\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
%%%%Packages%%%%
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\RequirePackage[capsit]{frenchmath}%permet notamment de gérer les point-virgule en mode maths
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{pdflscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}%Excellent package pour les tableaux
\usepackage{multirow}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\frenchsetup{StandardLists=true}
%Tapuscrit : François Kriegk
%Relecture : Denis Vergès
%%%%Packages pour les figures pstricks%%%%
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add}
%%%%Packages pour les figures tikz%%%%
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\pgfplotsset{compat=1.18,
	tick label style = {font=\footnotesize},
	axis lines = center,
	minor grid style={gray!75,line width=0.15pt},
	major grid style={gray!85,line width=0.2pt},
	/pgf/number format/.cd,
	use comma}
\usetikzlibrary{patterns.meta}
\usetikzlibrary{3d}
\usepgfplotslibrary{fillbetween}
\usetikzlibrary{calc,arrows.meta,positioning,arrows,shapes,patterns,decorations.pathmorphing}
\tikzset{%
	>=stealth, % option for nice arrows
	inner sep=1pt,%
	outer sep=2pt,%
	mark coordinate/.style={inner sep=0pt,outer sep=0pt,minimum size=3pt,
		fill=black,circle}%
}
%%%%Packages pour les figures en PSTricks%%%%
%\RequirePackage{scratch3}
%%%%Commandes pour les ensembles de nombres, les vecteurs, repères, exponentielles et autres%%%%
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\mathrm{#1}\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~~;~~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~~;~~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~~;~~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\text{e}}%pour le nombre e en droit en mode mathématique
%%%%Géométrie de la page%%%%
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2cm, bottom=2cm,marginparwidth=20pt]{geometry}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\headheight}{14pt}
%%%%Styles de numérotation, et autres%%%%
\setlist[enumerate,1]{leftmargin=*}  % Questions alignées à gauche
\setlist[enumerate,2]{leftmargin=0.5cm,topsep=0pt,itemsep=4pt} % Sous questions décalées de 5mm
\setlist[itemize,1]{left=0.5cm,itemsep=0pt,topsep=2pt} % Sous questions décalées de 5mm
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}%Les questions en chiffres arabes
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}

\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}%Les sous questions avec des lettres
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section} %Paramétrage des numéros d'exercices
{\Large \bfseries} %format, appliqué à tout le titre
{\textsc{Exercice \thesection}}%étiquette
{5mm} %séparation entre l'étiquette et le titre
{\hfill}  %before
{\normalsize} % after
\titlespacing*{\section} {0mm}{20pt}{8pt}%marge à gauche, espace avant, espace après le titre de l'exercice
\renewcommand \thesubsection{\Alph{subsection}}
\titleformat{\subsection}%Paramétrage des parties dans un exercice
{\large}{\textbf{\large Partie \thesubsection}}{1pt}{\bfseries}
\titlespacing*{\subsection}{0mm}{12pt}{6pt}
%%%%Remerciements%%%
%Merci à Amélie Pietrement pour la fourniture du sujet
%Tapuscrit : François Kriegk
%Relecture :
%%%%Paramétrage des hyperliens, métadonnées, en-têtes et pieds de page%%%
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité},
	pdftitle = {Amérique du Nord, sujet 1, 20 mai 2026},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small Amérique du Nord}
\rfoot{\small 20 mai 2026}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat
			Amérique du Nord -- 20 mai 2026 ~\decofourright
			\marginpar{\rotatebox[origin=rt]{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[7pt]
			Sujet 1 \\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\section{6 points}
Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements : \og Étudiant\fg{}, \og Classique \fg{} et \og Famille \fg{}. Elle propose également une option \og Écoute hors-ligne \fg{} qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement et qui permet de télécharger de la musique.

\smallskip

Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que :
\begin{itemize}
\item $25\,\%$ des abonnés ont choisi l'abonnement \og Étudiant\fg{} et $15\,\%$ ont choisi l'abonnement \og  Famille \fg{};
\item $45\,\%$ des abonnés \og Étudiant\fg{} ont activé l'option \og Écoute hors-ligne\fg{};
\item $30\,\%$ des abonnés \og Classique\fg{} ont activé l'option \og Écoute hors-ligne\fg{};
\item $12\,\%$ des abonnés ont choisi l'abonnement \og Famille\fg{} et ont activé l'option \og Écoute hors-ligne \fg{}.
\end{itemize}

