\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\texteuro{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstcol} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small Amérique du Sud} \rfoot{\small{novembre 1998}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 1998~\decofourright}} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip \textbf{I.} Le tableau ci-dessous indique les pourcentages d'accès au niveau baccalauréat d'une génération d'élèves. { \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}| *8{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{Année} $x_{i}$ &1980 & 1982 & 1984 & 1986 & 1988 & 1990 & 1992 & 1994\\ \hline \textbf{Taux d'accès au niveau baccalauréat $y_{i}$} &34 \%&37,5\,\% &35,8\,\%&39,8\,\%&46,3\,\%&56,1\,\%&62,5\,\%&70,7\,\%\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\footnotesize Source : d'après un document du Ministère de l'éducation nationale}\\ \end{tabularx} \end{center}} \textbf{N. B.} \emph{Les calculs statistiques seront effectués à la machine, aucun détail n'est demandé dans cette partie.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}~;~y_{i})$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal : - sur l'axe des abscisses on placera 1980 à l'origine et on choisira 1 cm pour une année ; - sur l'axe des ordonnées on placera 30 à l'origine et on choisira 1 cm pour 2 \%. \item Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série double et placer ce point sur le graphique précédent. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Peut-on envisager un ajustement affine ? \item Déterminer une équation de la droite de régression D de $y$ en $x$ : on prendra la valeur approchée à trois décimales par défaut pour le coefficient directeur de la droite et l'arrondi à l'unité pour l'autre coefficient. \item Tracer la droite D sur le graphique de la question \textbf{1. a.} en expliquant sa construction. \end{enumerate} \item En supposant que l'évolution ait été la même pour les années suivantes, donner une estimation du taux d'accès au niveau baccalauréat pour 1996. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{II.} Lors de la publication du tableau de la partie \textbf{I.}, le taux d'accès au niveau baccalauréat pour 1996 n'était pas encore connu. On l'a connu seulement plus tard. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le taux d'accès en 1996 si l'on sait que, pour la période 1980 (incluse) à 1996 (incluse), la moyenne de ce taux est exactement de 50 \%, en ne retenant que les années paires. \item Comparer alors avec l'estimation faite à la question \textbf{3.} de la partie \textbf{I} et donner en pourcentage l'erreur commise en remplaçant la valeur exacte par l'estimation faite. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Dans une grande ville, une maladie à incubation lente touche $0,1\:\%$ de la population. Un test de dépistage est proposé : - lorsqu'une personne est malade, le test est positif dans $95\:\%$ des cas et négatif dans $5\:\%$ des cas ; - lorsqu'une personne n'est pas malade, le test est négatif dans $96\:\%$ des cas, mais déclare la personne malade, c'est-à-dire est positif, dans $4\:\%$ des cas. Lorsqu'une personne, prise au hasard, passe le test, on note \begin{itemize} \item $M$ l'évènement \og la personne est malade \fg{} ; \item $\overline{M}$ l'évènement \og la personne n'est pas malade \fg{} ; \item $T$ l'évènement \og le test est positif \fg{} ; \item $\overline{T}$ l'évènement \og le test est négatif \fg. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Donner la valeur de la probabilité $p(M)$ et les valeurs des probabilités conditionnelles suivantes : $p(T/M)$,\: $p\left(\text{}T/\overline{\text{M}}\right)$,\:$p\left(\overline{\text{T}}/\text{M}\right)$ et $p\left(\overline{\text{T}}/\overline{\text{M}}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement \og $M$ et $T$ \fg{}, notée $p(M \cap T)$. \item Calculer la probabilité de l'évènement \og $M$ et $T$ \fg{}, notée $p(M\cap T)$. \item En déduire que la probabilité de $T$ vaut $p(T) = \np{0,04091}$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que le test donne un résultat non conforme à la réalité. \item Le maire de la ville passe le test : il est positif. Donner la probabilité, à $10^{-1}$ près, que le maire soit effectivement malade. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip À partir de 1997 une association d'aide à la recherche médicale envoie chaque année à Monsieur X un courrier pour l'inviter à l'aider financièrement par un don. Monsieur X a répondu favorablement en 1997 en envoyant un don. On admet que, chaque année à partir de 1998, la probabilité pour que Monsieur X fasse un don est égale à $0,9$ s'il a fait un don l'année précédente et à $0,4$ s'il n'a rien donné l'année précédente. On note pour tout entier naturel $n$ : -- $E_{n}$ l'évènement : \og Monsieur X est donateur en $1998 + n$ \fg{} ; -- $P_{n}$ la probabilité de $E_{n}$ ; -- $\overline{E_{n}}$ l'évènement contraire de $E_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les données en termes de probabilités conditionnelles concernant les événements $E_{n+1}$,\:$E_{n}$,\: $\overline{E_{n}}$. \item \begin{enumerate} \item Préciser la valeur de $P_{0}$. \item Calculer $P\left(E_{1} \cap E_{0}\right)$ et $P\left(E_{1}\cap \overline{E_{0}}\right)$. En déduire la valeur de $P_{1}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $P\left(E_{n+1} \cap E_{n}\right) = 