\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},\vect{u},\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small Antilles--Guyane} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 1999~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal, dont les unités sont 1~cm sur chaque axe. Construire ce repère sur votre copie en plaçant l'origine du repère en bas et à gauche. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la droite (D$_{1}$) d'équation $3x+ y = 30$, la droite (D$_{2}$) d'équation $x + 4y = 32$ et la droite (D$_{3}$) d'équation $x + y = 10$. \item Déterminer au moyen d'un calcul les coordonnées du point d'intersection I des droites (D$_{1}$) et (D$_{2}$). \item Repérer graphiquement à l'aide d'une croix (\og $\times$ \fg{}) les points du plan dont les coordonnées sont des nombres entiers positifs, $x$ et $y$, qui vérifient de plus les conditions : \[3x + y \leqslant 30 \quad ; \quad x + 4y \leqslant 32 \quad ; \quad x + y \geqslant 10.\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip Un artisan fabrique deux sortes de poupées : des petites poupées et des grandes poupées. Les petites poupées nécessitent 3 heures de travail et les grandes poupées une heure seulement. L'artisan, avec ses ouvriers, peut travailler 30 heures au plus par jour. L'artisan ne dispose que de 32~mètres de tissu par jour. Il lui faut 1~mètre de tissu pour habiller une petite poupée et 4 mètres pour habiller une grande poupée. On désigne par $x$ le nombre de petites poupées et par $y$ le nombre de grandes poupées produites dans une journée. L'artisan s'impose de fabriquer au moins 10~poupées par jour. On admet que les contraintes de l'énoncé correspondent aux conditions suivantes : \[\begin{array}{l l} x ~\text{et}~ y ~\text{sont deux nombres entiers positifs} ~;&3x+y \leqslant 30~ ;\\ x \geqslant 0~;& x + 4y \leqslant 32~;\\ y \geqslant 0~;& x + y \geqslant 10.\\ \end{array}\] Le nombre total de poupées produites dans une journée de travail est représenté par $S = x +y$. L'artisan veut que sa production journalière $S$ soit maximum. Combien de poupées de chaque sorte doit-il fabriquer ? \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Une suite réelle $(U_{n})_{n \in \N}$ est définie par son premier terme $U_{0}$ strictement positif et par la relation de récurrence suivante : \[U_{n+1} - U_{n} = - 0,04 U_{n}.\] \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item En fonction de $U_{0}$, calculer $U_{1}$, $U_{2}$ et $U_{3}$. \item Démontrer que cette suite est une suite géométrique de premier terme $U_{0}$ et de raison $q$ que l'on déterminera. \item Quel est son sens de variation ? \item Exprimer $U_{n}$ en fonction de $U_{0}$ et de $n$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip Le 1$\up{er}$ janvier 1997, la population d'une commune rurale était de \np{3000}personnes. On admet que cette population a diminué de 4\,\% par an. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle a été la population de cette commune au 1$\up{er}$ janvier 1999 ? \item Quelle sera la population de cette commune au 1\up{er} janvier 2000 ? \item À partir de quelle année la population chutera-t-elle à moins de \np{2000}~personnes ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le tableau suivant donne la moyenne $y$ des maximums de tension artérielle en fonction de l'âge $x$ d'une population donnée. \[\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c| *{6}{>{\centering \arraybackslash} X|} }\hline Âge $x$ &36&42 &48 &54 &60 &66\\ \hline Tension $y$ &12&13,5&12,6 &14,3 &15,4 &15\\ \hline \end{tabularx}\] \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement le nuage de points $M(x~;~y)$ dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques 0,5~cm pour 1 an en abscisse et 3~cm en ordonnée pour l'unité de tension artérielle, l'origine correspond au point 1 de coordonnées (30 ~;~ 10). \item Dans cette partie, vous pourrez utiliser votre calculatrice. \begin{enumerate} \item Calculer à $10^{-2}$ près le coefficient de corrélation entre $x$ et $y$. On admet qu'un ajustement par la méthode des moindres carrés est justifié. \item Déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ et la représenter (les coefficients seront donnés à $0,001$ près). \item Une personne de $70$ ans a une tension de 16,1. Quelle serait sa tension théorique en utilisant la droite de régression ? Comparer avec la tension réelle. \item Compléter le tableau de l'annexe en utilisant les valeurs de \og $a$ \fg{} et de \og$b$\fg{} obtenues