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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small   juin 1998}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane  juin 1998~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le directeur d'une fabrique de microprocesseurs constate 
que 4\,\% de la production journalière est défectueuse. Un responsable qualité 
propose une vérification systématique des microprocesseurs. Cette vérification 
n'est pas parfaite, elle ne détecte que 95\,\% des microprocesseurs défectueux 
et déclare défectueux 2\,\% des microprocesseurs qui ne présentent pourtant aucun
défaut.

On prend au hasard l'un des microprocesseurs dans une production 
journalière.

On appelle :

- $M$ l'évènement \og le microprocesseur est défectueux \fg{} ;

- $R$ l'évènement \og le microprocesseur est rejeté après vérification 
\fg.

La notation $p(A/B)$ désignant la probabilité de l'évènement $A$ 
sachant que $B$ est réalisé.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser les probabilités : 
$p(M), p(R/M), p\left(R/\overline{M}\right)$. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement ($M$ et $R$) ainsi que celle de l'évènement $\left(\overline{M} \text{ et }\: R\right)$.
\item Calculer la probabilité que le microprocesseur soit défectueux et déclaré bon par la vérification. 
\item Calculer la probabilité que le microprocesseur soit bon sachant que la vérification va le déclarer \og à rejeter \fg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points

\textbf{(obligatoire)}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats numériques pourront être obtenus à 
l'aide de la calculatrice, sans justification. lis seront arrondis à $10^{-2}$
près, sauf indication contraire.}

\medskip
 
Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'étudiants inscrits 
dans l'enseignement supérieur depuis 1960 (en milliers d'étudiants), en 
France métropolitaine.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année scolaire		&1960-1961	&	1970-1971&	1980-1981& 1990-1991&  1993-1994\\ \hline
Rang de l'année
 : $x_i$				&1				&11				&21					& 31					&34\\ \hline
Nombre d'étudiants 
(en milliers) : $y_i$&309,7		&	850,6		&\np{1174,8}	&\np{1698,7}	&\np{2074,6}\\ \hline
\multicolumn{6}{l}{\footnotesize Source : \emph{Repères et références statistiques sur les enseignements et 
la formation.} Édition 1995. D.E.P.}  
\end{tabularx}


\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Peut-on envisager un ajustement affine ?
		\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$.
		\item En supposant que l'évolution se poursuive de la même façon pour 
les années suivantes, donner une estimation du nombre d'étudiants qui seront 
inscrits dans l'enseignement supérieur en 1998-1999. (Arrondir au millier 
supérieur). 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On décide de faire un ajustement exponentiel, en ignorant la première donnée, correspondant à l'année 1960-1961. Pour cela, on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$.
		
Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant par les valeurs de $z_i$.
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l |*{4}{ >{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année : $x_{i}$ 	&11	&21	&31 &	34 \\ \hline
$z_{i} = \ln (y_{i})$ 		& 	 	&  	&   	& \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$. 
Peut-on envisager un ajustement affine ? 
		\item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$.
		\item En supposant que l'évolution se poursuive de cette façon, donner 
une valeur approchée de $z_{39}$, puis proposer une deuxième estimation du 
nombre d'étudiants qui seront inscrits dans l'enseignement supérieur en 
 1998-1999.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points

\textbf{(spécialité)}

\medskip

On définit deux suites de nombres réels, $U$ et $V$ par les conditions 
suivantes $U_{0} = 9$ et pour tout $n$ entier ($n \geqslant 0$),

\[U_{n+1} = 
\sqrt{U_{n}}\quad ; \quad  V_{n} = \ln \left(U_{n}\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question nous nous 
intéresserons au calcul des premiers termes des suites $U$ et $V$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs de $U_{0}$,\: $U_{1}$,\: $U_{2}$,\: $U_{3}$.
		\item Exprimer $V_{0}$,\: $V_{1}$,\: $V_{2}$,\: $V_{3}$ en fonction de $\ln 
(3)$.	
	\end{enumerate} 
\item Dans les deux questions 
suivantes nous allons étudier la suite $V$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $V$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
		\item Calculer $V_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite 
$V$ ?
	\end{enumerate} 
\item On s'intéresse dans cette question au comportement de la suite $U$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $U_{n}$ en fonction de $V_{n}$.
		\item Donner alors la limite de $U_{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\textbf{Partie A}
\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0~;~+ \infty$[, dont la courbe 
représentative $\mathcal{C}$ est donnée (annexe I, ci-après), dans un repère 
orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Au moyen d'une lecture graphique, donner, sous forme de tableau, le signe de $f$ sur [0~ ; +~$ \infty$[.  
\item Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[0~;~+~ \infty$[.

