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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2009}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\medskip

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \og Un accroissement de population de 1,8\,\% par an peut paraître faible, il correspond pourtant à un doublement de la population en 40 ans \fg.
 
Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier. 
\item D'après l'INED (Institut National d'Etudes Démographiques), la population mondiale a suivi l'évolution suivante :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
année &1960 &1970 &1980 &1990 &2000  \\ \hline
Rang : $x_{i}$ $(0 \leqslant x_{i} \leqslant  4)$& 0 &10 &20 &30 &40 \\ \hline
Population : $y_{i}$ en millions d'habitants $(0 \leqslant y_{i} \leqslant  4)$&\nombre{3014}& \nombre{3683} &\nombre{4453} &\nombre{5201} &\nombre{6080} \\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $T$, le taux d'évolution en pourcentage de la population mondiale entre 1960 et 2000 (arrondir à 0,1\,\% près). 
		\item  On appelle $t$ le taux d'évolution moyen annuel, en \%, entre 1960 et 2000. 
	
Montrer que $t$ vérifie $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{40} \approx  2,017$.
 
En déduire une valeur approchée de $t$ (arrondie au dixième de pourcentage).
	\end{enumerate} 
\item On suppose qu'à partir de l'an 2000, le taux d'évolution annuel de la population reste constant et égal à 1,8\,\%.
 
Donner une estimation de la population mondiale en 2008 à 100~millions près. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On décide de modéliser les données du tableau ci-dessus avec un ajustement affine.
		 
À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. 
		\item Calculer la population mondiale en millions d'habitants qui aurait dû être atteinte en 2008 d'après ce modèle (à $100$ millions près).
	\end{enumerate} 
\item En fait, en 2008 on vient de dépasser $6,5$~milliards d'habitants.
 
Des deux estimations précédentes, laquelle est la plus proche de la réalité ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Reporter sur votre copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.}

\medskip
 
\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} 
 
\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-4)(8,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-4)(8,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10,gridwidth=1.5pt](0,0)(-1,-4)(8,6)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0.068}{2.455}{1 x ln x mul x sub div}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{2.881}{8}{1 x ln x mul x sub div}
\psline[linecolor=red](2.71828,-4)(2.71828,6)
\psdots(1,-1)(2,-1.629)(2.958,4)(2.71828,1)%ABCE
\uput[ul](1,-1){A} \uput[ur](2,-1.629){B}\uput[ur](2.958,4){C}\uput[ul](2.71828,1){E}\uput[l](2.71828,5.5){\red d}\uput[r](0.1,-3.5){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~\text{e}[ \cup ]\text{e}~;~+\infty[$ et représentée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessus.
 
La fonction $f$ est dérivable sur chacun des intervalles de son ensemble de définition.
 
Les points A$(1~;~-1)$ et B$\left(2~;~\dfrac{1}{ 2\ln 2 - 2}\right)$ appartiennent à $\mathcal{C}_{f}$·
 
On désigne par C le point de $\mathcal{C}_{f}$ d'ordonnée 4. 

La courbe admet pour asymptotes les axes du repère ainsi que la droite d parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point E(e~;~1). 

\medskip

\textbf{Pour chacune des questions ci-dessous une seule réponse est exacte ; indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la bonne affirmation sans justifier votre choix.}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{l *{3}{X|}} 
\textbf{1.}& $f(-1) = 1$& 
$f(x) = 0$ possède une solution sur $]0~;~\text{e}[ \cup ]\text{e}~;~6[$& 
$f(1) = -1$\\ 
\multicolumn{4}{l}{\textbf{2.} Une équation d'une des asymptotes de $\mathcal{C}_{f}$ est :}\\ 
&$y= \text{e}$& $x= \text{e}$& $y = -1$\\ 
\textbf{3.}& $f'(4) < 0$& 
$f'(4) = 0,7$& 
$f'(4) = 2,9$\\ 
\textbf{4.}&$\int_{5}^6 f(x)\:\text{d}x < \int_{4}^5f(x)\:\text{d}x$& 
 $\int_{5}^6 f(x)\:\text{d}x > \frac{1}{2}$& La valeur moyenne de $f$ sur [4~;~5] est $2$.\\
 \end{tabularx} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~3]$ par :
\[ f(x) = a\text{e}^x + bx + c \quad  \text{où}\quad  a, b ~\text{et}~ c ~\text{sont des réels fixés.}\]

