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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles-guyane}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}
{ \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Antilles-Guyane~\decofourright\\19  juin 2012}}
\end{center}
 
\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

On donne le prix moyen en euros d'un litre de gasoil en France, entre 1998 et 2007 :

\medskip
{\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année  & 1998 & 1999 & 2000 & 2001 &  2002 & 2003 & 2004  & 2005 & 2006 & 2007  \\ \hline
Rang $x_i$ de l'année  &  0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
Prix moyen $y_i$ du litre de gasoil (en euros )& 0,77 & 0,81 & 0,73 & 0,79 & 0,8 & 0,85 & 0,99 & 1,06 & 1,1 & 1,11  \\ \hline 
\multicolumn{11}{r}{\footnotesize{Source : \emph{Annuaire Statistique de la France}}} 
\end{tabularx} 
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'évolution, arrondi à 0,1\,\% près, du  prix moyen d'un litre de gasoil en euros  entre 1998 et 2007.	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points $M_i \left(x_i~;~y_i\right)$, avec $i$ compris entre 0 et 9, associé à cette série statistique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
	
On choisira les unités graphiques suivantes :
	
1 cm pour 1 année sur l'axe des abscisses.

1 cm pour 10 centimes d'euros sur l'axe des ordonnées.

		\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de cette série et le placer dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\item On modélise l'évolution  du  prix moyen d'un litre de gasoil en euros à l'aide d'un ajustement affine, obtenu par la méthode des moindres carrés.
	
Donner l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ ainsi obtenue, en arrondissant les coefficients au millième. 
	
Tracer cette droite dans le repère défini à la question 2.
\item Avec ce modèle, calculer l'estimation du prix moyen d'un litre de gasoil en euros en 2010. Arrondir le résultat au centime d'euros.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

En supposant que le modèle reste valable durablement, à partir de quelle année le prix moyen du litre de gasoil aura-t-il augmenté de 30\,\% par rapport au prix moyen de l'année 2007 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Un restaurant propose une formule \og entrée + plat \fg{} pour laquelle chaque client choisit entre trois entrées (numérotées 1, 2 et 3) puis entre deux plats (numérotés 1 et 2).

Chaque client qui choisit cette formule prend une entrée et un plat.

\medskip

On a constaté que :

30\% des clients choisissent l'entrée \no 1, 24\,\% choisissent l'entrée \no 2 et les autres clients choisissent l'entrée \no 3.

Par ailleurs, le plat \no 1 est choisi par : 72\,\% des clients ayant opté pour l'entrée \no 1, 58\,\%  des clients ayant opté pour l'entrée \no 2  et 29\,\% des clients ayant opté pour l'entrée \no 3.

\medskip

On choisit au hasard un client du restaurant ayant opté pour la formule \og entrée + plat \fg{}.

On note $E_1$ l'évènement : \og Le client choisi l'entrée \no 1 \fg{}, $E_2$ l'évènement : \og Le client choisi l'entrée \no 2 \fg{} et $E_3$ l'évènement : \og Le client choisi l'entrée \no 3 \fg{}.

On note enfin $P_1$ l'évènement : \og Le client choisi le plat \no 1 \fg{} et $P_2$ l'évènement : \og Le client choisi le plat \no 2 \fg{}.

\begin{enumerate}
	\item Traduire la situation étudiée à l'aide d'un arbre pondéré, en indiquant sur cet arbre les probabilités données dans l'énoncé. 
	\item Quelle est la probabilité que le client choisisse l'entrée \no 3 et le plat \no 1 (on donnera la valeur exacte de cette probabilité) ?
	\item Montrer que la probabilité de l'évènement $P_1$ est égale à \np{0,4886}.

	\item Quelle est la probabilité qu'un client ait choisi l'entrée \no 1 sachant qu'il a pris le plat \no 1 (on arrondira le résultat à $10^{-4}$ près) ?
	
	\item On choisit trois clients au hasard parmi ceux ayant opté pour la formule ; on suppose le nombre de clients suffisamment grand pour assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise. Dans cette question, on arrondira les résultats au millième.
	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la probabilité qu'exactement deux de ces clients aient pris le plat \no 1.
	\item Déterminer la probabilité qu'au moins un client ait pris le plat \no 1.
\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\bigskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans une grande entreprise, tous les agents commerciaux ont une voiture de fonction,  qu'ils doivent choisir entre deux marques A et B. Le parc de véhicules (en location) est renouvelé tous les ans.

\smallskip

On suppose que le nombre d'agents commerciaux de l'entreprise ne varie pas, et que les deux marques A et B restent les seules possibilités pour les voitures de fonction proposées dans l'entreprise.

\smallskip

On a constaté que, chaque année :

\begin{itemize}
\item 5\,\% des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque A changent l'année suivante pour B;
\item 15\,\% des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque B changent l'année suivantes pour A;
\item les autres agents poursuivent l'année suivante avec un véhicule de même marque.
\end{itemize}

On appelle $a_n$ la probabilité qu'un agent commercial choisi au hasard utilise un véhicule de marque A au début de l'année $2010+n$, et $b_n$ la probabilité qu'il utilise un véhicule de marque B au début de cette même année.

\smallskip

On note $P_n=
\begin{pmatrix}
a_n&b_n
\end{pmatrix}
$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année $2010+n$.

