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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2001}}  
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord  juin 2001~\decofourright~}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
    
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace E est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les trois points 
A (2~;~0~;~0), B(1~;~1~;~0) et C(3~;~2~;~6). (D) est la droite passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}$(0~;~1~;~1) et ($\Delta$) la droite passant par C et de vecteur directeur 
 
$\vect{v}(1~;~- 2~;~2)$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Écrire une représentation paramétrique de chacune des droites (D) et $(\Delta)$ puis montrer que (D) et $(\Delta)$ sont sécantes en un point dont on précisera les coordonnées.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{w} = 
\vect{\text{AB}} \wedge \,\,\,\vect{\text{AC}}$ (question hors
 programme en 2002), puis écrire une équation cartésienne du plan (ABC).
\item Soit H le projeté orthogonal du point F(2~;~4~;~4) sur le plan 
(ABC).
	\begin{enumerate} 
		\item Expliquer pourquoi il existe un réel $k$ non nul tel que 
$\vect{\text{FH}} = k\vect{w}$.
		\item Déterminer la valeur de $k$ et en déduire les coordonnées de 
H.
		\item Calculer le volume du tétraèdre FABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère le polynôme $P$ défini par :
 
\[P(z) = z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63.\] 

\begin{enumerate} 
\item Calculer $P\left(\text{i}\sqrt{3}\right)$ et $P\left(-~\text{i}\sqrt{3}\right)$ puis montrer qu'il existe un polynôme $Q$ du second degré à coefficients réels, que l'on déterminera, tel que, pour tout $z \in \C$, on ait 
$P(z) = \left(z^2 + 3\right) Q(z)$. 
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$. 
\item Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal 
\Ouv, les points A, B, C, D d'affixes
 respectives $z_{\text{A}} = \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} =
 -~\text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{C}} = 3 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}$, puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.
\item On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que
$\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{B}}} = 
\text{e}^{\frac{-~\text{i}\pi}{3}}$ puis déterminer la nature du triangle 
BEC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout entier relatif $n$, les entiers $14n + 3$
 et $5n + 1$ sont premiers entre eux.
\item On considère l'équation (E) : $87x + 31y = 2$ où $x$ et $y$ sont
 des entiers relatifs. 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier, en utilisant par exemple la question \textbf{1.}, que 87 et 31 sont premiers entre eux. En déduire un couple $(u~;~v)$ d'entiers
 relatifs tel que  
 
 $87u + 31 v = 1$ puis une solution $(x_0~;~y_0)$ de (E).
	\item Déterminer l'ensemble des solutions de (E) dans $\Z^2$.
	\item \emph{Application} : Déterminer les points de la droite d'équation 

$87x - 31y - 2 = 0$ dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est comprise entre 0 et 100.
 
\textsl{Indication} : On remarquera que le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ appartient à la droite (D) si, et seulement si, le couple $(x~;~- y)$ vérifie l'équation (E).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  12 points}

\medskip

Le but de ce problème est d'étudier dans la partie \textbf{A} la fonction
numérique $f$ définie sur $]0~;~+ \infty$[ par 

\[f(x) = x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln x}{x^2},\]

de déterminer ensuite dans la partie \textbf{B.} la position
 de sa courbe représentative par rapport à son asymptote oblique et enfin
 d'étudier une suite récurrente dans la partie \textbf{C.}, cette dernière partie étant, dans une large mesure, indépendante des deux autres.
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction numérique définie sur ]0~;~+~$\infty$[ 
par :

\[g(x) = x^3 - x - 2 \ln x + 1.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $g$ est dérivable et que, pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$,

\[g'(x) = \dfrac{(x - 1) \left(3x^2 + 3x + 2\right)}{x}.\]

		\item Étudier les variations de la fonction $g$ puis déterminer le signe de $g(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$.
		\item Montrer que, pour tout $x \in ]0~;~+~\infty$[,\: $f'(x) = 
\dfrac{g(x)}{x^3}$  puis donner le  tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

($\Gamma$) désigne la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique 2 cm.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+~\infty[$ par $h(x) = 
x + \ln x$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le sens de variation de $h$, puis montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [0,4~;~0,7].
		\item Montrer que l'on a : $\text{e}^{- \alpha} = \alpha$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que la droite ($\Delta$) d'équation $y = x$ est asymptote oblique à ($\Gamma$) en + ~$\infty$.
		\item Utiliser les résultats de la question \textbf{1 a} pour déterminer les positions relatives de ($\Gamma$) et ($\Delta$).
	\end{enumerate} 
\item Construire ($\Gamma$) et ($\Delta$) dans le repère orthonormal 
\Oij. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer, au moyen d'une intégration par parties, 
l'intégrale I

\[\text{I} = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{\ln t}{t^2}\: \text{d}t.\]
		\item En déduire l'aire, en cm$^2$, de la portion de plan limitée par la courbe ($\Gamma$), la droite ($\Delta$) et les droites parallèles à l'axe des ordonnées d'équations $x = 1$ et $x = 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

\textbf{Étude d'une suite} (hors-programme en 2002)

Dans cette partie :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[*] $I$ désigne l'intervalle [0,4~;~0,7] ;
\item[*] $\alpha$ est le réel mis en évidence au \textbf{B 1} ;
\item[*] $\varphi$ est la fonction définie sur $\R$ par $\varphi(x) = 
\text{e}^{-~x}$~;
\item[*] $u$ est la suite récurrente définie par $\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 	&=&0,4\\
u_{n+1} &=&\varphi({u_n})\\
\end{array} \right.$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer qu'on a, pour tout $x \in I$.
	\begin{enumerate} 
		\item $\varphi(x) \in I$.
		\item $|\varphi'(x)| \leqslant 0,7$.
		\item $|\varphi(x) - \alpha| \leqslant 0,7|x -  \alpha|$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer qu'on a, pour tout $n \in \N,~\left|u_{n + 1} -  \alpha \right| \leqslant 0,7 \left|u_n - \alpha \right|$, puis en déduire par récurrence qu'on a, pour tout $n \in \N$,

\[\left|u_n - \alpha \right| \leqslant 0,3 \times (0,7)^n.\]
		\item Conclure alors quant à la convergence de la suite $u$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer un entier $p$ tel que, pour $n \geqslant p$, on ait 
$\left|u_n - \alpha \right| \leqslant 10^{- 3}$, puis donner à l'aide de la calculatrice une valeur approchée de $u_p$ à $10^{- 3}$ près.
\end{enumerate} 
\end{document}