pour la droite de régression. Calculer la somme des \og carrés \fg{} de la dernière colonne, associée à cet ajustement (calcul de la somme des résidus associés à cet ajustement). \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Annexe :} À rendre avec la copie (après l'avoir complétée) TABLEAU $ a = \ldots \ldots b = \ldots \ldots$ \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c| c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ &$y_{i}$&$ax_{i} + b$&$y_{i} - (ax_{i} + b)$&$\left[y_{i} - (ax_{i} + b)\right]^2$\\ \hline 36 &12 & & & \\ \hline 42 &13,5 & & & \\ \hline 48 &12,6 & & & \\ \hline 54 &14,3 & & & \\ \hline 60 &15,4 & & & \\ \hline 66 &15 & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Somme des \og carrés \fg{} de la dernière colonne : \ldots \ldots. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip \emph{Le but du problème est l'étude d'une fonction et le calcul d'une aire liée à cette fonction.} \vspace{0,3cm} \textbf{Partie A} \medskip La courbe ($\Gamma$) ci-jointe (annexe 1) est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$. Les points A$\left( 1 ; \dfrac{3}{2}\right)$ et B$\left(\text{e} ;\dfrac{\text{e}^2}{2}\right)$ appartiennent à la courbe ($\Gamma$) et la tangente en A à ($\Gamma$) est parallèle à l'axe des abscisses. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $g(1)~;~g(\text{e})$ et $g'( 1)$. \item Déterminer les réels $a$ et $b$, sachant que la fonction $g$ est définie sur $]0~;~+\infty$[ par une expression de la forme : \[g(x) = \dfrac{x^2}{2} + a + b \ln x.\] \item Sachant que $g (x) = \dfrac{x^2}{2} + 1 - \ln x$, retrouver au moyen d'un calcul, le sens de variation de $g$. (Le calcul des limites n'est pas demandé.) En utilisant ce dernier résultat, étudier le signe de $g$ sur $]0 ~;~ +\infty$[. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{x}{2}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$. (On admet le résultat suivant : limite en $+\infty$ de $\dfrac{\ln x}{x} = 0$.) \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. Vérifier que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$ pour tout réel positif $x$. En déduire les variations de $f$. \item Montrer que la représentation graphique ($\mathcal{C}$) de $f$ dans un repère orthonormal admet deux asymptotes que l'on précisera. La courbe ($\mathcal{C}$) de $f$ est donnée en annexe dans un repère orthonormal \Oij, unité 2 cm sur chaque axe. \item On admet l'existence d'un réel $\alpha$ unique, appartenant à $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ tel que $f(\alpha) = 0$. Que représente $\alpha$ pour la courbe ($\mathcal{C}$) ? Placer sur la courbe ($\mathcal{C}$) le point I d'abscisse $\alpha$. Montrer que $\ln \alpha = -\dfrac{\alpha^2}{2}$. En déduire que $f'(\alpha) = \dfrac{1 + \alpha^2}{\alpha^2}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = (\ln x)^2$. \item En déduire le calcul de J = $\displaystyle\int_{1}^{t} \left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\: \text{d}x.$ \item Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine plan limité par ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \textrm{e}$. Déterminer l'aire, en cm$^2$, de ce domaine. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\gray \emph{Annexe} 2} \emph{À rendre avec la copie (après l'avoir complétée)\\ Courbe} {\blue $(\Gamma$}) \vspace{1cm} \psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(-1,-0.1)(4,5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(4,5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) %\psline{->}(0,-0.5)(0,4.5) \psline{->}(-1,0)(4,0) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.5)(0,1.5) \psline[linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,3.695) \uput[u](1,1.55){A} \uput[u](2.6,3.7){B} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \rput(4,-0.3){$x$} \uput[l](0,5){$y$} \psline(0,1)(0.1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.02}{3.21}{x dup mul 2 div 1 add x ln sub} \end{pspicture} \vspace{2cm} \emph{Courbe} ($\mathcal{C}$) \psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(6,3.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-2)(6,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](6,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$} \rput(2.2,1.8){\blue $\mathcal{C}$} \multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0)(\n,0.1)} \multido{\n=-2+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.41}{5.5}{x ln x div x 2 div add} \end{pspicture} \end{center} \end{document}