\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-math} % Tapuscrit Denis Vergès % Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique et celle de la Guadeloupe \setlength\paperheight{297mm} \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small 14 septembre 2012} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane ~\decofourright\\14 septembre 2012}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Pour chaque question, une seule proposition exacte. Indiquer sur la copie le numéro de chaque question, et recopier la réponse choisie ; aucune justification n'est demandée. \emph{Barème: une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = 2 - \text{e}^{2x - \ln (3)}\] et soit $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal. \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f$: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} est croissante sur $\R$ & \textbf{b.~~} est décroissante sur $\R$ & \textbf{c.~~} n'est pas monotone sur $\R$ \\ \end{tabularx} \medskip \item Le réel $f(1)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $5 - \text{e}^{2}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{6 - \text{e}^{2}}{3}$ &\textbf{c.~~} $- 0,46$ & \textbf{d.~~} $\dfrac{\ln (3)}{2}$\\ \end{tabularx} \medskip \item La limite de $f$ en $+ \infty$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $+ \infty$ & \textbf{b.~~} $- \infty$ & \textbf{c.~~} $2$ & \textbf{d.~~} $0$\\ \end{tabularx} \medskip \item La tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $\ln (3)$ a pour équation: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $y = - 3x + 3 \ln (3) - 1$&\textbf{b.~~} $y = -3x - 1$ \\ \textbf{c.~~} $y = - 6x + 6\ln (3) - 1$&\textbf{d.~~} $y = - x + \ln (3) - 3$.\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip L'entreprise E produit un modèle de lave-vaisselle. La production de ce lave-vaisselle est répartie sur trois sites industriels A, B, C, qui sont d'importances inégales. \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Le site $A$ assure 60\,\% de la production. \item[$\bullet~~$] Le site $B$ assure 30\,\% de la production. \item[$\bullet~~$] Le site $C$ assure le reste de la production. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Après plusieurs années de commercialisation, on note que 37\,\% des lave-vaisselles en provenance du site $A$ connaissent une panne avant $5$ ans d'utilisation ; 25\,\% des lave-vaisselles provenant du site $B$ connaissent une panne avant 5 ans d'utilisation, et 12\,\% de ceux provenant du site $C$ connaissent une panne avant 5 ans d'utilisation. On choisit au hasard un lave-vaisselle produit par l'entreprise E. \medskip Dans la suite on désigne par $A$, (respectivement par $B, C$) l'évènement \og le lave-vaisselle choisi est issu du site de production $A$ (respectivement $B, C$) \fg. On désigne par $S$, l'évènement \og le lave-vaisselle tombe en panne avant 5 ans \fg ; $\overline{S}$ désigne l'évènement contraire de $S$. \emph{Dans cet exercice les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser les valeurs des probabilités $p(A)$ et $p(B)$. \item On note $p_{A}(S)$ (respectivement $p_{B}(S),\: p_{C}(S)$) la probabilité de l'évènement $S$ sachant que l'évènement $A$ (respectivement $B,\: C$) est réalisé ; calculer $p_{A}(S), p_{B}(S)$ et $p_{C}(S)$. \item Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur les branches adéquates les probabilités données dans l'énoncé. \end{enumerate} \item Quelle est la probabilité que le lave-vaisselle provienne du site $A$ et connaisse une panne avant $5$ ans ? \item Démontrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $0,309$. \item Le lave-vaisselle est tombé en panne avant $5$ ans d'utilisation ; quelle est la probabilité qu'il provienne du site $B$ ? \item \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} L'entreprise E assure le service après-vente : si le lave-vaisselle tombe en panne avant 5 ans d'utilisation, elle finance la réparation, dont le prix est estimé à $110$~euros par appareil réparé. Déterminer, pour l'entreprise, le coût moyen par lave-vaisselle de ces réparations. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité } \bigskip Les employés d'une grande zone commerciale ont le choix entre deux types de restaurants: un \og self \fg{} ou un restaurant \og traditionnel\fg{} avec service à la place. On admet que tous les employés mangent chaque jour dans l'un des deux restaurants. On a constaté que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] si un employé mange au \og self\fg{} un jour donné, alors le lendemain il y mange également avec une probabilité de $0,8$ ; \item[$\bullet~~$] si un employé mange dans le restaurant \og traditionnel\fg{} un jour donné, alors le lendemain il change pour le \og self\fg{} avec une probabilité de $0,4$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard un employé de la zone commerciale. Si $n$ est un entier naturel non nul, on appelle $s_{n}$ la probabilité que l'employé choisi mange au \og self \fg le $n$-ième jour, et par $t_{n} = 1 - s_{n}$ la probabilité qu'il mange au restaurant \og traditionnel \fg{} le $n$-ième jour. Pour l'état initial, on admet que $s_{1} = t_{1} = 0,5$, c'est-à-dire que le premier jour, les probabilités de choix du \og self \fg{} ou du restaurant \og traditionnel \fg{} sont égales. Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $P_{n}$ la matrice $P_{n} = \left(s_{n} \quad t_{n}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste. \item Justifier l'égalité matricielle $P_{n+1} = P_{n} \times M$ où $M$ désigne la matrice $\begin{pmatrix}0,8&0,2\\ 0,4&0,6\end{pmatrix}$ et $n$ un entier naturel non nul. \item Déterminer la probabilité que l'employé tiré au sort mange au \og self \fg{} le deuxième jour. \item Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter. \item Démontrer que pour tout entier nature $n$ non nul, on a : $s_{n+1} = \dfrac{2}{5}s_{n} + \dfrac{2}{5}$. \item Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $u_{n} = s_{n} - \dfrac{2}{3}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $u_{1} =- \dfrac{1}{6}$. \item Déterminer l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$, où $n$ est un entier naturel non nul. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $s_{n} = - \dfrac{1}{6}\times \left(\dfrac{2}{5} \right)^{n-1} + \dfrac{2}{3}$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(s_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Afin de mesurer l'évolution de l'utilisation du vélo, une communauté urbaine organise le comptage régulier des vélos en plusieurs points de l'agglomération. Le tableau ci-dessous indique le nombre moyen, sur un mois, de vélos comptés par jour. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois &Mars 2005 &Juin 2005 &{\footnotesize Décembre} 2005 &Juin 2006 &{\footnotesize Décembre} 2006 &Juin 2007\\ \hline Rang du mois : $x_{i}$ &0 &3 &9 &15 &21 &27\\ \hline Nombre moyen de vélos comptés par jour (en milliers) : $y_{i}$&3,9 &4,4 &5,1 &6,4 &7,1 &7,6\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques : en abscisse, 1~centimètre pour représenter 3~mois et en ordonnées, 1~centimètre pour représenter 1~millier. \item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ et le placer sur la représentation graphique. \item Déterminer, en utilisant la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients obtenus à $10^{-2}$ près. Tracer la droite d'ajustement sur la représentation graphique. \item À l'aide de l'ajustement réalisé, déterminer une estimation du nombre moyen de vélos que l'on pouvait prévoir par jour au mois de décembre 2007 (on arrondira le résultat à $10^{-1}$). \item On sait qu'en décembre 2007, le nombre moyen de vélos observés a été de $\np{7600}$. Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise dans l'estimation précédente. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~18] par : \[f(x) = 4\ln (3x + 1) - x + 3\] Le graphique de l'annexe donne la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$. \medskip \begin{enumerate} \item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur [0,5~;~18]. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~18], on a : \[f^{\prime}(x)= \dfrac{- 3x + 11}{3x+ 1}.\] \item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur [0,5~;~18]. \item Vérifier que l'équation $f(x) = 6$ admet une unique solution dans [0,5~;~18], que l'on note $\alpha$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut. \item On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0,5~;~18] par : \[F(x) = \dfrac{4}{3}(3x + 1)\ln (3x + 1) - \dfrac{x^2}{2} - x.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur [0,5~;~18]. \item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^8 f(x)\:\text{d}x$ et donner une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip On admet que le bénéfice réalisé par une entreprise lorsqu'elle fabrique $x$ centaines de pièces est égal à $f(x)$, en milliers d'euros, pour une production comprise entre $50$ pièces et $\np{1800}$ pièces. En utilisant les résultats précédents et en justifiant, répondre aux questions suivantes. \medskip \begin{enumerate} \item Pour quelle quantité de pièces produites, arrondie à l'unité, l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice, arrondi à la dizaine d'euros ? \item Pour quelles quantités de pièces produites, l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice supérieur ou égal à $\np{6000}$~euros ? \item Déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre $100$ et $800$~pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100~euros près. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large ANNEXE} \vspace{2cm} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1)(19,11) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,griddots=10](0,0)(19,11) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.9)(19,11) \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{18}{x 3 mul 1 add ln 4 mul x sub 3 add} \end{pspicture} \end{center} \end{document}