\smallskip

En 2010, la moitié des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque A; ainsi: $P_0=\begin{pmatrix}
\np{0,5} & \np{0,5}
\end{pmatrix}
$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$, et donner la matrice de transition $M$ (on considèrera les sommets du graphe dans l'ordre alphabétique).
\item Justifier que $P_1=\begin{pmatrix}\np{0,55}&\np{0,45}\end{pmatrix}$ et donner une interprétation concrète des coefficients de cette matrice.
\item Déterminer l'état probabiliste stable du système et interpréter les résultats obtenus.
\item
\begin{enumerate}
\item Que vaut, pour tout entier naturel $n$, la somme $a_n + b_n$~?
\item On sait, pour tout entier naturel $n$, que $P_{n+1} = P_n\times M$; démontrer, pour tout entier naturel $n$, que $a_{n+1}=\np{0,8}a_n+\np{0,15}$.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose: $u_n= a_n - \np{0,75}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométriques de raison \np{0,8} dont on précisera le premier terme.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis démontrer que pour tout entier naturel $n$, 
\[
a_n=-\np{0,25}\times\np{0,8}^n+\np{0,75}.
\]
		\item Déterminer la limite de la suite $(a_n)$. Quel résultat retrouve-t-on ainsi~?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

On donne la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~2 ]$, et sa tangente en son point $A$ d'abscisse 1 ; cette tangente passe par le point de coordonnées $(0~;~ -2)$. On note $f'$  la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2 ]$.


 
Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte ; préciser laquelle sur la copie. Aucune justification n'est demandée.

Une bonne réponse rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève  aucun point.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-4)(2.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*(x^2-4)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(3,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt, labels =x]{-}(0,0)(-3,-4)(3,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \uput[l](0,1){\footnotesize{1}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{2}{\f}
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt](-2.25,.25)(1.75,-3.75) 
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu](-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=x, linecolor=bleu,linewidth=2pt](1,-3)
\uput[dl](1,-3){\footnotesize{\bleu{$A$}}} 
\end{pspicture*}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Le nombre dérivé noté $f'(1)$ est égal à : 
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\textbf{a.}\quad  1 & \textbf{b.}\quad  $- \dfrac{1}{3}$ & \textbf{c.}\quad $-1$ & \textbf{d.}\quad 3 \\
\end{tabularx}	

\item  La fonction $u$ telle que $u(x) = \ln \left[ f(x) \right]$ est définie sur  :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\textbf{a.}\quad  $[-2~;~0]$ & \textbf{b.}\quad  $]-2~;~0[$ & \textbf{c.}\quad $]0~;~2[$ & \textbf{d.}\quad $[0~;~2]$ \\
\end{tabularx}

\item On considère $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$.

La fonction $F$ est décroissante sur :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\textbf{a.}\quad  $[-2~;~0]$ & \textbf{b.}\quad  $[-2~;~2]$ & \textbf{c.}\quad $[0~;~2]$ & \textbf{d.}\quad $[-1~;~1]$ \\
\end{tabularx}

\item Soit $I= \displaystyle\int_{-1}^{0}{f(x) \; \mathrm {d} x}$. On a :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\textbf{a.}\quad  $I < 0 $ & \textbf{b.}\quad  $0 \leqslant I \leqslant 1$ & \textbf{c.}\quad $1 < I < 3$ & \textbf{d.}\quad $I \geqslant 3$ \\
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

On a représenté ci-dessous la courbe $C$ d'une fonction $g$  définie et dérivable sur  $[0~;~+ \infty [$ ainsi que la tangente $T$ à cette courbe en son point de coordonnées $(0~;~7)$. On admet que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe $C$ au voisinage de $+\infty$. On  désigne par $g'$  la fonction dérivée de la fonction $g$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6666cm,dotsep=4pt}
\begin{pspicture}(-0.666,-1)(10.666,10.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{14/(EXP(0.7*x)+1)}
\multido{\n=-0.666+0.333}{35}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-1)(\n,10.5)}
\multido{\n=-1.0+0.5}{24}{\psline[linewidth=0.1pt](-0.666,\n)(10.666,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-0.666,-1)(10.666,10.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}  
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10.333}{\f}
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt](-.32,7.784)(3.06,-.497) 
\uput[ur](3.1,1.5) {\footnotesize{\bleu{$C$}}} 
\uput[ur](3.06,-.497) {\footnotesize{\prune{$T$}}} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\textbf{\textsc{Partie a}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
	\item Préciser la valeur du réel $g(0)$.
	\item On admet que la tangente $T$ passe par le point de coordonnées $(4~;~- 2,8)$. Justifier que la valeur exacte de $g'(0)$ est $- 2,45$.
	\item Préciser la valeur de la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
	\item On admet que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par : \[g(x) =\frac{a}{\text{e}^{bx} + 1}\]
	où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
	
\begin{enumerate}
	\item Démontrer que pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$, on a $g'(x) =\dfrac{-ab\e^{bx}}{\left(\text{e}^{bx} + 1\right)^2}$.
	\item En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Partie b}}

\medskip
 
On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est $x$, en centaines d'euros.

D'après une étude de marché, l'offre $f(x)$ et la demande $g(x)$ pour cet objet, en centaines d'unités, sont définies pour tout $x$ positif ou nul par :

\[f(x) = \text{e}^{0,7x}-1\ \text{ et }\ g(x) =\frac{14}{\text{e}^{0,7x}+1}\]
 
\begin{enumerate}
\item Si le prix de vente unitaire de l'objet est 300\:\euro, combien d'objets (à l'unité près) les consommateurs sont-ils prêts à acheter.
\item Calculer le prix de vente unitaire de l'objet, arrondi à l'euro près, pour que la demande soit de 350 objets.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'unique solution de l'équation $f(x) = g(x)$, et donner une valeur approchée au centième de cette solution. 
	
	On appelle \og prix d'équilibre \fg{} le prix permettant l'égalité entre l'offre et la demande. Quel est le prix d'équilibre, arrondi à l'euro près 	
		\item Au prix d'équilibre, quelle est la valeur commune de l'offre et de la demande, arrondie à l'unité près ?
	
Quel est le chiffre d'affaire généré par les ventes au prix d'équilibre ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}