L'une des trois courbes des figures 2 a, 2 b, 2 c (annexe II) est 
la représentation graphique de $F$ sur $[0~;~+~ \infty[$.
 
En utilisant le résultat du 1, déterminer celle de ces courbes qui 
convient et noter sur votre copie la référence de cette courbe. 
\item Calculer, en unité d'aire, la valeur exacte $\mathcal{A}$ de l'aire du domaine D compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ = \dfrac{1}{2}$ et $x = 2$.
 	
Sur le graphique, donné ci-dessous, hachurer ce domaine D et 
joindre cette annexe à votre copie. 
\item Au moyen d'une lecture graphique, déterminer les valeurs de $f(0),\:f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $f'\left(\dfrac{3}{2}\right)$.
 
Reporter ces valeurs dans le tableau correspondant (à joindre à votre 
copie). 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par

\[g(x) = (2x - 1) \text{e}^x.\]

On note $\Gamma$ la courbe représentative de $g$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $g$ quand $x$ tend vers -~$\infty$.
\item Montrer que $g(x)$ peut 
s'écrire	: $g(x) = \left(\dfrac{2x}{\text{e}^x} - \text{e}^{-x}\right)$.

Calculer la limite de $g$ en + ~$\infty$. 

Quelle conclusion peut-on tirer du résultat de ce calcul ? 
\item Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
\item Dresser le tableau des variations de $g$.
\item Écrire une équation de la tangente T à $\Gamma$ au point d'abscisse 0.

En admettant que la courbe donnée ci-dessous représente, sur l'intervalle $[0~;~+\infty$[, la fonction $g$, tracer sur ce graphique la droite T et la  courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{Annexe I : courbe de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath
\begin{center}
%Courbe de la fonction $f$

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3.2,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(3,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.1}{2 x mul 1 sub 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip


 
Tableau de valeurs pour la fonction $f$, à compléter au moyen d'une 
lecture graphique

\renewcommand\arraystretch{1.7} 
\[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&$\dfrac{1}{2}$						 &$\dfrac{3}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
$f(x)$ 	& 	&  			 						 &$2\text{e}^{\left(-\frac{3}{2}\right)}$\\ \hline
$f'(x)$ &3 	&$2\text{e}^{\left(-\frac{1}{2}\right)}$& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\textbf{Annexe II :}

\medskip

Courbe 2 a représentative de $F_{\text{a}}$.

\[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$    &0 	&$\dfrac{1}{2}$ 			&$\dfrac{3}{2}$ &2 	&$\dfrac{5}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
$F(x)$ &3 	&$\dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}}$ &0\rule[-4mm]{0mm}{8mm} &$- \dfrac{1}{\text{e}^2}$& \\ \hline
$F'(x)$&0 	&  							 & 				& 	&0 \\ \hline	
\end{tabularx}\]

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(4,1.3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(4,1.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline{->}(0,0)(4,0)
\psline{->}(0,-1)(0,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{3 2 x mul sub 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}    

\medskip

Courbe 2 b représentative de $F_{\text{b}}$.
 
\[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 		&	0 	&$\dfrac{1}{2}$		&2\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
$F(x)$ 		& $-1$ &$-\dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}}$  	& $- \dfrac{5}{\text{e}^2}$	\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
$F'(x$) & 	 	& 0  								& \\ \hline	
\end{tabularx}\]
 
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-2)(4,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{ x 2 mul 1 add neg 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center} 

Courbe 2 c représentative de $F_{\text{c}}$.
  
\[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 					&	0\rule[-4mm]{0mm}{9mm} 					&$\dfrac{1}{2}$ 	&$\dfrac{3}{2}$ &2 \\ \hline
$F(x)$ \rule[-4mm]{0mm}{9mm}					& $\dfrac{3}{2}$&$\sqrt{\text{e}}$& 0 	& $- \dfrac{\text{e}^2}{2}$	 \\ \hline
$F'(x)$ & 	 			& 0 					& 				&  \\ \hline	
\end{tabularx}\]
  
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.82}{3 2 div x sub 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}