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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Olivier Noël et Valérie Camargo
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 13  novembre 2012}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud 13 novembre 2012
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissance}

L'objet de cette question est de démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}  = + \infty$.

On suppose connus les résultats suivants : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et est égale à sa fonction dérivée
\item[$\bullet~~$] $\text{e}^0 = 1$
\item[$\bullet~~$] Pour tout réel $x$, on a $\text{e}^x > x$
\item[$\bullet~~$] Soit deux fonctions $v$ et $w$ définies sur l'intervalle $[A~;~+ \infty[$, où $A$ est un réel positif.

Si pour tout $x$ de $[A~;~+ \infty[$,\: $v(x) \leqslant w(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} v(x) = + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} w(x) = + \infty$.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $\varphi(x) = \text{e}^x - \dfrac{x^2}{2}$.

Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: \varphi(x) \geqslant 1$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}  = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{2}x\text{e}^{- \frac{1}{2}x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1~mg de principe actif. Ce médicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle $g(t)$ la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant $t$ exprimé en heures $(t \geqslant 0)$.

On constate expérimentalement que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle

\[(E) :\qquad  y^{\prime} + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\text{e}^{- \frac{1}{2}t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle

\[\left(E'\right) :\qquad y^{\prime} + \dfrac{1}{2}y = 0\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $u$ définie par l'équation $u(t) = at\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$ soit solution de l'équation $(E)$.
		\item Montrer qu'une fonction $v$ est solution de l'équation $(E)$ si, et seulement si, la fonction 

$h = v - u$ est solution de l'équation $\left(E'\right)$.
		\item Résoudre l'équation $\left(E'\right)$.
		\item En déduire les solutions de l'équation $(E)$.
	\end{enumerate}
\item On suppose qu'à l'instant $t = 0$, la quantité de principe actif présente dans le sang est nulle.

Montrer que la solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie cette condition initiale est la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A}.
\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
Entrée		& 	Affecter la valeur $3$ à la variable $n$.\\
Traitement	& Tant que $f(n) > 0,1$\\
			&\hspace{0.5cm}incrémenter la variable $n$ de 1.\\
			&Fin Tant que\\
Sortie		&Afficher la valeur de $n$.
\end{tabular}
\end{center}
où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la question 2. a. de la \textbf{partie A}, expliquer pourquoi il est certain que cet algorithme donne une valeur en sortie.
		\item Quelle est la valeur $n_{0}$ de la variable $n$ obtenue à la sortie de l'algorithme ?
		\item L'absorption du médicament par l'animal a lieu un matin à $8$~h. À quelle question cet algorithme permet-il de répondre ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv{} (unité graphique 2~cm). On considère les points A, B et C d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = \text{i},\quad  z_{\text{B}} = 2\text{i}, \quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = 1.\]

On considère la transformation $f$ qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, distinct de A, associe le point  $M'$ d'affixe 

\[z' = \dfrac{2\text{i}z}{z - \text{i}}.\] 

On fera une figure que l'on complètera au fur et à mesure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points invariants par la transformation $f$. 
\item Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B$'$ et C$'$, images respectives des points B et C par $f$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, l'affixe $z'$ de $M'$ vérifie l'égalité $z' - 2\text{i} = \dfrac{- 2}{z - \text{i}}$.
		\item En déduire que si le point $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon $1$, alors son image $M'$ appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
		\item Exprimer une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{B}M'}\right)$ en fonction d'une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$.
		\item On considère le point D d'affixe $z_{\text{D}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$. Vérifier que D appartient au cercle $\Gamma$.

Construire, à la règle et au compas, le point D et son image D$'$ par $f$.
	\end{enumerate}
\item On note $G$ l'isobarycentre des points O, B et C.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $G$.
		\item On admet que l'image $G'$ du point $G$ a pour affixe $z_{G'} = - 3 - \text{i}$. Le point $G'$ est-il l'isobarycentre des points O, B$'$ et C$'$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté, on considère un rectangle direct ABCD tel que AB $= L$ et AD = $1$ $(L > 1)$.

Sur les segments [AB] et [CD], on place respectivement les points F et E tels que AFED soit un carré.
 
On suppose qu'il existe une similitude directe $f$ de rapport $k$ telle que : 

\[f(\text{A}) = \text{B},\quad f(\text{B}) = \text{C},\quad  f(\text{C}) = \text{E}.\]
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant des rapports de longueurs, montrer que $L = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $f$.

On appelle $\Omega$ le centre de la similitude $f$.
		\item Déterminer l'image par la composée $f \circ f$ des points $\Omega$, A et B.
		\item Quelle est la nature de la transformation $f \circ f$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
		\item En déduire que $\Omega$ est le point d'intersection des droites (AC) et (BE).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'image de la droite (CD) par la similitude $f$.
		\item En déduire une construction du point E$'$, image du point E par la similitude $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AF}},~\vect{\text{AD}}\right)$.

On appelle $z$ l'affixe du point $M$, et $z'$ l'affixe du point $M'$, image du point $M$ par $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $z' = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{i}z + \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$. 
\item Déterminer l'image du point D par $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Au cours d'une séance, un joueur de tennis s'entraîne à faire des services.

Pour tout entier naturel non nul, on note $R_{n}$ l'évènement \og le joueur réussit le $n$-ième service \fg{} et $\overline{R_{n}}$ l'évènement contraire.

Soit $x_{n}$ la probabilité de $R_{n}$ et $y_{n}$ celle de $\overline{R_{n}}$.

La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0,7$.

On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées

\begin{itemize}
\item si le joueur réussit le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,8$ ; 
\item si le joueur ne réussit pas le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,7$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. (On pourra utiliser un arbre de probabilité) 
		\item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$. 
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse maintenant au cas général.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_{n}}\left(R_{n+1}\right)$ et $P_{\overline{R_{n}}}\left(R_{n+1}\right)$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,7$.
	\end{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul par 

$u_{n} = 9x_{n} - 7$.

\emph{Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 3z - 1 = 0$ et soit S le point de coordonnées $(1~;~3~;~5)$.

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie. ou fausse, et proposer une démonstration de la réponse indiquée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les points d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec les trois axes du repère sont les sommets d'un triangle isocèle. 
\item La droite $\delta_{1}$ de représentation paramétrique

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 + \phantom{4}t\\
y&=&5 - 4t\\
z&=&2 - 2t
\end{array}\right.\:,t \in \R\] 

est incluse dans le plan $\mathcal{P}$. 
\item La droite $\delta_{2}$ de représentation paramétrique 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{7  +}-t\\
y&=&7 + 4t\\
z&=&7 + 2t
\end{array}\right.,\:t \in \R\]

est la droite parallèle à la droite $\delta_{1}$ passant par le point S.
\item Le projeté orthogonal du point S sur le plan $\mathcal{P}$ a pour coordonnées 

\[\left(- \dfrac{6}{7}~;~\dfrac{55}{14}~;~\dfrac{31}{14}\right).\]

\item Le plan $\mathcal{P}$ coupe la sphère de centre S et de rayon 3.
\end{enumerate}
\end{document}