\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small juin 1997} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord juin 1997~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique des parfums haut de gamme, qui seront appelés par la suite des originaux. Il existe sur le marché des contrefaçons qui seront appelées par la suite des copies. On sait que 0,5\,\% des flacons proposés à la vente sont des copies. Pour éliminer ces copies, l'entreprise a mis au point un test optique per- mettant, sans rompre le ruban de garantie, de se faire une opinion concernant la conformité du produit. On sait que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item la probabilité que le test soit positif (c'est-à-dire qu'il indique qu'il s'agit d'une copie) sachant que le produit est une copie est $0,85$ ; \item la probabilité que le test soit négatif sachant que le produit est un original est $0,95$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On tire un flacon au hasard et on le soumet au test. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que : \begin{enumerate} \item la probabilité que le produit soit un original est égale à $0,995$. \item la probabilité que le test soit positif sachant que le produit est un original est égale à $0,05$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité que : \begin{enumerate} \item le produit soit une copie et que le test soit positif. \item le produit soit un original et que le test soit positif. \item le test soit positif. \item le produit soit un original sachant que le test est positif. \item le produit soit une copie sachant que le test est positif. \end{enumerate} \item Exprimer brièvement votre opinion sur la fiabilité de ce test. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une étude statistique a montré qu'un archer de très bon niveau, tirant dans une cible à onze zones numérotées 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10, a atteint avec une flèche : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item la zone 10 avec une fréquence de $0,3$ \item la zone 9 avec une fréquence de $0,6$ \item la zone 8 avec une fréquence de $0,1$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} À chaque flèche tirée est associé un nombre de points égal au numéro de la zone atteinte. On admet que, pour cet archer se présentant à une compétition, les probabilités des évènements \og la flèche marque 10 \fg \og la flèche marque 9 \fg \og la flèche marque 8 \fg sont respectivement égales aux fréquences observées et que les tirs sont indépendants les uns des autres. On appelle volée deux tirs successifs d'une flèche. \medskip \begin{enumerate} \item Cet archer tire une volée. On associe à une volée la variable aléatoire $X$, somme des points marqués à chacun des deux tirs de la volée. On appelle volée réussie toute volée telle que $X \geqslant 19$. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Vérifier que la probabilité de l'évènement \og $X \geqslant 19$ \fg{} est $\dfrac{9}{20}$. Calculer la probabilité de l'évènement \og $17 \leqslant X \leqslant 19$ \fg. \item Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de $X$. \end{enumerate} \item Cet archer tire trois volées successives, que l'on suppose indépendantes. On considère la variable aléatoire $Y$, nombre de volées réussies parmi les trois tirées. Calculer la probabilité des évènements suivants : \begin{enumerate} \item \og $Y = 2$ \fg. \item \og $Y \geqslant 1$ \fg. \end{enumerate} \item Cet archer tire $n$ volées successives, que l'on suppose indépendantes. Quelle doit être la valeur minimale $n_{0}$ de $n$ pour que la probabilité de l'évènement \og une volée au moins est réussie \fg{} soit supérieure ou égale à $0,999$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = x^2 - 1 + 2 \ln x.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son intervalle de définition. \item étudier le sens de variation de $g$ (le tracé de la courbe représentative de $g$ n'est pas demandé). \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet le nombre réel $1$ comme unique solution sur $]0~;~+ \infty[$. \item De l'étude précédente, déduire le signe de $g(x)$, en fonction de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \ln x - \dfrac{\ln x}{x}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[,\: f'(x)$ et $g(x)$ sont de même signe. \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \item On note respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\Gamma$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et ln dans un repère orthonormal, \Oij{} (unité graphique 4~cm). étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $\Gamma$. Tracer $\Gamma$ puis $\mathcal{C}_{f}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On désigne par $\Delta$ le domaine représentant sur le graphique précédent l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $x$ et $y$ vérifient \[\left\{\begin{array}{l c c c l} 1&\leqslant &x&\leqslant& 4\\ f(x)&\leqslant& y&\leqslant& \ln x. \end{array}\right.\] On note $\mathcal{A}(\Delta)$ l'aire, en cm$^2$, de $\Delta$. \medskip \begin{enumerate} \item Hachurer $\Delta$ sur le graphique précédent. Exprimer $\mathcal{A}(\Delta)$ sous forme d'une intégrale (le calcul n'est pas demandé). \item \begin{enumerate} \item On considère la fonction $h$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[h(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}.\] Calculer $h'(x)$. En déduire une primitive, sur $]0~;~+ \infty[$ de la fonction qui, à $x$ associe $\dfrac{\ln x}{x^2}$. \item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}(\Delta)$. En donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}