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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small Antilles--Guyane}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 2000~\decofourright} }
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
La documentaliste d'un lycée effectue une enquête auprès de 500~élèves
entrant au CDI afin de connaître le nombre d'ouvrages consultés selon
la fréquentation du CDI.

On obtient les résultats suivants :

$\bullet~$ 18\,\% des élèves consultent un seul ouvrage par visite et, parmi ceux-ci, 90\,\% viennent au moins une fois par semaine ;
 
$\bullet~$ 125 élèves viennent moins d'une fois par semaine et 16\,\% d'entre eux consultent entre deux et cinq ouvrages par visite ;
 
$\bullet~$ 45\,\% des élèves viennent au moins une fois par semaine et
 consultent chaque fois plus de cinq ouvrages.
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau des 
\textbf{effectifs} ci-dessous

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.2cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash} X|}c|}\hline
\backslashbox{\small Nombre \\d'ouvrages\\
 consultés}{\small Fréquentation} 	& au moins une fois par semaine &moins d'une fois par semaine	&Totaux\\ \hline 
un ouvrage  				&  								&  								&\\ \hline  
 de deux à cinq ouvrages  	& 								& 								&\\ \hline 
 plus de cinq ouvrages		& 								& 								&\\ \hline 
 Totaux 					& 								& 								&500\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On prend au hasard un élève fréquentant le CDI et on
considère les évènements :

$A$ : \og L'élève vient au moins une fois par semaine au CDI \fg{} ;

$B$ : \og L'élève consulte de 2 à 5 ouvrages \fg{} ;

$C$ : \og L'élève consulte au moins 2 ouvrages \fg{} ;

$D$ : \og L'élève vient au moins une fois par semaine au CDI et consulte entre 2 et 5 ouvrages \fg{}.

Calculer la probabilité des évènements $A, B,C,D$ et $A \cup B$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère un élève qui vient au moins une fois
 par semaine au CDI.
 
Quelle est la probabilité pour qu'il consulte de deux à cinq ouvrages ?
		\item On considère un élève qui consulte de 2 à 5 ouvrages.
		
Quelle est la probabilité qu'il vienne au moins une fois par semaine au
CDI ?

(N.B. : les résultats seront donnés à $10^{- 3}$ près.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le graphique donné en annexe est celui de $(\Gamma)$, courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur [0~;~4] et de ses tangentes aux points d'abscisses 1 et 1,5.
 
\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement $f(1)$ ; $f'(1)$ ; $f(1,5)$.
\item Parmi les trois courbes données en annexe, laquelle est susceptible de représenter $f'$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ ? 

Justifier votre réponse à l'aide d'arguments graphiques.
\item On admet que $f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x + 1}$
où $a$ et $b$ sont deux réels fixés.

Calculer $f(x)$ puis utiliser la question 1 pour déterminer $a$ et $b$.
 \item On pose 

\[H(x) = - (2x + 1)\text{e}^{- x+ 1}\]
 
sur $\R$.

Vérifier que $H$ est une primitive de $h$ définie sur $\R$ par
 
\[h(x) = (2x- 1)\text{e}^{- x+ 1}.\]
En déduire, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire de la portion de plan
 limitée par la courbe $(\Gamma)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation
 $x = 1$ et $x = 4$. 
\end{enumerate}
\psset{unit=1.1cm}\begin{center} 
\textsl{Annexe}
 
\vspace{0.75cm}

\begin{pspicture}(0,-3)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(1,1.2)(2,1.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{4}{2 x mul 1 sub 2.71828 1 x sub exp mul}
\psline(2,2)
\rput(2,2.2){Courbe de la fonction $f$}
\end{pspicture}
\hspace{2 cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.4}{4}{3 2 x mul  sub  2.71828 1 x sub exp mul}
\rput(2,4.25){ Courbe \no 1}
\end{pspicture}

\bigskip

\psset{yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-2)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,-1.3)(0.5,-1.4)(1,-0.95)(2,0.8)(3,4.5)(3.3,6)
\rput(2,6.25){Courbe \no 2}
\end{pspicture}
\hspace{2cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-2)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1.44,-2)(1.5,0)(2,3)(2.2,3.15)(3,2.5)(3.35,2)(4,1.15)(5,0.4)
\rput(2.5,4.3){Courbe \no 3}
\end{pspicture}
\vspace{0.8 cm}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$, définie sur $\R$ 
par : $f(x) = 80 + a\text{e}^{bx}$.

Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de 
$f$, dans un repère \Oij, passe par les points
A(0~;~53) et B(3~;~60). Donner les valeurs exactes, puis une valeur
arrondie à $10^{- 1}$ près pour $b$.

\item Dans une entreprise, on installe un nouvel atelier.
Pendant la période de \og mise en route \fg{}, la production le $n$-ième jour ($n$, entier naturel non nul) est donnée par : 

\[U_{n} = 80 - 27\text{e}^{- 0,1n} {}\text{ (unités).}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(U_{n})$ est strictement croissante.		\item Au bout de combien de jours la production dépassera-t-elle les 72~unités ? 		
	\end{enumerate}
\item On pose : $V_{n} = \text{e}^{- 0,1n}\quad  (n$, entier naturel non nul). 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $V_{n}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et la limite. 
		\item Calculer $S = V_{1} + V_{2} + \ldots  + V_{12}$. 
		
À la suite d'une avarie, l'atelier doit être arrêté après 12~jours de
 fonctionnement. Quelle est la production totale obtenue pendant cette période ? 
Donner une valeur arrondie à l'unité. 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème\hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise fabrique un produit, en quantité $x$, exprimée en milliers
de tonnes.

Le coût total de fabrication est donné par : 

\[C_{T}(x) = \dfrac{x}{4} + \dfrac{9}{2} \ln (x + 1)\]

pour $x \in [0~;~5]$.
 
Les coûts sont exprimés en millions de francs.

\vspace{0,5cm}

\textbf{A. Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $f$\unboldmath 
définie sur [0~;~5]}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~5] par : 

\[f(x) = \dfrac{x^2}{2} +  \dfrac{9x}{x + 1 } - 9 \ln (x+ 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ .

Vérifier que l'on peut écrire $f'(x) = \dfrac{x(x- 2)(x + 4)}{(x + 1)^2}$.

\item Établir le tableau de variations de $f$ sur [0~;~5].
\item En déduire que $f$ s'annule sur ]0 ~;~ 5 ] pour une 
valeur unique $a$.
\item Déterminer un encadrement à $10^{ - 3}$ près 
de $a$ (on précisera la méthode utilisée).

\item Déduire des résultats précédents le signe de $f$ sur
[0~;~5].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{B. Étude d'un coût moyen \boldmath$C_{m}$\unboldmath}

La fonction coût moyen $C_{m}$ est définie sur ]0~;~5] par :

\[C_{m}(x) = \dfrac{C_{T}(x)}{x} = \dfrac{x}{4}  + \dfrac{9}{2} 
\left[\dfrac{\ln (x+ 1)}{x}\right].\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $C_{m}'(x)$.

Vérifier que l'on peut écrire $C_{m}'(x) = \dfrac{f(x)}{2x^2}$ où $f$ est la fonction auxiliaire de la question \textbf{A}
\item Étudier le sens de variation de $C_{m}$ sur ]0 ~;~ 5].
\item Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût
moyen minimal, exprimé en francs par tonnes ? 

Quel est ce coût ?
\end{enumerate}
\end{document}