alpha$, construire dans le repère de l'annexe 1 le point de coordonnées $(\alpha~;~0)$ en laissant apparents les traits de construction. Hachurer ensuite la région du plan correspondant à $P(X \leqslant \alpha)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué \textbf{un point par réponse exacte correctement justifiée}. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. \smallskip On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv. \medskip \textbf{Proposition 1} \smallskip L'ensemble des points du plan d'affixe $z$ tels que $|z - 4| = |z + 2\text{i}|$ est une droite qui passe par le point A d'affixe 3i. \medskip \textbf{Proposition 2} \smallskip Soit $(E)$ l'équation $(z -1)\left(z^2 - 8z + 25\right) = 0$ où $z$ appartient à l'ensemble $\C$ des nombres complexes. Les points du plan dont les affixes sont les solutions dans $\C$ de l'équation $(E)$ sont les sommets d'un triangle rectangle. \medskip \textbf{Proposition 3} \smallskip $\dfrac{\pi}{3}$ est un argument du nombre complexe $\left(- \sqrt{3} + \text{i}\right)^8$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La suite $\left(u_n\right)$ est définie par : \[ u_0 = 0 \quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, \:u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide du calcul des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, conjecturer la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$. Démontrer cette conjecture. \item En déduire la valeur de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item Compléter, dans l'annexe 2, l'algorithme permettant de déterminer la valeur du plus petit entier $n$ tel que $\left|u_{n+1} - u_n\right| \leqslant 10^{-3}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : un calcul de volume sans repère} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci-contre. Les diagonales du carré ABCD mesurent 24~cm. On note O le centre du carré ABCD. On admettra que OS = OA.}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(8,6) \pspolygon(0.5,1.2)(3.5,0.5)(7.5,1.2)(4,5)%ABCSA \psline(3.5,0.5)(4,5)%BS \psline[linestyle=dashed](4,1.2)(4,5)(4.5,1.9)%OSD \psline[linestyle=dashed](3.5,0.5)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%BDS \pspolygon[linestyle=dashed](0.5,1.2)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%ADC \uput[l](0.5,1.2){A}\uput[d](3.5,0.5){B}\uput[dr](7.5,1.2){C} \uput[dr](4,1.2){O}\uput[ur](4.5,1.9){D}\uput[u](4,5){S} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC). \item En déduire le volume, en cm$^3$, de la pyramide SABCD. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : dans un repère} On considère le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}, ~\vect{\text{OS}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS]. \begin{enumerate} \item Justifier que $\vect{n}(1~;~1~;~- 3)$ est un vecteur normal au plan (PQC). \item En déduire une équation cartésienne du plan (PQC). \end{enumerate} \item Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC). \begin{enumerate} \item Donner une représentation paramétrique de la droite (SH). \item Calculer les coordonnées du point H. \item Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$. \end{enumerate} \item On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à $\dfrac{3\sqrt{11}}{8}$ Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : partage équitable} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{Pour l'anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent 24~cm. Elle s'apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C'est alors qu'Anne arrête son geste et lui propose une découpe plus originale : \og Place la lame sur le milieu d'une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé \fg.} \hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(8,6) %\psgrid \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.4,3.2)(4,5)(7.5,1.2)(4.5,1.9) \pspolygon(0.5,1.2)(3.5,0.5)(7.5,1.2)(4,5)%ABCSA \psline(3.5,0.5)(4,5)%BS \psline(2.4,3.2)(3.8,3)(7.5,1.2) \psline[linestyle=dashed](0.5,1.2)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%ADC \psline[linestyle=dashed](2.4,3.2)(4.5,1.9) \end{pspicture}} \medskip Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables. Est-ce le cas ? Justifier la réponse. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à } \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath \medskip On étudie un modèle de climatiseur d'automobile composé d'un module mécanique et d'un module électronique. Si un module subit une panne, il est changé. \medskip \textbf{Partie A : Étude des pannes du module mécanique} \medskip Une enseigne d'entretien automobile a constaté, au moyen d'une étude statistique, que la durée de fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma$ : \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'arrondi à $10^{-4}$ de $\sigma$ sachant que le service statistique indique que $P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$. \end{enumerate} \textbf{Pour la suite de cet exercice, on prendra }\boldmath$\sigma = 2,4$ \unboldmath. \begin{enumerate}[resume] \item Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre $45$ et $52$ mois. \item Déterminer la probabilité que le module mécanique d'un climatiseur ayant fonctionné depuis $48$ mois fonctionne encore au moins $6$ mois. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude des pannes d'origine électronique} \medskip Sur le même modèle de climatiseur, l'enseigne d'entretien automobile a constaté que la durée de fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur exacte de $\lambda$, sachant que le service statistique indique que $P(0 \leqslant T \leqslant 24) = 0,03$. \end{enumerate} \textbf{Pour la suite de cet exercice, on prendra } \boldmath $\lambda = \np{0,00127}$\unboldmath. \begin{enumerate}[resume] \item Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre $24$ et $48$ mois. