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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small Amérique du Sud}
\rfoot{\small{novembre 1996}}
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\thispagestyle{empty}    
\begin{center} {\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud
novembre 1996~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne: la cylindrée $\left(\text{en cm}^3\right)$, 
le couple maximum à \np{2000} tours/min (en m.kg), le poids remorquable freiné (en kg) de voitures automobiles à moteur Diesel. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\scriptsize}m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
					&Peugeot 605&Renault Express&Renault Safrane&Audi &Ford Escort&Ford Mondéo&Citroën C15 &Mazda &Peugeot 306&Fiat\\ \hline 
cylindrée $z_{i}$ 	&2088 		&1870 &2068 &1665 &1753 &1753 &1769 &1998 &1905 &1929\\ \hline 
couple $x_{i}$		& 26 		&12,3 &19.5 &19,4 &18,3 &18,1 &11,4 &17,2 &12,5 &20\\ \hline 
poids remor\-qua\-ble
 freiné $y_{i}$		&\np{1500} 	&700 &\np{1300} &\np{1300} &900 &\np{1300} &800&\np{1250}&\np{1000} &\np{1400}\\ \hline 
\multicolumn{11}{r}{\scriptsize Source Auto-journal, août 1995.}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
Le but de l'exercice est de voir s'il y a une meilleure corrélation entre $z$ et $y$ ou entre $x$ et $y$. 

Dans tout l'exercice, on pourra donner directement les résultats fournis par la calculatrice, arrondis à $10^{- 2}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coefficients de corrélation linéaire des séries 
$\left(z_{i}~;~y_{i}\right)$ et $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.  Conclure. 
\item On considère la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner le nuage de points (unités graphiques: sur l'axe des abscisses, 1~cm représente 1~unité; sur l'axe des ordonnées, 1~cm représente 
100~kg). 
		\item Déterminer et construire le point moyen G du nuage.  
		\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$. La construire.
		\item En déduire une estimation, au kg près, du poids remorquable freiné correspondant à un couple de $16$~m.kg. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Vingt personnes participent à un congrès dans une ville. Pour s'y rendre, les participants utilisent soit leur véhicule personnel, soit le train. Dans ce groupe, il y a 40\,\% d'hommes, 75\,\% des hommes viennent avec leur véhicule ; 50\,\% des femmes prennent le train. Ces pourcentages restent les mêmes tous les ans. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau suivant en exprimant les résultats en effectifs.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Moyen de transport &Hommes &Femmes &Total\\ \hline 
Véhicule personnel&&& \\ \hline
Train&&& \\ \hline
Total&&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Madame Untel se rend tous les ans à ce congrès. Quelle est la probabilité qu'elle utilise au moins une fois le train sur une période de 10 ans ? 
On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près du résultat. 
	\end{enumerate}
\item La ville offre six places pour un spectacle. Les bénéficiaires sont tirés au sort parmi les $20$~congressistes. (On suppose qu'il y a équiprobabilité.) 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que, parmi les 6 places, il y en ait au moins une attribuée à une femme? 
		\item Quelle est la probabilité que ces $6$ places soient attribuées à $3$ femmes et à $3$ hommes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Probl\`eme}\hfill 10 points}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x + \text{e}^{-\frac{1}{2}x + 3}\]
  
et on note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 1~cm).

\bigskip
 
\textbf{Partie A}
 
\textbf{Étude de \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de \boldmath $(C)$\unboldmath } 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $[0~;~+ \infty[$ l'inéquation : $\text{e}^{-\frac{1}{2}x + 3} \leqslant 1$. 
\item Calculer l'expression de $f'(x)$ pour $x$ élément de $[0~;~+ \infty[$.
 
Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$. 
\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.

Dresser alors le tableau de variation de $f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère la droite $(\Delta)$ d'équation $y = \frac{1}{2}x$. Montrer que $(\Delta)$ est asymptote oblique à $(C)$ et étudier la position de $(C)$ par rapport à $(\Delta)$ sur [0~;~20].
		\item Construire (C) et $(\Delta)$ sur l'intervalle [0 ; 20].
	\end{enumerate} 
\item Calculer l'aire en cm$^2$ du domaine plan limité par $(C)$, $(\Delta)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 10$ (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{- 1}$ près). 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\textbf{Application économique}

\medskip
 
Un atelier fabrique $x$ unités d'un produit. Ce nombre $x$ est limité à $10$.

$f(x)$ représente, en francs, le coût moyen de fabrication d'une unité lorsqu'on en fabrique $x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre d'unités à produire pour avoir un coût moyen de fabrication minimal ?
\item Chaque unité est vendue 5~F.
 
On désire déterminer le nombre d'unités pour lequel l'atelier réalise un  bénéfice.
 
Indiquer une méthode de résolution graphique puis l'appliquer pour  résoudre la question.
\end{enumerate}
\end{document}