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%tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
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\lhead{\small Bac L \'Epreuve facultative}%tapez un titre
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Dur\'ee : 3 heures}

{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat L Antilles septembre 2002 \decofourright}}

 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1 obligatoire} \hfill (7 points)}

On consid\`ere un segment [AB] de longueur 10 centim\`etres et un point $M$ de
 ce segment, diff\'erent de A et B. Les points $N$ et $P$ sont tels que 
 A$MNP$ est un carr\'e.

\noindent L'objectif de l'exercice est de d\'eterminer le point $M$ du segment [AB]
 pour lequel la distance B$N$ est minimale. Les distances sont exprim\'ees
 en centim\`etres.

\noindent \textbf{I.} On pose A$M = x$.

\begin{enumerate} \item Faire une figure.

\item D\'eterminer l'intervalle des valeurs possibles pour $x$.

\item D\'eterminer en fonction de $x$ la distance B$M$.

\item D\'eterminer en fonction de $x$ la distance B$N$.

\noindent (On rappelle le th\'eor\`eme de Pythagore : dans un triangle ABC rectangle 
en A on a BC$^2$ = AB$^2$ + AC$^2$)

\end{enumerate}

\noindent \textbf{II.} On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle [0 ; 10]
par 
\[f(x) = \sqrt{2x^2 - 20x+ 100}.\]

La fonction d\'eriv\'ee $f'$ de $f$ est d\'efinie sur l'intervalle [0 ; 10] par 
\[f'(x) = \cfrac{2x - 10}{ \sqrt{2x^2 -20x +100}}.\]

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 10].

\item Montrer que la fonction $f$ admet un minimum sur l'intervalle [0 ; 10]
 que l'on pr\'ecisera.
 
\end{enumerate} 

\item \begin{enumerate} \item Tracer la courbe repr\'esentative de $f$ dans un rep\`ere orthonormal d'unit\'e un centim\`etre.

\item R\'esoudre graphiquement l'\'equation $f(x) = 8$. On fera appara\^itre les
 traits de construction utiles et on donnera des valeurs approch\'ees des
 solutions lues.
 
\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\noindent \textbf{III.} En utilisant les r\'esultats pr\'ec\'edents, d\'eterminer le point $M$ du
 segment [AB] pour lequel la distance B$N$ est minimale.

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2 obligatoire} \hfill (6 points)}

On consid\`ere la suite $\left(u_n\right)$ d\'efinie par $u_0 = 8$ et pour 
tout entier naturel $n,$\\
$ u_{n+1} = \cfrac{1}{2}	u_n - 5$.

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.

\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithm\'etique? g\'eom\'etrique ? On justifiera
 les r\'eponses.
 
 \end{enumerate}

\item On consid\`ere la suite $\left(v_n\right)$ d\'efinie pour tout entier 
naturel $n$ par 

\[v_n = u_n +10.\]

\begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite g\'eom\'etrique de 
raison $\cfrac{1}{2}$ et
 calculer le premier terme $v_0$.

\item Exprimer le terme g\'en\'eral $v_n$ en fonction de $n$.

 \end{enumerate}

\item D\'eterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$ puis celle de la suite
 $\left(u_n\right)$.
 
 \end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{AU CHOIX exercice 3 ou exercice 4}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3} \hfill  7 points}

Une urne contient trois boules vertes, une boule bleue et cinq boules
 rouges.

\noindent On tire au hasard simultan\'ement trois boules de cette urne.

\begin{enumerate} \item D\'eterminer le nombre de choix possibles pour ce tirage.

 \item On consid\`ere les \'ev\`enements A, B, C et D suivants :

 A : \og Tirer trois boules rouges \fg{}.

 B : \og Tirer trois boules de la m\^eme couleur \fg{}.

 C : \og Ne tirer aucune boule verte \fg{}.

 D : \og Tirer au moins une boule verte \fg{}.

\begin{enumerate} \item Montrer que la probabilit\'e $p$(A) de l'\'ev\`enement A est \'egale \`a
$\cfrac{5}{42}$.

 \item D\'eterminer la probabilit\'e de chacun des \'ev\'enements B, C et D. On
 donnera les r\'esultats sous forme de fractions irr\'eductibles.
 
\end{enumerate} 

 \item Un tirage est gagnant si l'on tire trois boules rouges.

  On effectue quatre tirages successifs en remettant \`a chaque fois les trois boules
 tir\'ees dans l'urne. Tous les tirages sont ind\'ependants.

 D\'eterminer la probabilit\'e d'obtenir exactement trois tirages gagnants.
 On donnera le r\'esultat arrondi \`a $10^{-3}$.
 
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4} \hfill 7 points}

On consid\`ere les nombres A$ = 8\:387\:592\:115$ et B $= 9\:276\:312\:516$.
 
\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $1\:000$ est divisible par 8.

\item Montrer que A est congru \`a 3 modulo 8.

\item Donner l'entier naturel $b$ strictement inf\'erieur \`a 8 tel que B soit
 congru \`a $b$ modulo 8.
 
 \end{enumerate} 

\item D\'eterminer les entiers naturels strictement inf\'erieurs
 \`a 8 qui sont congrus respectivement \`a A+B et \`a AB.

\item \begin{enumerate} \item Montrer que B$^2$ est divisible par 8.

\item Montrer que A$^2$ n'est pas divisible par 8.

\item Montrer que A$^{100}$ n'est pas divisible par 8.

\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\end{document}