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tous réels $t$ et $h$ positifs, on a : $P_{T \geqslant t}(T \geqslant t + h) = P(T \geqslant h)$, c'est-à-dire que la variable aléatoire $T$ est sans vieillissement. \item Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis $36$ mois. Déterminer la probabilité qu'il fonctionne encore les $12$ mois suivants. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Pannes d'origine mécanique et électronique} \medskip On admet que les évènements $(D \geqslant 48)$ et $(T \geqslant 48)$ sont indépendants. Déterminer la probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant $48$ mois. \bigskip \textbf{Partie D : Cas particulier d'un garage de l'enseigne} \medskip Un garage de l'enseigne a étudié les fiches d'entretien de $300$ climatiseurs de plus de $4$~ans. Il constate que $246$ d'entre eux ont leur module mécanique en état de fonctionnement depuis $4$ ans. Ce bilan doit-il remettre en cause le résultat donné par le service statistique de l'enseigne, à savoir que $P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$ ? Justifier la réponse. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Les entiers naturels 1, 11, 111, \np{1111}, \ldots sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1. Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s'écrivant avec $p$ fois le chiffre~1~: \renewcommand\arraystretch{0.7} \[N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{tabular}{c}\tiny $p${} \text{répétitions} \\ \tiny \text{du chiffre }1 \end{tabular}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.\] \renewcommand\arraystretch{1} \vspace{-0.3cm} Dans tout l'exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul. L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units. \bigskip \textbf{Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $N_p$ n'est divisible ni par 2 ni par 5. \item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par 3. \begin{enumerate} \item Prouver que, pour tout entier naturel $j$,\: $10^j \equiv 1 \:\:\text{mod } 3$. \item En déduire que $N_p \equiv p \:\:\text{mod } 3$. \item Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit $N_p$ soit divisible par 3. \end{enumerate} \item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l'unique entier relatif appartenant à $\{-3~;~-2~;~- 1~;~0~;~1~;~2~;~3\}$ tel que $10^m \equiv a \:\:\text{mod}\: \:7$. \emph{On ne demande pas de justification.} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $m$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $a$ & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Soit $p$ un entier naturel non nul. Montrer que $10^p \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$. \emph{On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.} \item Justifier que, pour tout entier nature $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p - 1}{9}$. \item Démontrer que \og 7 divise $N_p$ \fg{} est équivalent à \og 7 divise $9N_p$ \fg. \item En déduire que $N_p$ est divisible par 7 si et seulement si $p$ est un multiple de 6. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On suppose que l'écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire $n^2 \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 10$. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n \equiv \ldots \ \ [10]$& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \rule[-2mm]{0mm}{7mm}$n^2 \equiv \ldots \ \ [10]$&&&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item En déduire qu'il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou $n = 10m - 1$. \item Conclure que $n^2 \equiv 1 \:\: \text{mod}\: 20$. \end{enumerate} \item Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par 20 ? \item En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit $N_p$ n'est pas le carré d'un entier. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXES (à compléter et à remettre avec la copie)} \end{center} \bigskip \textbf{Annexe 1 (Exercice 1) :} \medskip \begin{center} \psset{unit=4cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-1.2)(2.6,1.2) \multido{\nb=-1.0+0.5}{5}{ \multido{\n=-0.50+0.04,\na=-0.48+0.04}{80}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,\nb)(\na,\nb)}} \multido{\nb=-0.5+0.5}{7}{ \multido{\n=-1.00+0.04,\na=-0.98+0.04}{55}{\psline[linewidth=0.25pt](\nb,\n)(\nb,\na)}} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-0.5,-1)(2.6,1.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[ul](0,0){O}\uput[d](0.55,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.55){$\vect{\jmath}$} \uput[ul](0.5,1){A}\uput[ul](0,-1){B}\uput[u](2.2,0.05){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[d](2.2,-0.03){\red $\mathcal{C}_g$} \psplot{-0.6}{0.6}{x 2 mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.6}{2 x mul 2.71828 x dup mul exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2.6}{1 2.71828 x dup mul exp div neg} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Annexe 2 (Exercice 3) :} \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :} &$n, a$ et $b$ sont des nombres.\\ \textbf{Initialisation :} & $n$ prend la valeur $0$\\ &$a$ prend la valeur $0$\\ &$b$ prend la valeur $0,5$.\\ \textbf{Traitement :} & Tant que $|b - a|$\:\:\ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}$a$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}$b$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\ &Fin Tant que.\\ \textbf{Sortie :} &Afficher\:\: \ldots \ldots.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}