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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small   juin 1998}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Nord  juin 1998~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Aucun détail des calculs statistiques à effectuer à la machine n'est
 demandé dans cet exercice.}

Dans une région imaginaire sévit depuis quelques années une mystérieuse
maladie : toute personne atteinte est, pendant plusieurs mois, plongée dans un
profond sommeil.

Le tableau ci-dessous concerne la population de cette région.

Il indique, au 1\up{er} janvier de chaque année :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item l'année, variable $x$ (l'année 1992 a été notée 92 et ainsi de suite jusqu'à
 l'année 1998 notée 98) ;
\item le nombre de personnes atteintes, variable $z$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $x_i$				&92	&93&94&95&96&97&98\\ \hline
Nombre de personnes atteintes, $z_i$&\np{45400}&\np{49100}&\np{52300}&\np{50400}&\np{52600}&\np{53900}&\np{55000}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur décimale arrondie au dixième du coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$.

Ce résultat permet-il d'envisager un ajustement affine entre les variables 
$x$ et $z$ ?
\item Représenter le nuage de points associé à la série ($x~;~z)$.
Unités : en abscisse, 91 est l'origine des années et 1 cm représente une année ; en ordonnée, \np{40000} est l'origine et 5~cm représentent \np{10000} 
 personnes.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Pour les coefficients, on prendra les valeurs décimales arrondies au dixième.
		
Tracer cette droite sur le graphique précédent.
		\item En supposant que l'évolution de la maladie se poursuive de la même façon
au cours de l'année 1998, donner une estimation de la population atteinte par
cette maladie le 1\up{er} janvier 1999.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le tableau suivant donne le montant des cotisations qu'ont eu à payer
 en 1997 les adhérents à une médiathèque, selon la catégorie à laquelle ils
 appartiennent : 

\begin{center} 
\begin{tabular}{*{3}{| c } |}\hline
Adhérents &	Catégories&	Cotisation \\\hline
 & Catégorie A : scolaires & gratuit   \\\cline{2-3}
Résidents & 	Catégorie B :  étudiants & 60 F  \\\cline{2-3}
 & Catégorie C : autres &  100 F  \\ \hline
Non résidents & 	Catégorie D & 140 F  \\\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

La recette totale de la médiathèque se compose :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item d'une subvention municipale ;
\item des cotisations des adhérents. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item En 1997 :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item la subvention municipale a été de \np{200000}~F ;
\item il y a eu au total \np{5000} adhérents, dont 72\,\% de résidents ;
parmi les résidents, 45\,\% appartiennent à la catégorie A et 30\,\% à la 
catégorie B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il eu d'adhérents dans chaque catégorie ?
		\item Quelle a été la recette totale ?
	\end{enumerate}
\item En 1998 :
		
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item pour équilibrer le budget, la recette totale doit augmenter de 10\,\% ;
\item la subvention municipale est augmentée de 3\,\%.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour équilibrer le budget, la part de la recette totale provenant
des cotisations en 1998 doit être égale à \np{399880}~F.
		\item Le nombre d'adhérents augmente en 1998 de 10\,\% dans chaque catégorie.
On modifie uniquement les cotisations des catégories C et D ; la cotisation de
la catégorie C passe à $105$~F.
		
Calculer, à $10$~F près par excès, la cotisation minimale de la catégorie D, pour que la part de la recette provenant des cotisations en 1998 soit au moins de \np{399880}~F.
		\item Calculer dans ces conditions les pourcentages d'augmentation des cotisations des catégories C et D entre 1997 et 1998.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Un lycée compte $660$~élèves.

La fréquentation mensuelle du CDI (Centre de Documentation et d'Information)
suivant les niveaux est donnée par le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}| *{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Niveaux		&\multicolumn{3}{ c |}{Seconde} & \multicolumn{4}{ c |}{Première}&
\multicolumn{4}{ c |}{Terminale} \\\hline
Nombre de visites 
mensuelles 	&0 	&1 	&2 &0 	&1 	&2 	&3 	&0 &1 	&2 	&3 \\\hline
Effectifs 		&	56&140&84&10&60	&70	&60	&18&70&38	&54\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

