\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin  2001}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
  
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

À partir des productions réalisées pour l'année 2000, on veut comparer les résultats prévisibles de deux entreprises A et B jusqu'en 2015.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item La production de l'entreprise A pour l'année 2000 est de \np{11000}~pièces. Chaque année, sa production augmente de 3\,\%.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est sa production en 2001 ? en 2002 ? en 2015 ? (Donner les résultats arrondis à l'entier.)
		\item Quel est le pourcentage d'augmentation de la production de 2000 à 2015 ? (Résultat arrondi à 0,1 près.)
		\item Exprimer en fonction de $n$ la production de l'entreprise A en l'an $(2000+ n)$\: ($n$ entier $0 \leqslant n \leqslant 15$).
	\end{enumerate}
\item L'entreprise B a produit \np{9000} pièces en 2000, et sa production augmente de 5\,\% par an.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est sa production en 2015 ?
		\item Exprimer en fonction de $n$ la production de l'entreprise B en l'an $(2000 + n)$ ($n$ entier $0 \leqslant n \leqslant 15$).
		\item Déterminer l'entier $n$ tel que en l'an $2000 + n$, la production de l'entreprise B dépasse pour la la première  fois, la production de l'entreprise A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~$ si elle est rouge, il gagne $10$ F ;

$\bullet~$ Si elle est jaune, il perd $5$ F ;
 
$\bullet~$ Si elle est verte, il tire une deuxième boule de l'urne sans
 avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gagne $8$ F, sinon il perd $4$ F.
\setlength\parindent{0mm}
 
\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Construire un arbre pondéré représentant
 l'ensemble des éventualités de ce jeu. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og le joueur est gagnant \fg.
\item Soit $X$ la variable aléatoire associant à
 chaque tirage le gain algébrique du joueur (une perte est comptée 
 négativement).
	\begin{enumerate} 
		\item Établir la loi de probabilité de la variable $X$.
		\item Calculer l'espérance de $X$. 
	\end{enumerate}
\item Les conditions de jeu restent identiques.
 Indiquer le montant du gain algébrique qu'il faut attribuer à un joueur lorsque la boule tirée au deuxième tirage est rouge, pour que l'espérance de $X$ soit nulle.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La courbe de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+~\infty[$	par

\[f(x)	 = x - \ln x.\]

est donnée en annexe.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ à termes strictement positifs définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 	& =	& 7\\
u_{n+1} & = & f\left(u_n\right)\\
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Au moyen du graphique donné en annexe, 
déterminer le minimum de $f$ sur $]0~;~+~\infty[$ et en déduire que pour 
tout entier naturel $n$, on a $u_n \geqslant 1$.
\item Exprimer $u_{n + 1} - u_n$ en fonction de  $u_n$.
Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est monotone décroissante.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Construire dans le repère de la courbe 
(C) donné en annexe la droite (D) d'équation $y = x$.
\item En vous aidant de la droite (D), 
représenter sur l'axe des abscisses du graphique ci-dessous les cinq 
premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Quelle conjecture peut-on faire en ce 
qui concerne la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\end{enumerate}

\begin{center}
Annexe à rendre avec la copie

\bigskip

\begin{pspicture}(8,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.007}{7}{x x ln sub}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(8,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\rput(4,4.8){Graphique de $f$}
\end{pspicture}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Le but de ce problème est l'étude de deux fonctions qui modélisent les
importations et les exportations de l'entreprise} E.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

$\star~$ \textbf{Étude de fonctions}

\medskip

Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $[0~;~\infty[$	par :

\[f(x) = \dfrac{36}{8 + \text{e}^{-x}}\quad 	\text{et}\quad  g(x) =  2 
\ln (x + 1) + 2,5.\]

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité : 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de $f$ et de $g$.
		\item Calculer les limites de $f$ et de $g$ en + ~$\infty$.
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement ces deux fonctions.
On nommera leurs courbes respectivement $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et
$\left(\mathcal{C}_{g}\right)$, et on se limitera aux valeurs de $x$ entre 0 et 6.
\item Recopier et compléter le tableau suivant, avec des valeurs numériques arrondies à $10^{- 2}$ près.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0	&1		&2	&3		&4	&5	& 6\\ \hline
$f(x)$	&  	&  		&  	&4,47 	&  	&  	& \\ \hline
$g(x)$	&  	&3,89 	& 	&  		&  	&   & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$\star$ \textbf{Étude de la fonction} \boldmath $g - f$ \unboldmath

\medskip

On pose $h = g - f$.

Le but de cette question est d'étudier le signe de $h'(x)$ afin d'établir le tableau des variations de $h$ sur $[0~;~\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la dérivée $h'$ de $h$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que e$^x . h'(x) = 
\dfrac{2\text{e}^x}{x + 1} - \dfrac{36}{(8 + \text{e}^{-x})^2}$.
		\item On rappelle que pour tout $x \in  [0~;~+ \infty[,~\text{e}^x > x + 1$.
		
Établir l'inégalité $\left(8 + \text{e}^{- x}\right)^2   \geqslant  64$.

En utilisant successivement ces deux résultats, établir que
 
\[\text{e}^x h'(x) \geqslant  \dfrac{2\text{e}^x}{x + 1} - 
\dfrac{9}{16}\quad \text{et que} \quad  \text{e}^x h'(x) \geqslant 2 - 
\dfrac{9}{16}.\]

		\item Établir le tableau de variation de $h$.
		\item Montrer que $h(x)$ s'annule pour une seule valeur $x_{0}$ comprise entre 0 et 6.
		
Déterminer un encadrement de $x_{0}$ de largeur $10^{- 2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

$\star$ \textbf{Application}

\medskip

\emph{Notations} : $x$ désigne le temps en années. On pose $x = 0$ au 
1\up{er} janvier 2000.

Pour l'entreprise E,~ $f(x)$ désigne le montant, en millions de francs, des achats pour l'année $x$ et $g(x)$ désigne le montant, en millions de francs, de ses ventes.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quel est le montant des achats et des
ventes de cette entreprise à la fin de l'année 2000 ?
\item À partir d'une certaine date, les ventes
l'emportent sur les achats. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'année au cours de laquelle les ventes l'emportent sur  les achats. 
		\item Indiquer alors le rang de la semaine.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}