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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small  septembre 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat B Antilles--Guyane septembre 1994~\decofourright 
}}
 \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} ayant comme 
unités graphiques 4~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées. 
La courbe tracée ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2]. 

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(2.2,4.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(2.2,4.2)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3.901)(0,3.901)\uput[l](0,3.901){$5 - \ln 3$}
\psline[linestyle=dashed](0,1.307)(1,1.307)\uput[l](0,1.307){$2 - \ln 2$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x dup mul 1 add x 1 add ln sub}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul 1 add x 1 add ln sub}
\psline(1,0)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{center}

On sait que sur l'intervalle [0~;~2], on a :

\[f(x) = x^2 + 1 - \ln (ax + b)\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs.
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les points A et B placés sur le graphique montrer 
que les réels $a$ et $b$ sont solutions du système d'équations :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
a + b&=&2\\
2a + b&=&3.
\end{array}\right.\]
  
		\item Déterminer alors $f(x)$.
	\end{enumerate}		 
\item Au moyen d'une intégration par parties calculer l'intégrale 

\[\int_{0}^1  \ln (x + 1)\:\text{d}x.\]
 
Indication : on posera $u'(x) = 1$ et on remarquera que pour $x \neq - 1$, 
on a : 

\[\dfrac{x}{x + 1} = 1 - \dfrac{1}{x + 1}.\]

\item Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ du domaine hachuré sur la figure.
 
Exprimer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ à l'aide notamment d'un logarithme.
 
En donner ensuite une valeur approchée. 
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 5 points}

\medskip
 
On dispose de deux urnes U et V et d'un jeu de 32 cartes ; l'urne U contient trois boules blanches et cinq boules noires, indiscernables au toucher ; l'urne V contient six boules blanches et quatre boules noires, indiscernables au toucher.
 
\emph{Les questions $1$. et $2$. sont indépendantes.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une première expérience consiste à tirer une boule de l'urne U puis une boule de l'urne V.
 
Calculer la probabilité de tirer : 
	\begin{enumerate}
		\item deux boules noires ; 
		\item deux boules de couleurs différentes.
	\end{enumerate} 
\item On réalise maintenant une deuxième expérience consistant en le tirage d'une carte du jeu suivi du tirage d'une boule dans l'une des urnes.
 
Une carte est une figure si c'est un ROI, une DAME ou un VALET. Il y  en a douze. 

On tire une carte du jeu ; si cette carte est une figure, on tire une boule de l'urne U.

Si la carte n'est pas une figure alors on tire une boule de l'urne V.
 
On note $F$ l'évènement \og la boule provient de l'urne U \fg, $G$ l'évènement \og la boule provient de l'urne V \fg{} et $B$ l'évènement \og la boule tirée est blanche \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $p(B/F) = \dfrac{3}{8}$. En déduire $p(B \cap F)$. 
		\item Calculer de m\^eme $p(B \cap G)$. 
		\item Calculer la probabilité d'obtenir une boule blanche.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie  par :
 
\[f(x) = \ln \left(x^2 + 4x + 3\right).\]
 
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en $- 1,\:-3,\:+ \infty$ et $- \infty$.
\item Calculer la fonction dérivée de $f$.
\item Déterminer le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de
 variations. 
\item Construire $\mathcal{C}_f$.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec
 l'axe des abscisses. 
\item Soit la fonction $g$ définie  par :

\[g(x) = f(x) - \dfrac{1}{2}x - 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de $g$ ; en déduire le sens de
variation de $g$ ainsi que son tableau de variations.
		\item Montrer que sur l'intervalle 
$\left[-~\dfrac{1}{2}~;~6\right]$ l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}x + 1$ admet
 une solution unique notée $\alpha$. 
		\item Calculer $g(-0,2)$ et $g(- 0,1)$ au centième près. Donner un
 encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}