Une partie de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ est représentée ci-dessous : 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-3,-3)(3,3.5)
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.7}{2.55}{3 x mul 2 add 2.71828 x exp sub}
\psplot{-2}{1.25}{2 x mul 1 add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,1)(1,3)(1.099,2.296)%ABD
\uput[dr](0,1){A} \uput[r](1,3){B} \uput[ur](1.099,2.296){D} \uput[dl](0,0){O}
\uput[r](-1.4,-2.5){\blue$\mathcal{C}$} 
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](1.099,0)(1.099,2.296)(0,2.296)
\end{pspicture*}


\end{center}

\medskip

On dispose des renseignements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}$ passe par A(0~;~1). 
\item[$\bullet~$] B est le point de coordonnées (1~;~ 3) ; la droite (AB) est tangente à $\mathcal{C}$ au point A. 
\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point D d'abscisse $\ln 3$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Traduire les renseignements précédents par  trois égalités utilisant $f$ ou $f'$. 
\item En résolvant un système, déterminer $a,~ b$ et $c$. 
\item On admet à partir de maintenant que $f(x) = - \text{e}^x + 3x + 2$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$. 
		\item Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $[-2~;~\ln 3]$ en un réel $\alpha$. Donner, en justifiant, une valeur approchée au centième près de $\alpha$. 
		\item Pour la suite, on admet que $f$ s'annule exactement une fois sur $[\ln 3~;~ 3]$ en un réel $\beta$. 
		
Déterminer le signe de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$. 

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$. 
		\item On considère la surface $\mathcal{S}$ délimitée par l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $x = \ln 3$.
		 
Hachurer $\mathcal{S}$ sur la figure en annexe. 
		\item Déterminer, en justifiant avec soin, l'aire de $\mathcal{S}$, en unités d'aire. On donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

\textbf{Partie A }

\medskip

Dans une résidence de vacances d'été, les touristes vont tous les jours à la plage. Ils disposent pour se déplacer de deux moyens de locomotion : un minibus ou des bicyclettes. Le séjour dure un mois pour tous les vacanciers.
 
Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80\:\% des touristes choisissent le minibus. 

On considère qu'ensuite, chaque jour, 30\:\% de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15\:\% des vacanciers qui avaient emprunté la bicyclette la veille, choisissent le minibus.
 
Soit $n$ est un entier entre 1 et 31. On appelle $P_{n} = \left(a_{n} \quad  	b_{n}\right)$ la matrice traduisant l'état 
probabiliste relatif au $n$-ième jour, où :
 
$a_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant le minibus le jour $n$ ;

$b_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant la bicyclette le jour $n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
 
\item Écrire la matrice de transition, notée M, associée à cette situation. 
\item  Déterminer l'état initial P$_{1}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer P$_{2}$ (faire apparaître les calculs). Interpréter le résultat obtenu. 
		\item On suppose que $\text{M}^5 = \begin{pmatrix}0,367& 0,633\\
0,317& 0,683 \end{pmatrix}$			et $\text{M}^6 = \begin{pmatrix}0,352& 0,648\\
0,324& 0,676 \end{pmatrix}$, les coefficients ayant été arrondis au millième.
 
En utilisant la matrice qui convient, déterminer la répartition prévisible le 6\up{e} jour. On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1\,\% près.
	\end{enumerate} 
\item Soit P$ = (x\quad  y)$ la matrice correspondant à l'état stable.
 
Déterminer $x$ et $y$ ; en donner une interprétation. 
\item  Montrer que pour $n$ entier compris entre 1 et 30 on a $a_{n+1} = 0,55 a_{n} + 0,15$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour $n$ entier, $n \geqslant  1$, on définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par :
\[ u_{n+1} = 0,55 u_{n} + 0,15\quad \text{et}\quad   u_{1} = 0,8.\]
 
\begin{enumerate}
\item  On pose $U_{n} = u_{n} - \dfrac{1}{3}$.
 
Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique. On précisera la raison et le premier terme de cette suite. 
\item Exprimer $U_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Quel résultat retrouve-t-on ? 
\end{enumerate}
\end{document}