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\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane }}
\rfoot{\small{septembre 2001}} 
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles - Guyane septembre 2001~\decofourright}} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $m$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[ \left\{ \begin{array}{l c l l} 
f(x) &= &m \sin x& \text{pour}~ x \in [0~;~\pi]\\ 
f(x)& =& 0& \text{sinon}.\\ 
\end{array}\right.\] 

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le réel $m$ tel que $f$ soit une densité 
de probabilité. 

\item Représenter $f$ dans un repère orthonormé. 

\item Soit $X$ une variable aléatoire dont $f$ est une densité 
de probabilité. 

Définir la fonction de répartition de $X$ puis représenter 
graphiquement $F$ dans un repère orthonormé. 

\item Calculer la probabilité $p\left(\dfrac{\pi}{4} 
\leqslant X \leqslant \dfrac{3\pi}{4}\right)$. 

\item Calculer les probabilités $p(X \geqslant 0)$ et $p(X \leqslant 0).$ 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. 

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes 
l'équation d'inconnue $z$ :
 
\[z^2 + 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\] 

\item On considère les points A et B qui ont pour affixes 
respectives les nombres complexes $a = - 4\sqrt{3} - 4\text{i}$ et $b = - 4\sqrt{3} + 4\text{i}$. 

Calculer les distances OA, OB et AB. 

En déduire la nature du triangle OAB. 

\item On désigne par C le point d'affixe $c = \sqrt{3} + \text{i}$
et par D son image par la rotation de centre O et d'angle 
$\dfrac{\pi}{3}$. Déterminer l'affixe $d$ du point D. 

\item On appelle G le barycentre des points pondérés 
$(O~;~- 1)$, (D ; 1 ) et (B ; 1). 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le point G a pour affixe $g= -4\sqrt{3} + 6\text{i}$. 
		\item Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité graphique : 1 cm). 
		\item Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier l'égalité $\dfrac{c - g}{a - g} = 
\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 
\item En déduire une mesure en radians de l'angle 
$\left(\vect{\text{GA}}, ~\vect{\text{GC}}\right)$, ainsi 
que la valeur du rapport $\dfrac{\text{GC}}{\text{GA}}$. 

Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soient $a$ et $b$ des entiers naturels non nuls tels 
que PGCD$(a + b~;~ab) = p$, où $p$ est un nombre premier. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p$ divise $a^2$. (On remarquera que $a^2 = a(a + b) - ab.)$ 
		\item En déduire que $p$ divise $a$. 

On constate donc, de même, que $p$ divise $b$. 
		\item Démontrer que PGCD$(a,~b) = p$. 
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $a$ et $b$ des entiers naturels tels que 
$a \leqslant b$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre le système 

\[\left\{ \begin{array}{l c r} 
\text{PGCD}(a,~ b)& =& 5\\ 
\text{PPCM}(a,~ b)& =& 170\\ 
\end{array} \right.\] 

	\item En déduire les solutions du système : 

\[\left\{\begin{array}{l c r} 
\text{PGCD}(a + b,~ab)& =& 5\\ 
\text{PPCM}(a,~b) &=& 170\\ 
\end{array} \right.\] 

	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On considère 
la fonction $f$, définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = - 3 - \ln x + 2(\ln x)^2.\] 

On note ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative. 

\begin{center} \textbf{Partie A - Étude de la fonction} \boldmath 
$f$ \unboldmath \textbf{et tracé de la courbe} \boldmath 
$(\mathcal{C})$ \unboldmath \end{center} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'équation 
$f(x) = 0$. (On pourra poser $\ln x = X$). 
		\item Résoudre dans ]0 ;~$ + \infty[$ l'inéquation $f(x) > 0$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ 
\infty$. 
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de 
variations. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente 
$(\mathcal{T})$ à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 
e$^{\frac{5}{4}}$. 
\item On se propose d'étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) 
par rapport à la droite $(\mathcal{T})$. 

Pour cela, on considère la fonction $\varphi$, définie sur 
]0~;~$+ \infty[$ par : 

\[ \varphi(x) = f(x) - \left(4\text{e}^{-\frac{5}{4}}x  - 
\dfrac{41}{8}\right).\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\varphi'(x) = \dfrac{4 \ln x - 1}{x} - 
4\text{e}^{-\frac{5}{4}}$ puis calculer $\varphi''(x)$. 
		\item Étudier le sens de variation de $\varphi'$ sur $]0~;~+ \infty[$. 

En déduire que, pour tout $x$ appartenant à ]0~ ;~ $+ \infty[$, on a 
$\varphi '(x) \leqslant 0$. 
		\item Calculer $\varphi \left(\text{e}^{\frac{5}{4}}\right)$. Pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ déterminer le signe de 
$\varphi(x)$. 

En déduire la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite $(\mathcal{T})$. 
	\end{enumerate} 

\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) et la droite 
$(\mathcal{T})$. (Unité graphique : 2~cm). 
\end{enumerate}  

\begin{center} \textbf{Partie B - Calcul d'une aire} \end{center} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que la fonction $h$, définie par $x 
\mapsto x \ln x - x$, est une primitive de la fonction logarithme népérien 
sur $]0~;~+ \infty[$. 

\item On pose I$_{1} = 
\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}^{\frac{3}{2}}} \ln x\: \text{d}x$ et I$_{2} = \displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}^{\frac{3}{2}}} (\ln x) ^2\: \text{d}x$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer I$_{1}$. 
		\item En utilisant une intégration par parties, montrer que 
I$_{2} = \dfrac{5}{4}\text{e}^{\frac{3}{2}} - \dfrac{5}{\text{e}}$. 
		\item Calculer $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{\text{e}^{\frac{3}{2}}} 
f(x)\: \text{d}x$. En déduire l'aire, en unités d'aire, de l'ensemble des 
points $M(x~ ;~ y)$ du plan tels que $\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant x \leqslant \text{e}^{\frac{3}{2}}$ et $f(x) \leqslant y \leqslant 0$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}