0,9P_{n}$ et que $P\left(\text{E}_{n+1}\cap \overline{E_{n}}\right) = 0,4(1 - P_{n})$ pour tout entier $n$. \item En déduire que $P_{n+1} = 0,5P_{n} + 0,4$ pour tout entier naturel $n$. \item Quelle est la probabilité pour que Monsieur X soit donateur en 2001 ? \end{enumerate} \item On définit une suite $\left(U_{n}\right)$ en posant pour tout entier naturel $n : U_{n} = P_{n} - 0,8$ \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. \item Exprimer $\left(U_{n}\right)$ en fonction de $n$. \item En déduire que $P_{n} = 0,1 \times 0,5^n + 0,8$ pour tout entier naturel $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(P_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points} \medskip Sur le graphique ci-après, sont tracées dans un repère orthogonal, les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ de deux fonctions $f$ et $g$, dérivables sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \bigskip \textbf{ Partie A - Question préliminaire} (les résultats seront donnés à 0,1 près). \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre graphiquement les équations $f(x) = 7$ et $f(x) = 4$. \item Lire graphiquement $g(0)$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~14]. \item En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle [0~;~14], où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction~$f$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ Partie B} \medskip La fonction $f$ est la fonction de demande d'un produit, elle met en correspondance le prix $f(x)$ du produit et la quantité $x$ achetée par les consommateurs. La fonction $g$ est la fonction d'offre, elle met en correspondance le prix $g(x)$ du produit et la quantité $x$ vendue par les producteurs. La quantité est exprimée en milliers d'unités et le prix en centaines de francs. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Interprétation économique} À l'aide de la lecture graphique faite en \textbf{A}, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Quelle quantité est achetée par les consommateurs : \begin{itemize} \item si le prix est de $700$ F ? \item si le prix est de $400$ F ? \end{itemize} \item Au-dessous de quel prix les producteurs ne sont-ils pas prêts à vendre ? \end{enumerate} \item \textbf{Étude de la recette marginale} La fonction recette $R$ est définie sur l'intervalle [0~;~14] par $R(x) = x f(x)$. Une valeur approchée de la recette marginale (recette pour le $x^{\text{e}}$ produit vendu) est donnée par $R'(x)$, où $R'$ est la fonction dérivée de la fonction $R$. On remarque que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~14], $R'(x) = f(x) + x f'(x)$. \medskip \begin{enumerate} \item Déduire du \textbf{A. 4.} le signe de R$'(x) - f(x)$ sur l'intervalle [0~;~14]. \item Comparer alors, pour tout niveau de production, la recette marginale et le prix de vente $f(x)$. \end{enumerate} \item \textbf{Équilibre du marché} \begin{enumerate} \item La fonction $f$ représentée sur le graphique est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{40}{x + 2}.\] Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} f(x)$. Quelle interprétation économique peut-on faire de ce résultat ? \item La fonction $g$ représentée sur le graphique est définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \dfrac{1}{18}x^2 + 3$. Dans un marché à concurrence pure et parfaite, le prix $p_{0}$ qui se forme sur le marché selon la \og loi de l'offre et de la demande \fg{} correspond à l'égalité de l'offre et de la demande, c'est-à-dire à l'ordonnée du point d'intersection I des deux courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. Soit $x_{0}$ l'abscisse du point d'intersection I. \begin{itemize} \item Montrer par le calcul que $x_{0}$ est solution de l'équation \[(\text{E})\qquad x^3 + 2x^2 + 54x - 612 = 0.\] \item Développer l'expression $(x - 6) (x^2 + 8x + 102)$, résoudre l'équation (E), et en déduire la valeur de $x_{0}$. \item Calculer $p_{0} = f(x_{0})$. \end{itemize} \end{enumerate} \item \textbf{Le surplus des consommateurs} Le surplus des consommateurs se définit comme la différence entre le montant maximal que les consommateurs auraient été prêts à payer pour acheter une quantité $x_{0}$ et le montant qu'ils payent effectivement. Ce nombre $S_{\text{C}}$, en situation de concurrence pure et parfaite, est donné en centaine de milliers de francs par : \[S_{\text{C}} = \displaystyle\int_{0}^{x_{0}}\:f(x)\:\text{d}x - p_{0}x_{0}.\] On prendra $x_{0} = 6$ et $p_{0} = 5$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $S_{\text{C}}$. \item Soit les points O(0~;~0), P$\left(x_{0}~;~0\right)$,~ I$\left(x_{0}~;~ p_{0}\right)$ et R$\left(0~;~p_{0}\right)$. Sachant que le produit $p_{0} \times x_{0}$ est représenté par l'aire du rectangle OPIR, interpréter graphiquement le surplus des consommateurs. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=6mm} \begin{pspicture}(0,0)(18,21) \psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt] \psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(18,21) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \rput(0.5,-0.4){$\vect{\imath}$} \rput(-0.4,0.5){$\vect{\jmath}$} \rput(15,1.8){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \rput(14,13){\red $\mathcal{C}_{g}$} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{0}{15}{40 x 2 add div} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=red]{0}{14}{x dup mul 18 div 3 add} \end{pspicture} \end{center} \end{document}