\smallskip

On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $E$ : l'abonné a choisi l'abonnement \og Étudiant\fg{};
\item $C$ : l'abonné a choisi l'abonnement \og Classique\fg{};
\item $F$ : l'abonné a choisi l'abonnement \og Famille\fg{};
\item $H$ : l'abonné a activé l'option \og Écoute hors-ligne\fg{}.
\end{itemize}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre de probabilités suivant, en complétant les pointillés:

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[
	grow=right,
	level 1/.style={level distance=3.5cm},
	level 2/.style={sibling distance=0.8cm, level distance=3.5cm},
	edge from parent path={(\tikzparentnode.east) -- (\tikzchildnode.west)node[pos=0.5,fill=white,inner sep=2pt]{$\ldots$}},
	every node/.style={},]		\node {}
		child { node {$F$}			child { node {$\overline{H}$} edge from parent}
			child { node {$H$} edge from parent}			edge from parent}
		child { node {$C$}			child { node {$\overline{H}$} edge from parent}
			child { node {$H$}  edge from parent}			edge from parent}
		child { node {$E$}			child { node {$\overline{H}$}  edge from parent}
			child { node {$H$}  edge from parent}			edge from parent};
	\end{tikzpicture}		\end{center}
%Arbre en PSTricks
%\begin{center}
%\pstree[treemode=R,levelsep=3.5cm, treesep=0.7cm]{\TR{}}
%{\pstree{\TR{$E~$}\ncput*{\ldots}}
%	{\TR{$H$} \ncput*{\ldots}
%	\TR{$\overline{H}$} \ncput*{\ldots}
%	}
%\pstree{\TR{$C~$}\ncput*{\ldots}}
%	{\TR{$H$}\ncput*{\ldots}
%	\TR{$\overline{H}$} \ncput*{\ldots}
%	}
%\pstree{\TR{$F~$}\ncput*{\ldots}}
%	{\TR{$H$} \ncput*{\ldots}
%	\TR{$\overline{H}$} \ncput*{\ldots}
%	}	
%}
%\end{center}
% fin de l'arbre en PSTricks
\item Calculer la valeur exacte de $P(E \cap H)$.
\item Démontrer que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option \og Écoute hors-ligne\fg{} est de \np{0,4125}.
\item Un abonné a activé l'option \og Écoute hors-ligne\fg{}. Déterminer la probabilité qu'il ait choisi l'abonnement \og Étudiant\fg{}. \emph{On arrondira le résultat au millième}.
\end{enumerate}

\subsection{}

On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu'il y a suffisamment d'abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.

\smallskip

On rappelle que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option \og Écoute hors-ligne\fg{} est de 0,4125.

\bigskip

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'abonnés ayant activé l'option \og Écoute hors-ligne \fg{}.

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'aucun de ces huit abonnés n'ait activé l'option \og Écoute hors-ligne \fg{}. \emph{On arrondira le résultat au millième}.
\item Dans cette question, $n$ est un entier naturel non nul.

On s'intéresse à un échantillon de $n$ abonnés, qu'on assimile à un tirage avec remise.

On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un abonné de cet échantillon ait activé l'option \og Écoute hors-ligne\fg{}.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul,\quad $q_{n}=1- \np{0,5875}^{n}$.
		\item Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins un abonné de l'échantillon ait activé l'option \og Écoute hors-ligne\fg{} soit supérieure ou égale à $99,9\,\%$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :

\begin{itemize}
\item Abonnement \og Étudiant\fg{} : 5~\euro{} par mois ;
\item Abonnement \og Classique\fg{} : 10~\euro{} par mois ;
\item Abonnement \og Famille \fg{} : 16~\euro{} par mois ;
\item Option \og Écoute hors-ligne\fg{} : 2~\euro{} de plus par mois, quel que soit l'abonnement choisi.
\end{itemize}

On note $Y$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.

\begin{enumerate}
\item Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire $Y$.
\item Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$.
\item Démontrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ vaut 10,475 et interpréter ce résultat dans le contexte.
\item À l'aide de la calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire $Y$, arrondie au centième.
\item Une plateforme vidéo propose les mêmes types d'abonnements. On note $Z$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo.

On admet que l'espérance de la variable aléatoire $Z$ vaut 9 et son écart-type 2.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la variance de la variable aléatoire $Z$.
		\item Un responsable affirme que, si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins $50\,\%$ de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre 6 et 12 euros.

		Justifier cette affirmation.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\newpage

\section{4 points}
La perche-soleil est une espèce de poisson envahissante. Un plan de lutte contre la prolifération de cette espèce est mis en place et on étudie dans cet exercice deux modèles d'évolution de la population de perches-soleil dans un étang naturel. On estime que, dans cet étang, le nombre de perches-soleil s'élève à \np{4000} individus au 1\up{er} janvier 2025.

