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%Tapuscrit : Vincent Tolleron 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat S}}
\rfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\lfoot{\small{septembre 2016}}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (spécialité) Antilles-Guyane septembre 2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par

\[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}}.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère \Oij.
 
On a représenté ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_n$ pour différentes valeurs de $n$.
 
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 
 
\[u_n = \displaystyle\int_0^1  f_n(x)\:\text{d}x.\]


\begin{center}
\psset{unit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.075)(1.22,0.8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.2,-0.02)(1.2,0.8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.2,0.8)
%\multido{\n=0+1}{5}{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 \n 1 sub x mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{2.71828  x exp 1 2.71828 x exp add  div}\uput[r](0.3,0.625){\blue $\mathcal{C}_{0}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 1 2.71828 x exp add  div}\uput[r](0.3,0.45){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.33){\blue $\mathcal{C}_{2}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 2 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.26){\blue $\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 3 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.18){\blue $\mathcal{C}_{4}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 9 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.05){\blue $\mathcal{C}_{10}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 50 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.05,0.05){\blue $\mathcal{C}_{50}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\textbf{Partie A - Étude graphique}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation graphique de $u_n$.
\item Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la
suite $\left(u_n\right)$ ?
\item Proposer, à l'aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de
$u_4$ d'amplitude $0,05$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude théorique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u_0 = \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$.
\item Montrer que $u_0 + u_1 = 1$ puis en déduire $u_1$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant  0$.
\item On pose pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ réel, $d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x, d_n(x) = \text{e}^{- nx} \frac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.
		\item Étudier le signe de la fonction $d_n$ sur l'intervalle [0~;~1].
	\end{enumerate}
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a :
		
		\[u_n + u_{n + 1} = \dfrac{1 - \text{e}^{- n}}{n}.\]
		
		\item En déduire la valeur de $\ell$.
		\item On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de $u_N$ pour un entier naturel $N$ non nul donné.
		
Recopier et compléter les quatre lignes de la partie \textbf{Traitement} de l'algorithme
suivant.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Entrée :}		&$N$ est un entier naturel non nul\\
\textbf{Variables :}	&$U$ est un nombre réel\\
						&$K$ est un entier naturel\\
\textbf{Initialisation :}&Affecter 1 à $K$\\
						&Affecter $1 - \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$ à $U$\\
						&Demander à l'utilisateur la valeur de $N$\\
\textbf{Traitement :}	& Tant que $K < N$\\
						&Affecter \ldots \ldots \ldots à $U$\\
						&Affecter \ldots \ldots \ldots à $K$\\
						&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}		&Afficher $U$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

On considère un cube ABCDEFGH de côté 1.

\begin{center}
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(11,11)
\psframe(3,0.5)(10,7.5)%DAEH
\pspolygon(10,7.5)(8.2,9.3)(1.2,9.3)%EFG
\pspolygon(3,7.5)(1.2,9.3)(3,0.5)%HGD
\psline(1.2,9.3)(1.2,2.3)(3,0.5)(10,7.5)%GCDE
\psline[linestyle=dashed](8.2,9.3)(8.2,2.3)(1.2,2.3)%FBC
\psline[linestyle=dashed](8.2,2.3)(10,0.5)%BA
\uput[dr](10,0.5){A}\uput[ur](8.2,2.3){B}
\uput[l](1.2,2.3){C}\uput[dl](3,0.5){D}
\uput[r](10,7.5){E}\uput[ur](8.2,9.3){F}
\uput[ul](1.2,9.3){G}\uput[dr](3,7.5){H}
\end{pspicture}
\end{center}

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{B}~;~\vect{\text{BA}},\: \vect{\text{BC}},\: \vect{\text{BF}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BH).
\item Démontrer que la droite (BH) est perpendiculaire au plan (DEG).
\item Déterminer une équation cartésienne du plan (DEG).
\item On note P le point d'intersection du plan (DEG) et de la droite (BH).

Déduire des questions précédentes les coordonnées du point P.

\item Que représente le point P pour le triangle DEG ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\emph{Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro
sinon.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes et (E) l'équation d'inconnue complexe $z$

\[(E) :\quad  z^2 + 2az + a^2 + 1 = 0,\]

 où $a$ désigne un nombre réel quelconque.
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Pour toute valeur de $a$, $(E)$ n'a pas de solution dans $\C$.
\item[$\bullet~~$] Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts.
\item[$\bullet~~$] Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.
\item[$\bullet~~$] Il existe une valeur de $a$ pour laquelle $(E)$ admet au moins une solution réelle.
\end{itemize}
\item Soit $\theta$ un nombre réel dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ et $z$ le nombre complexe 

$z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$.

Pour tout réel $\theta$ dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le nombre $z$ est un réel positif.
\item[$\bullet~~$] Le nombre $z$ est égal à 1.
\item[$\bullet~~$] Un argument de $z$ est $\theta$.
\item[$\bullet~~$] Un argument de $z$ est $\dfrac{\theta}{2}$.
\end{itemize}

\item Soit la fonction $f$ définie et dérivable pour tout nombre réel $x$ par 

\[f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.\]

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left]\frac{\pi}{4}~; ~+ \infty \right[$.
\item[$\bullet~~$] Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. On a $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.
\item[$\bullet~~$] La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item[$\bullet~~$] Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = \text{e}^{-x} (\cos x - \sin x)$.

La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
\end{itemize}
\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $0,02$.

$0,45$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $P(X = 30)$
\item[$\bullet~~$] $P(X \leqslant 60)$
\item[$\bullet~~$] $P(X \leqslant 30)$
\item[$\bullet~~$] $P(30 \leqslant X \leqslant 40)$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60\,\% présentent des failles de sécurité. Afin
de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter
les défaillances.

On estime que chaque jour, il remet en état 7\,\% des ordinateurs défaillants, tandis que de
nouvelles failles apparaissent chez 3\,\% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le
nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée.

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'ordinateurs sains de ce parc
informatique au bout de $n$ jours d'intervention, et $b_n$ la proportion d'ordinateurs
défaillants au bout de $n$ jours.

Ainsi $a_0 = 0,4$ et $b_0 = 0,6$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.
\item Déterminer $a_1$ et $b_1$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
\item Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n, \:X_{n+1} = AX_n$.
		\item Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$.
		\item Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\:
		
\[X_{n+1} = DX_n + B.\]
		
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n$,\: $Y_n = X_n - 10B$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $Y_{n+1} = DY_n$.
		\item On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $Y_n = D^nY_0$.
		
En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$.
		\item Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
 	\end{enumerate}
\item Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le
long terme ?
\end{enumerate}
\end{document}