%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} % Tapuscrit Denis Vergès % Sujet aimablement fourni par Olivier Noël et Valérie Camargo \usepackage{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Amérique du Sud 13 novembre 2012}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small 13 novembre 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud 13 novembre 2012 ~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissance} L'objet de cette question est de démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$. On suppose connus les résultats suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et est égale à sa fonction dérivée \item[$\bullet~~$] $\text{e}^0 = 1$ \item[$\bullet~~$] Pour tout réel $x$, on a $\text{e}^x > x$ \item[$\bullet~~$] Soit deux fonctions $v$ et $w$ définies sur l'intervalle $[A~;~+ \infty[$, où $A$ est un réel positif. Si pour tout $x$ de $[A~;~+ \infty[$,\: $v(x) \leqslant w(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} v(x) = + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} w(x) = + \infty$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $\varphi(x) = \text{e}^x - \dfrac{x^2}{2}$. Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: \varphi(x) \geqslant 1$. \item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$. \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{2}x\text{e}^{- \frac{1}{2}x}$. \begin{enumerate} \item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1~mg de principe actif. Ce médicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle $g(t)$ la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant $t$ exprimé en heures $(t \geqslant 0)$. On constate expérimentalement que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle \[(E) :\qquad y^{\prime} + \dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\text{e}^{- \frac{1}{2}t}.\] \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation différentielle \[\left(E'\right) :\qquad y^{\prime} + \dfrac{1}{2}y = 0\] \begin{enumerate} \item Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $u$ définie par l'équation $u(t) = at\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$ soit solution de l'équation $(E)$. \item Montrer qu'une fonction $v$ est solution de l'équation $(E)$ si, et seulement si, la fonction $h = v - u$ est solution de l'équation $\left(E'\right)$. \item Résoudre l'équation $\left(E'\right)$. \item En déduire les solutions de l'équation $(E)$. \end{enumerate} \item On suppose qu'à l'instant $t = 0$, la quantité de principe actif présente dans le sang est nulle. Montrer que la solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie cette condition initiale est la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A}. \item On donne l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{l l} Entrée & Affecter la valeur $3$ à la variable $n$.\\ Traitement & Tant que $f(n) > 0,1$\\ &\hspace{0.5cm}incrémenter la variable $n$ de 1.\\ &Fin Tant que\\ Sortie &Afficher la valeur de $n$. \end{tabular} \end{center} où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}. \begin{enumerate} \item À l'aide de la question 2. a. de la \textbf{partie A}, expliquer pourquoi il est certain que cet algorithme donne une valeur en sortie. \item Quelle est la valeur $n_{0}$ de la variable $n$ obtenue à la sortie de l'algorithme ? \item L'absorption du médicament par l'animal a lieu un matin à $8$~h. À quelle question cet algorithme permet-il de répondre ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv{} (unité graphique 2~cm). On considère les points A, B et C d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = \text{i},\quad z_{\text{B}} = 2\text{i}, \quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = 1.\] On considère la transformation $f$ qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe \[z' = \dfrac{2\text{i}z}{z - \text{i}}.\] On fera une figure que l'on complètera au fur et à mesure. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des points invariants par la transformation $f$. \item Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B$'$ et C$'$, images respectives des points B et C par $f$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, l'affixe $z'$ de $M'$ vérifie l'égalité $z' - 2\text{i} = \dfrac{- 2}{z - \text{i}}$. \item En déduire que si le point $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon $1$, alors son image $M'$ appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. \item Exprimer une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{B}M'}\right)$ en fonction d'une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$. \item On considère le point D d'affixe $z_{\text{D}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$. Vérifier que D appartient au cercle $\Gamma$. Construire, à la règle et au compas, le point D et son image D$'$ par $f$. \end{enumerate} \item On note $G$ l'isobarycentre des points O, B et C. \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point $G$. \item On admet que l'image $G'$ du point $G$ a pour affixe $z_{G'} = - 3 - \text{i}$. Le point $G'$ est-il l'isobarycentre des points O, B$'$ et C$'$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans le plan orienté, on considère un rectangle direct ABCD tel que AB $= L$ et AD = $1$ $(L > 1)$. Sur les segments [AB] et [CD], on place respectivement les points F et E tels que AFED soit un carré. On suppose qu'il existe une similitude directe $f$ de rapport $k$ telle que : \[f(\text{A}) = \text{B},\quad f(\text{B}) = \text{C},\quad f(\text{C}) = \text{E}.\] \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant des rapports de longueurs, montrer que $L = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $f$. On appelle $\Omega$ le centre de la similitude $f$. \item Déterminer l'image par la composée $f \circ f$ des points $\Omega$, A et B. \item Quelle est la nature de la transformation $f \circ f$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. \item En déduire que $\Omega$ est le point d'intersection des droites (AC) et (BE). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'image de la droite (CD) par la similitude $f$. \item En déduire une construction du point E$'$, image du point E par la similitude $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le plan est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AF}},~\vect{\text{AD}}\right)$. On appelle $z$ l'affixe du point $M$, et $z'$ l'affixe du point $M'$, image du point $M$ par $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $z' = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{i}z + \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$. \item Déterminer l'image du point D par $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Au cours d'une séance, un joueur de tennis s'entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel non nul, on note $R_{n}$ l'évènement \og le joueur réussit le $n$-ième service \fg{} et $\overline{R_{n}}$ l'évènement contraire. Soit $x_{n}$ la probabilité de $R_{n}$ et $y_{n}$ celle de $\overline{R_{n}}$. La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0,7$. On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées \begin{itemize} \item si le joueur réussit le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,8$ ; \item si le joueur ne réussit pas le $n$-ième service, alors la probabilité qu'il réussisse le suivant vaut $0,7$. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. (On pourra utiliser un arbre de probabilité) \item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \item On s'intéresse maintenant au cas général. \begin{enumerate} \item Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_{n}}\left(R_{n+1}\right)$ et $P_{\overline{R_{n}}}\left(R_{n+1}\right)$. \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,7$. \end{enumerate} \item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul par $u_{n} = 9x_{n} - 7$. \emph{Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats } \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 3z - 1 = 0$ et soit S le point de coordonnées $(1~;~3~;~5)$. \medskip \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie. ou fausse, et proposer une démonstration de la réponse indiquée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.} \medskip \begin{enumerate} \item Les points d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec les trois axes du repère sont les sommets d'un triangle isocèle. \item La droite $\delta_{1}$ de représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1 + \phantom{4}t\\ y&=&5 - 4t\\ z&=&2 - 2t \end{array}\right.\:,t \in \R\] est incluse dans le plan $\mathcal{P}$. \item La droite $\delta_{2}$ de représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{7 +}-t\\ y&=&7 + 4t\\ z&=&7 + 2t \end{array}\right.,\:t \in \R\] est la droite parallèle à la droite $\delta_{1}$ passant par le point S. \item Le projeté orthogonal du point S sur le plan $\mathcal{P}$ a pour coordonnées \[\left(- \dfrac{6}{7}~;~\dfrac{55}{14}~;~\dfrac{31}{14}\right).\] \item Le plan $\mathcal{P}$ coupe la sphère de centre S et de rayon 3. \end{enumerate} \end{document}