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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat B}
\lfoot{\small{Amiens-Créteil-Lille-Paris-Rouen-Versailles}}
\rfoot{\small  juin 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Amiens\footnote{Créteil-Lille-Paris-Rouen-Versailles}~\decofourright\\ juin 1994}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\lfoot{\small{Amiens-Créteil-Lille-Paris-Rouen-Versailles}}
\rfoot{\small  juin 1994}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat (B) Amiens\footnote{Créteil-Lille-Paris-Rouen-Versailles} juin 1994~\decofourright 
}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$ par :

\[f\: x \longmapsto x^2 \ln x.\]

Le plan P est muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées).

La courbe représentative de $f$ dans P est notée $\mathcal{C}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		
		Étudier son signe.
		\item En déduire le sens de variations de $f$.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$.
		
		Marquer le point A de $\mathcal{C}$ d'abscisse 1, puis le point B de coordonnées $(\text{e}~:~0)$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I = \displaystyle \int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.

En déduire la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$.

En donner une valeur approchée à 0,01 près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

À \og La Ferme de la Poule Pondeuse \fg, on produit des \oe{}ufs de trois tailles différentes :
 
des petits, dans la proportion de 20\,\% ; 

des moyens, dans la proportion de 50\,\% ; 

des gros, dans la proportion de 30\,\%.
 
Ils sont de deux qualités :
 
\textbf{ordinaire}, étiquetés sous la dénomination \og \oe{}ufs frais \fg ; 

\textbf{supérieure}, étiquetés sous la dénomination \og \oe{}ufs extra \fg.
 
On a remarqué que :
 
80\,\% des petits \oe{}ufs sont de qualité ordinaire ;

50\,\% des \oe{}ufs moyens sont de qualité ordinaire ; 

20\,\% des gros \oe{}ufs sont de qualité ordinaire. 

Dans tout le problème, on suppose que le nombre d' \oe{}ufs est suffisamment grand pour que le fait de prélever un \oe{}uf ne modifie pas ces proportions.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On prend un \oe{}uf au hasard.
 
Quelle est la probabilité pour qu'il soit : 
	\begin{enumerate}
		\item de petite taille et de qualité ordinaire ? 
		\item de qualité ordinaire ? 
		\item de qualité supérieure? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité pour un \oe{}uf d'être gros et de qualité supérieure est égale à $0,24$. 
		\item On remplit au hasard une boîte de douze \oe{}ufs. 

On suppose les choix des \oe{}ufs indépendants les uns des autres. Quelle est la probabilité pour que cette boîte contienne exactement cinq \oe{}ufs de la catégorie \og gros \oe{}ufs extra \fg ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

On se propose d'étudier le taux d'équipement en \textbf{lave-linge des ménages français}.
 
On a recueilli les informations consignées dans le tableau ci-dessous : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années $x_i$		&1955 	&1960 	&1965 	&1970 	&1975 	&1980 	&1985\\ \hline 
Taux en\,\% $y_i$	&10 	&25 	&41 	&60 	&69 	&80 	&86 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Dans les questions suivantes, pour simplifier les calculs, on pose: 
\[t_i = \dfrac{x_i - 1955}{5}\]
 
où $t_i $représente le \og rang \fg{} de l'année d'observation.
 
On obtient ainsi : 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$	&1	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7\\ \hline 
$y_i$	&10 &25 &41 &60 &69 &80 &86 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
  
\textbf{Partie A - Question préliminaire}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthogonal (unités : 2~cm pour 1~unité, sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 10\,\%, sur l'axe des ordonnées).
 
Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(t_i~;~y_i\right)$.
 
Calculer les coordonnées du point moyen G et le placer sur la figure précédente.
 
Au vu du schéma, on décide d'effectuer deux ajustements successifs, en vue de faire des prévisions.
 
(\emph{Les questions B et C sont indépendantes}.) 

\bigskip

\textbf{Partie B - Ajustement linéaire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à $0,01$ près par défaut du c\oe{}fficient de corrélation linéaire de la série $\left(t_i~;~y_i\right)$.
\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $t$, par la méthode des moindres carrés. La représenter sur la figure précédente.
\item En utilisant cette représentation graphique, indiquer à partir de quelle année, au moins 95\,\% des ménages seront équipés en lave-linge.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Ajustement logistique}

\medskip

Soit la fonction $f$, définie pour $t$ réel positif ou nul par :

\[f(t) = \dfrac{100}{1 + k\text{e}^{at}},\] 
 
où $k$ et $a$ sont des constantes que l'on va déterminer.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On impose que la courbe représentative de $f$ passe par le point M de coordonnées (0~;~10) et le point N de coordonnées (5, 80). 

Traduire ces deux conditions et en déduire les valeurs exactes de $k$ et $a$, puis la valeur décimale approchée de $a$ à 0,1 près par excès. 
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R_{+}$ par: 
 
\[f(t) = 	\dfrac{100}{1 + 9\text{e}^{ 0,7t}}.\]  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Calculer $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ Déterminer son signe, et en déduire le tableau de variation de $f$.
		 
Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx} {\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline 
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

(On indiquera les valeurs décimales approchées de $f(t)$ à une unité près.) 

Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ sur la figure précédente. 
		\item Résoudre l'inéquation: 

\[f(t) \geqslant  95.\]
 
Donner une interprétation de ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}