\subsection{: étude d'un modèle discret}

Dans cette partie, on modélise le nombre de perches-soleil dans l'étang par une suite $(u_n)$.

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ désigne le nombre de perches-soleil, exprimé en millier, dans l'étang au 1\up{er} janvier de l'année $2025+n$.

La suite $(u_n)$ est définie par :

\begin{itemize}
\item $u_{0}=4$.
\item pour tout entier naturel $n$ :\quad $u_{n+1}=4-\dfrac{4}{u_{n}}$.
\end{itemize}

On admet que cette suite est bien définie et qu'en particulier pour tout entier $n$,\quad $u_{n}>0$.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de perches-soleil au 1\up{er} janvier 2026 donné par ce modèle.
\item On note $h$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0;+\infty[$ par  \quad $h(x)=4-\dfrac{4}{x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la fonction $h$ est croissante sur l'intervalle $] 0;+\infty[$.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :
\[ 2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant 4 \]

		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
		\item Justifier que $\ell = 2$.
		\item Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l'espèce envahissante ?
	\end{enumerate}

\item On considère le script Python ci-dessous.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $s$ un réel appartenant à l'intervalle $] 2; 4[$.
		
Recopier et compléter ce script de sorte qu'il renvoie, après exécution, le plus petit entier $n$ tel que $u_{n}<s$.

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tblr}{colspec={X[6cm]},hline{1,8}={solid},
	vlines,rows={rowsep=0pt}}
	def population(s) :\\
	\quad u=4\\
	\quad n=0\\
	\quad while... :\\
	\quad \quad u=...\\
	\quad \quad n=...\\
	\quad return n
	\end{tblr}
	\end{ttfamily}
\end{center}
		\item Quelle valeur renvoie la commande \texttt{population(2.2)} ?

		Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{: étude d'un modèle continu}

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, à partir du 1\up{er} janvier 2025. L'évolution du nombre de perches-soleil, exprimé en millier, est modélisée par la fonction $p$ telle que :

\begin{itemize}
\item la fonction $p$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+\infty[$;
\item $p(0)=4$;
\item la fonction $p$ est solution de l'équation différentielle $(E) \quad y'+y=2$ \quad où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
\item En déduire que l'expression de la fonction $p$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$ est \quad $p(t)=2 \e^{-t}+2$.
\item Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l'espèce envahissante ?
\end{enumerate}

\newpage

\section{5 points}

Dans cet exercice l'unité est le centimètre.

On considère une pyramide à base carrée SABCD comme dans la figure ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=(225:20mm),y=(0:29mm),z=(90:30mm)]
	\coordinate (A) at (-1,-1,0);\node[above right] at (A) {A};
	\coordinate (B) at (-1,1,0); \node[above right] at (B) {B};
	\coordinate (C) at (1,1,0); \node[below right] at (C) {C};
	\coordinate (D) at (1,-1,0); \node[below left] at(D) {D};
	\coordinate (S) at (0,0,2); \node[above] at(S) {S};
	\coordinate (O) at (0,0,0); \node[above right] at(O) {O};
	\coordinate (I) at (1,0,0); \node[below left] at(I) {I};
	\coordinate (J) at (0,1,0); \node[right=2mm] at(J) {J};
	\coordinate (K) at (0,0,1); \node[above left] at(K) {K};
	\draw[dashed] (D)--(A)--(B)--cycle
	(C)--(A)--(S);
	\draw (D)--(C)--(B)--(S)--cycle
	(S)--(C);
	\draw[->,line width=1pt] (O)--(I);
	\draw[->,line width=1pt] (O)--(J);
	\draw[->,line width=1pt] (O)--(K);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

%Figure en PSTricks
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(-5,-2)(5,6)
%\uput[dl](-4.3,-1.5){D}\uput[ur](4.3,1.5){B}\uput[dr](1.4,-1.5){C}
%\uput[ul](-1.4,1.5){A}\uput[u](0,5.7){S}\uput[ur](0,0){O}
%\uput[ur](0,2.85){K}\uput[r](2.85,0){J}\uput[ur](0,2.85){K}\uput[d](-1.45,-1.5){I}
%\pspolygon(-4.3,-1.5)(1.4,-1.5)(4.3,1.5)(0,5.7)%DCBSD
%\psline(1.4,-1.5)(0,5.7)%CS
%\psline[linewidth=1.45pt]{->}(2.85,0)\psline[linewidth=1.45pt]{->}(0,2.85)\psline[linewidth=1.45pt]{->}(-1.45,-1.5)
%\psline[linestyle=dashed](1.4,-1.5)(-1.4,1.5)(0,5.7)%CAS
%\pspolygon[linestyle=dashed](-1.4,1.5)(4.3,1.5)(-4.3,-1.5)%ABD
%\end{pspicture}
%\end{center}

Dans cette figure :

\begin{itemize}
\item AB = BC = CD = DA = OS = 2~cm ;
\item I est le milieu de [CD], J le milieu de [BC] et K le milieu de [OS].
\end{itemize}

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\mathrm{O}; \vectt{OI}, \vectt{OJ}, \vectt{OK}\right)$.

