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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small  juin 1996}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 1996~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le seuil maximum d'alcoolémie toléré pour conduire une automobile est 0,5 gramme par litre. 
Un laboratoire a mis au point un éthylotest. Théoriquement, celui-ci devrait être positif si et seulement si la personne testée a une alcoolémie strictement supérieure au seuil toléré. Mais il n'est pas parfait :
 
$\bullet~~$ lorsqu'une personne a un taux d'alcoolémie strictement supérieur au seuil toléré, l'éthylotest est positif $96$ fois sur $100$.
 
$\bullet~~$ lorsqu'une personne a un taux d'alcoolémie inférieur ou égal au seuil toléré, l'éthylotest est positif $3$ fois sur $100$.
 
On suppose que ces résultats portent sur un échantillon suffisamment important pour qu'ils soient constants. 
Dans une région donnée, 95\,\% des conducteurs d'automobile ont un seuil d'alcoolémie inférieur ou égal au seuil toléré.
 
On soumet, au hasard, un automobiliste de cette région, à l'éthylotest. On définit les événements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description} 
\item $P$ : l'éthylotest est positif ; 
\item $N$ : l'éthylotest est négatif;
\item $S$ : le conducteur a un taux d'alcoolémie strictement supérieur au seuil toléré;
\item $I$ : le conducteur a un taux d'alcoolémie inférieur ou égal au seuil toléré. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Que valent $P(I), P(P/S), P(P/I)$ ? 
\item Quelle est la probabilité pour que l'automobiliste ait un taux d'alcoolémie strictement supérieur au seuil toléré ? 
\item Quelle est la probabilité pour qu'il ait un taux d'alcoolémie strictement supérieur au seuil toléré, et que l'éthylotest soit positif ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(P \cap I)$, puis $p(P)$· 
		\item Quelle est la probabilité pour qu'il ait un taux d'alcoolémie strictement supérieur au seuil toléré, sachant que l'éthylotest est positif ?
	\end{enumerate}  
\item Quelle est la probabilité pour que l'éthylotest donne un résultat erroné ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le tableau suivant donne les indices du coût de la construction pour la période 1981-1990.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &1981 &1982 &1983& 1984 &1985 &1986 &1987 &1988 &1989 &1990\\ \hline 
Rang de l'année $t_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
Indice $I_{i}$& 648 &718 &766 &811 &837 &864 &890 &915 &927 &950\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\small (INSEE : moyenne des relevés trimestriels arrondie à l'unité près)}\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Représenter par un nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~I_{i}\right)$ la série statistique $(t~;~I)$. On utilisera un plan muni d'un repère orthogonal, avec pour unités graphiques : 

\qquad 2~cm pour représenter 1~année, sur l'axe des abscisses ; 

\qquad 5~cm pour 100~points d'indice, sur l'axe des ordonnées.
 
L'intersection des axes de coordonnées correspond au point de coordonnées $(0~;~600)$. 
\item On pose $\ln t_{i} = x_{i}$ et $\ln I_{i} = y_{i}$ (ln désigne le logarithme népérien). 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Recopier, en le complétant, le tableau suivant :
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
$x_{i}$&&& 1,10 &1,39 &1,61 &1,79 &1,95 &2,08 &2,20&\\ \hline 
$y_{i}$&& 6,58 &&6,70 &6,73&&& 6,82&& 6,86\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
(On donnera, pour chaque valeur, son arrondi à $10^{-2}$ près). Calculer à $10^{-2}$ près le coefficient de corrélation de $x$ et $y$. 
		\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite de régression $D$ de $y$ en $x$ sous la forme $y = mx + p$ ; on donnera les valeurs arrondies de $m$ et $p$ à $10^{-2}$ près. 
		\item Déduire du 2. b une prévision de l'indice 1996 du coût de la construction (à une unité près).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} Le détail des calculs de $r, m, p$ n'est pas demandé.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
Au cours de ses deux premières années de publication, le nombre d'abonnés à un journal mensuel a été en progression arithmétique. Chaque mois, $400$~lecteurs supplémentaires se sont abonnés. Au bout de $24$ mois de publication, \np{21200}~abonnements ont été souscrits.
 
On notera $u_{n}$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ mois de publication.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le nombre $u_{1}$ d'abonnés à la fin du premier mois de publication de ce journal, était de \np{12000}~personnes. 
\item Calculer le nombre d'abonnés au bout de $12$~mois de publication.
 
En déduire le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnements souscrits lors de la deuxième année. 
\item Douze numéros sont édités par an. Calculer le nombre total de journaux adressés par voie d'abonnement, au cours des deux première années de publication. 
\item Le journal modifie sa politique commerciale. Le nombre des abonnés augmente de 40\,\% au cours de la troisième année.
 
On suppose que le taux de croissance mensuel du nombre d'abonné est constant au cours de la troisième année. Calculer ce taux.
 
On donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale approchée par excès à $10^{-3}$ près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip 

Le plan $P$ est rapporté à un repère orthogonal \Oij (unités 
graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 2,5~cm sur l'axe de ordonnées ; le point O est choisi en bas et à gauche de la feuille).

\bigskip
 
\textbf{A. Étude et représentation graphique d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [4~;~10] par 

\[f(x) = 8\dfrac{\ln (x + 2)}{x + 2}\]

(ln désigne la fonction logarithme népérien).

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans $P$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations. 
\item Tracer $\mathcal{C}$. Les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses 4, 6 et 10 seront placés avec précision.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Équilibre d·un marché}

\medskip

 La fonction de demande d'un bien, exprimée en francs, est $f$. La fonction d'offre, $g$, de ce bien, exprimée en francs par unité, est définie sur l'intervalle [4~;~10] par 

\[g(x) = (x - 3)\ln 2.\]
 
$x$ exprime la quantité produite en milliers d'unités.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En le recopiant, compléter le tableau suivant ; les résultats seront donnés en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$& 4& 6& 10 \\ \hline
$f(x)$&&&\\ \hline 
$g(x)$&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Dans le plan $P$, tracer la droite $\Delta$ représentant $g$.
\item On admet que les courbes $\Delta$ et $\mathcal{C}$ admettent un unique point d'intersection, E.
 
Déduire du B. 1, la quantité $x_{\text{E}}$ d'équilibre du marché ?
 
Quel est, au centième près,  $y_{\text{E}}$ prix par unité à l'équilibre du marché ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{C. Calcul d'aire}

\medskip
 
On note $D$ l'ensemble des points $M$ du plan, de coordonnées $(x~;~y)$, vérifiant 

\[\left\{\begin{array}{l c c c l}
4 &\leqslant &x& \leqslant& 6\\
3\ln 2& \leqslant& y &\leqslant& f(x)
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Hachurer $D$ sur la figure. 
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de $D$. On donnera une valeur décimale approchée de $\mathcal{A}$ en unités d'aire, à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate} 
\end{document}