\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks,pst-tree,pstricks-add} %\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}} %Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Amérique du Sud novembre 2014}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small 17 novembre 2014} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014~\decofourright\\}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. Cette entreprise propose deux tailles de ballons : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item une petite taille, \item une taille standard. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les trois parties suivantes sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un ballon de football est conforme à la réglementation s'il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa masse et sur sa circonférence). En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle [410~;~450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle [68~;~70]. \medskip \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise, associe sa masse en grammes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance 430 et d'écart type 10.\index{loi normale} Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $P(410 \leqslant X \leqslant 450)$. \item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise associe sa circonférence en centimètres. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance 69 et d'écart type $\sigma$. Déterminer la valeur de $\sigma$, au centième près, sachant que 97\,\% des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation. On pourra utiliser le résultat suivant: lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors $P(- \beta \leqslant Z \leqslant \beta) = 0,97$ pour $\beta \approx 2,17$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'entreprise affirme que 98\,\% de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors réalisé sur un échantillon de 250~ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d'entre eux sont conformes à la réglementation. Le résultat de ce contrôle remet-il en question l'affirmation de l'entreprise ? Justifier la réponse. (On pourra utiliser l’intervalle de fluctuation) \index{intervalle de fluctuation} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip L'entreprise produit 40\,\% de ballons de football de petite taille et 60\,\% de ballons de taille standard. On admet que 2\,\% des ballons de petite taille et 5\,\% des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l'entreprise. On considère les évènements : $A$ : \og le ballon de football est de petite taille \fg, $B$ : \og le ballon de football est de taille standard \fg, $C$ : \og le ballon de football est conforme à la réglementation\fg{} et $\overline{C}$, l'évènement contraire de $C$. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre de probabilité.\index{arbre} \item Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la règlementation. \item Montrer que la probabilité de l’évènement $C$ est égale à $0,962$. \item Le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille ? On arrondira le résultat à $10^{- 3}$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’enlève pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points A$(2~;~5~;~- 1)$, B(3~;~2~;~1) et C$(1~;~3~;~- 2)$. Le triangle ABC est :\index{géométrie dans l'espace} \begin{enumerate} \item rectangle et non isocèle \item isocèle et non rectangle \item rectangle et isocèle \item équilatéral \end{enumerate} \item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $P$ d'équation $2x - y + 3z - 1 = 0$ et le point A$(2~;~5~;~-1)$. Une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $P$ et passant par A est : \index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} \medskip \textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 2 + 2t\\ y &=& 5 + t\\ z &=& - 1 + 3t \end{array}\right.$ \textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{- }2 + 2t\\ y &=& - 1 + 5t\\ z &=& \phantom{- }3 - t \end{array}\right.$ \textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 6 - 2t\\ y &=& 3 + t\\ z &=& 5 - 3t \end{array}\right.$ \textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{- }1 + 2t \\ y &=& \phantom{- }4 - \phantom{2}t\\ z &=& - 2 + 3t \end{array}\right.$ \medskip \item Soit A et B deux points distincts du plan. L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\vect{M\text{A}} \cdot \vect{M\text{B}} = 0$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~}l’ensemble vide& \textbf{b.~} la médiatrice du segment [AB] &\textbf{c.~} le cercle de diamètre [AB] &\textbf{d.~} la droite (AB) \end{tabularx} \medskip \item La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [GH] et [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces ABFE et BCGF. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,6) \psframe(1,0.2)(4.3,3.5)%ABFE \psline(4.3,0.2)(5.1,1)(5.1,4.4)(4.3,3.5)%BCGF \psline(5.1,4.4)(1.9,4.4)(1,3.5)%GHE \psline[linestyle=dashed](1,0.2)(1.9,1)(1.9,4.4)%ADH \psline[linestyle=dashed](1.9,1)(5.1,1)%DC \psline(1,5.3)(6,3.5)%(IJ) \psline(0.2,1.4)(2.65,1.85)%(..M] \psline[linestyle=dotted](2.65,1.85)(4.7,2.25)%[MN] \psline(4.7,2.25)(6,2.5)%[N...) \uput[dl](1,0.2){A} \uput[d](4.3,0.2){B} \uput[r](5.1,1){C} \uput[l](1.9,1){D} \uput[l](1,3.5){E} \uput[dl](4.3,3.5){F} \uput[ur](5.1,4.4){G} \uput[ul](1.9,4.4){H} \uput[u](3.5,4.4){I} \uput[d](4.7,3.95){J} \uput[u](2.65,1.85){M} \uput[u](4.7,2.25){N} \psdots(1,0.2)(4.3,0.2)(5.1,1)(1.9,1)(1,3.5)(4.3,3.5)(1.9,4.4)(3.5,4.4) (4.7,3.95)(2.65,1.85)(4.7,2.25) \end{pspicture} \end{center} Les droites (IJ) et (MN) sont : \begin{enumerate} \item perpendiculaires \item sécantes, non perpendiculaires \item orthogonales \item parallèles \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l’enseignement de spécialité} \medskip On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :\index{suite} \[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\] \textbf{Partie A : Conjecture} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$. \item Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$. \item Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B: Validation des conjectures} \medskip On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n - 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: -1 \leqslant v_n \leqslant 0$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = - v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$. \item En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$. \end{enumerate} \item Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ? \item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$. On admet que $\ell$ appartient à l'intervalle $[- 1~;~0]$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. Déterminer la valeur de $\ell$. \item Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont-elles validées ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité} \medskip Une ville possède un réseau de vélos en libre service dont deux stations A et B se situent en haut d’une colline. On admet qu’aucun vélo des autres stations n’arrive en direction des stations A et B. \medskip On constate pour chaque heure $n$ qu’en moyenne : $\bullet~~$20\,\% des vélos présents à l’heure $n - 1$ à la station A sont toujours à cette station. 60\,\% des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station A sont à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation. $\bullet~~$10\,\% des vélos présents à l'heure $n - 1$ à la station B sont à la station A, 30\,\% sont toujours à la station B et les autres sont dans d'autres stations du réseau ou en circulation. $\bullet~~$Au début de la journée, la station A comporte 50 vélos, la station B 60 vélos. \newpage \textbf{Partie A} \medskip Au bout de $n$ heures, on note $a_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station A et $b_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $U_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$ et donc $U_{0} = \begin{pmatrix}50\\60\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la matrice $M$ telle que $U _{n+1} = M \times U_{n}$.\index{matrices} \item Déterminer $U_{1}$ et $U_{2}$. \item Au bout de combien d'heures reste-t-il un seul vélo dans la station A ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le service décide d'étudier les effets d'un approvisionnement des stations A et B consistant à apporter après chaque heure de fonctionnement 30~vélos à la station A et 10~vélos à la station B. Afin de conduire cette étude, il décide de modéliser la situation présente de la manière suivante : \medskip Au bout de $n$ heures, on note $\alpha_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station A et $\beta_{n}$ le nombre moyen de vélos présents à la station B. On note $V_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}\alpha_{n} \\\beta_{n}\end{pmatrix}$ et $V_{0} = \begin{pmatrix} 50\\60\end{pmatrix}$. Dans ces conditions $V_{n+1} = M \times V_{n} + R$ avec $R = \begin{pmatrix}30\\10\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - M$. \begin{enumerate} \item On désigne par $V$ une matrice colonne à deux lignes. Montrer que $V = M \times V + R$ équivaut à $N \times V = R$ . \item On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{- 1} = \begin{pmatrix}1,4&0,2\\1,2&1,6\end{pmatrix}$. En déduire que $V = \begin{pmatrix}44\\52\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $W_{n} = V_{n} - V$. \begin{enumerate} \item Montrer que $W_{n+1} = M \times W_{n}$. \item \begin{tabular}[t]{@{}l l} On admet que : &-- pour tout entier naturel $n, W_{n} = M^{n} \times W_{0}$, \\ &-- pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\:\: M^n = \dfrac{1}{2^{n-1}}\begin{pmatrix} 0,2&0,1\\ 0,6& 0,3\end{pmatrix}$.