On admet que B$(-1~;~1~;~0)$, C$(1~;~1~;~0)$, et S$(0~;~0~;~2)$.

\medskip

Les \textbf{parties A} et \textbf{B} sont indépendantes.

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points A et D.
\item Calculer le produit scalaire $\vectt{SC}\cdot\vectt{SB}$.
\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{BSC}}$ arrondie au dixième de degré près.
\end{enumerate}

\subsection{}% B}
On se propose dans cette partie de déterminer la distance du point O au plan (SBC).

\begin{enumerate}
\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1\\ \end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (SBC).
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (SBC) est \quad $2 y+z-2=0$.
	\end{enumerate}
	\item On note H le projeté orthogonal du point O sur le plan (SBC).
		\begin{enumerate}
			\item a. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (OH) est :
			\[\begin{cases}
			x =0\\
			y =2t\\
			z =t\\
			\end{cases}\text{ avec } t \in \R.\]
			\item Calculer les coordonnées du point H.
			\item En déduire que la distance du point O au plan (SBC) est égale à $\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$~cm.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\subsection{}% C}
On se propose ici de retrouver le résultat de la \textbf{partie B} par une autre méthode.

\begin{enumerate}
\item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par :

\[V = \dfrac{1}{3} \times \text{ aire de la base} \times \text{hauteur}\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
		\item En déduire que le volume de la pyramide OCBS est égal à $\dfrac{2}{3}$~cm\up{3}.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'aire du triangle SBC.
\item Déduire des questions précédentes que la distance du point O au plan (SBC) est égale à $\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$~cm.
\end{enumerate}

\newpage

\section{5 points}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x)=5 \ln \left(x^{2}+1\right)-3 x\]

et on admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 1.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}%compiler avec pgfplots
\begin{axis}[
	x={9mm}, y={9mm},
	xmin = -6.5, xmax = 6.9,
	ymin = -2.7, ymax = 6.1,
	xtick distance=1,
	ytick distance=1,
	minor tick num = 0,
	grid=none, axis lines =center]
	\node[below left=3pt] at (axis cs: 0,0) {{\footnotesize 0}};
	\addplot [line width=1.2pt, color=red, smooth, samples=100, domain= -1.5:6.9 ]{5*ln(x*x+1)-3*x};
	\node[red] at(axis cs: -1,3) {$\mathcal{C}_f$};
	\addplot [line width=1pt, color=teal, smooth, samples=10, domain= -1.5:6.9 ]{2*x-1.534};
	\draw[shift={(axis cs: 1,0.466)}] (-2pt,-2pt)--(2pt,2pt) (-2pt,2pt)node[above left]{A}--(2pt,-2pt) ;
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
%Figure en PSTricks
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture*}(-6,-2.5)(7,6)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5.9,-2.5)(6.9,5.9)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{7}{x dup mul 1 add ln 5 mul 3 x mul sub}
%\psplotTangent{1}{4}{x dup mul 1 add ln 5 mul 3 x mul sub}
%\uput[ul](1,0.466){A}\psdots(1,0.466)
%\uput[l](-1,5){\blue $\mathcal{C}_f$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%Fin de la figure en PSTricks

\begin{enumerate}
\item Conjecturer, à l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$, les intervalles de $\R$ sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
\item Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ réel strictement positif,

\[f(x)=x\left(10 \dfrac{\ln x}{x}-3\right)+5 \ln \left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)\]

		\item Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x$ réel, \quad $f'(x)= \dfrac{-3 x^{2}+10 x-3}{x^{2}+1}$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
	\item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$ et que pour tout réel $x$,
	\[f''(x)=\dfrac{-10 x^{2}+10}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\]

	\begin{enumerate}
		\item Valider ou rejeter la conjecture faite à la question \textbf{1}.
		\item Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 1.
		\item En déduire que pour tout $x \geqslant 1$,\quad $\ln \left(x^{2}+1\right) \leqslant x+\ln (2)-1$.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{document}