(Par exemple, 84 élèves de seconde sont venus au CDI 2 fois par 
mois).
\medskip

\begin{enumerate}
\item On interroge un élève choisi par hasard et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $A$ \og l'élève est en seconde \fg ;
\item $B$ \og l'élève vient une fois par mois au CDI \fg ;
\item $C$ \og l'élève est en seconde et vient une fois par mois au CDI \fg.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$.
		\item Montrer que $p(B) = \dfrac{9}{22}$.
		\item Calculer $p(C)$.
		\item L'élève choisi au hasard est l'un de ceux qui viennent une fois par mois au
CDI.
Quelle est la probabilité qu'il soit en seconde ? (Donner le résultat sous forme
de fraction irréductible).
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au
nombre de visites mensuelles au CDI d'un élève du lycée.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. 
\item On répète dix fois, de façon indépendante le choix au hasard d'un élève parmi les élèves du lycée. 
		
Quelle est la probabilité que, parmi les élèves choisis, cinq élèves exactement se rendent une fois par mois au CDI ? (Donner le résultat sous forme décimale arrondie 
à $10^{-3}$).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Les objectifs de ce problème sont de déterminer une fonction qui
ajuste de manière satisfaisante une série statistique (parties A et B),
puis d'étudier un coût moyen résultant de l'étude précédente (partie C).
Une entreprise a noté les valeurs du coût total de production d'un engrais,
notées CT$(x)$, en fonction de la masse $x$ produite (où $x$ est exprimée en
tonnes et CT$(x)$ est exprimé en milliers de francs) :
 
\[\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 			&10		&12	&14	&16	&18 \\ \hline
CT($x$)	&100	&110&145&196&308 \\\hline
\end{tabularx}\]
 
\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}
 
Sur une feuille de papier millimétré, reporter les cinq points de coordonnées
$(x~;~\text{CT}(x))$ dans un repère orthogonal \Oij.
Unités : 1~cm pour une tonne sur l'axe des abscisses ; 
0,05~cm pour un millier de francs sur l'axe des ordonnées.

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}
 
On recherche une fonction, définie sur l'intervalle [10 ; 18], dont la courbe
représentative dans le repère \Oij{} s'ajuste de façon acceptable avec les cinq points tracés sur le graphique.
 
Une fonction $f$ est déclarée \og acceptée \fg{} si, pour chacune des cinq valeurs de
$x$ citées dans le tableau, on a $- 10 \leqslant f(x) - \text{CT}(x) \leqslant 10$. 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item On essaie la fonction $g$, définie sur
l'intervalle [10 ; 18] par 

\[g(x) = 3,25(x - 10)^2 + 100.\]

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :
		 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 				 &10	&12	&14	&16	&18 \\\hline
$g(x)$ 				 &100	&  	& 	&	&308 \\\hline
$g(x) - \text{CT}(x)$& 		& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		 
		\item Pourquoi $g$ n'est-elle pas \og acceptée\fg ? 
	\end{enumerate}
\item On essaie la fonction $h$, définie sur
l'intervalle [10~;~18] par : $h(x) = \text{e}^{0,3x} + 80$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $h$ est \og acceptée \fg.
		\item Étudier le sens de variation de $h$ sur l'intervalle [10~;~18].
		\item Tracer la courbe représentative de $h$ sur le graphique de la partie
\textbf{A}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie C} \end{center}

Dans cette partie, on utilise sur l'intervalle [10~;~18] la fonction $h$,
\og acceptée \fg, de la partie \textbf{B}. Ainsi, le coût moyen de production d'une tonne, en fonction de la masse $x$ produite, est, en milliers de francs

\[\text{CM}(x) = \dfrac{h(x)}{x} = \dfrac{\text{e}^{0,3x} + 80}{x}.\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On note CM$'$ la dérivée de la fonction CM.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [10~;~18], 
$\text{CM}'(x)$ a le  même signe que $s(x) = (0,3x - 1)\text{e}^{0,3x} - 
80$. 
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $s$ sur l'intervalle [10~;~18].
		\item Montrer que l'équation $s(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle [10~;~18]. On note $\alpha$ cette solution et, pour la suite, on prendra  $\alpha = 11,59$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de ce qui précède le sens de
 variation de CM sur l'intervalle [10~;~18].
		\item Pour quelle production a-t-on un coût moyen minimal ?
 Quel est ce coût, à un franc près par excès ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}