\\ \end{tabular} Calculer, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\: V_{n}$ en fonction de $n$. \item Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B a-t-il tendance à se stabiliser ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On désire réaliser un portail comme indiqué à l’annexe 1. Chaque vantail mesure 2 mètres de large. \medskip \textbf{Partie A : modélisation de la partie supérieure du portail} \medskip On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction $f$ définie sur l’intervalle [0~;~2] par \[f(x) = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 4x} + b\]\index{fonction exponentielle} où $b$ est un nombre réel. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2]. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. \end{enumerate} \item Déterminer le nombre $b$ pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5~m. \end{enumerate} \medskip Dans la suite la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~2] par \[f(x) = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 4x} + \dfrac{5}{4}.\] \textbf{Partie B : détermination d'une aire} \medskip Chaque vantail est réalisé à l'aide d'une plaque métallique. On veut calculer l'aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0,05~m de hauteur du sol. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par \[F(x) = \left(- \dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{8}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4}x\] est une primitive de la fonction $f$.\index{aire et intégrale} \item En déduire l'aire en m$^2$ de chaque vantail. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de cette aire. (On s'intéresse ici à l'objet \og vantail\fg{} sans faire référence à son environnement). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : utilisation d'un algorithme} \medskip On désire réaliser un portail de même forme mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur 0,12~m, espacées de 0,05~m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l'annexe 2 de l'exercice 4) et le bas de chaque planche à 0,05~m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de $0$ : ainsi la première planche à gauche porte le numéro $0$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner l'aire de la planche numéro $k$. \item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline Variables :& Les nombres $X$ et $S$ sont des nombres réels\\ Initialisation:& On affecte à $S$ la valeur $0$\\ &On affecte à $X$ la valeur $0$\\ Traitement :& \textbf{Tant Que} $X + 0,17 < \ldots$\\ &\hspace{0,5cm}$S$ prend la valeur $S + \ldots$.\\ &\hspace{0,5cm}$X$ prend la valeur $X + 0,17$\\ &\textbf{Fin de Tant Que}\\ Affichage :& On affiche $S$\\ \hline \end{tabularx} \end{center}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 de l'exercice 4} \bigskip \psset{xunit=2.8cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(-2.5,-3)(2.5,2) %\psgrid \psframe(-2.5,-2)(-2,2)\psframe(2,-2)(2.5,2) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-2}{0}{x neg 0.25 add 2.71828 4 x neg mul exp div 1.25 add} \psline(0,-1.8)(-2,-1.8)} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{x 0.25 add 2.71828 4 x mul exp div 1.25 add} \psline(2,-1.8)(0,-1.8) } \rput(-2.25,-2.5){pilier gauche} \rput(2.25,-2.5){pilier droit} \rput(-1.,-2.5){vantail de gauche} \rput(1.,-2.5){vantail de droite} \end{pspicture} \bigskip \textbf{Annexe 2 de l'exercice 4} \medskip \psset{xunit=5cm,yunit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(2.5,1.6) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.15,-0.1)(2.5,1.6) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{x 0.25 add 2.71828 4 x mul exp div 1.25 add} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.5)(0.12,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.17,1.4628)(0.29,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.34,1.4014)(0.46,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.51,1.3488)(0.63,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.68,1.3113)(0.8,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.85,1.2867)(0.97,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.02,1.2715)(1.14,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.19,1.2623)(1.31,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.36,1.257)(1.48,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.53,1.2539)(1.65,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.7,1.2522)(1.82,0.05) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.87,1.2512)(1.99,0.05) \psframe(2,1.58)(2.4,0) \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \medskip La distance entre le bas du portail et le sol est de 0,05~m. \hyperlink{Index}{*} \end{center} \end{document}