\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES juin 2002} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane juin 2002~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textsl{On rappelle que l'euro est la nouvelle monnaie en usage en France.} Le tableau ci-dessous donne l'évolution du SMIC horaire converti en euros de 1995 à 2002. \begin{center} \begin{tabular}{| l | *{7}{c|}}\hline Année &1995 & 1996 & 1997 & 1998 & 1999 & 2000 & 2001\\ \hline Rang de l'année ~$x_i$& 0 & 1 & 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline SMIC horaire en euros ~$y_i$& 5,64& 5,78& 6,01 &6,13& 6,21 & 6,41& 6,67\\ \hline \multicolumn{8}{r}{\scriptsize (Source : INSEE)} \end{tabular} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer le pourcentage d'évolution du SMIC horaire entre les années 1995 et 2001 (le résultat sera arrondi au centième) \item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 10~cm pour 1~euro sur l'axe des ordonnées ; les graduations commencent à 0 sur l'axe des abscisses et à 5 sur l'axe des ordonnées) \item Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés et les résultats seront donnés au millième. Le nuage de points montre qu'un ajustement affine est justifié. Donner une équation de la droite de régression D de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite D dans le repère précédent. \item Calculer, avec cet ajustement affine, le montant du SMIC horaire en euros que l'on peut prévoir en 2005 (résultat arrondi au centième) \item On envisage un autre modèle pour prévoir l'évolution du montant du SMIC horaire. On suppose qu'à partir de l'année 2001, le SMIC horaire progressera de 2\:\% par an. On désigne par $u_n$ le montant du SMIC horaire, en euros, de l'année $(2001 + n)$. On a donc $u_0 = 6,67.$ \begin{enumerate} \item Calculer le montant du SMIC horaire en 2005 (résultat arrondi au centième) \item À partir de quelle année le SMIC horaire aura-t-il dépassé 10 euros ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Lors d'une enquête réalisée auprès de familles d'une région, concernant leur habitation principale, on apprend que 55\,\% des familles interrogées sont propriétaires de leur logement, 40\,\% en sont locataires et enfin 5\:\% occupent leur logement gratuitement (ces familles seront appelées dans la suite de l'exercice \og occupant à titre gratuit \fg.) Toutes les familles interrogées habitent soit une maison individuelle , soit un appartement ; toute habitation ne contient qu'une seule famille. 60\,\% des propriétaires habitent une maison individuelle, 80\,\% des locataires habitent un appartement et enfin 10\:\% des occupants à titre gratuit habitent une maison individuelle. On interroge au hasard une famille de la région et on note : $A$ l'évènement : \og la famille habite un appartement \fg{} ; $L$ l'évènement : \og la famille est locataire \fg{} ; $P$ l'évènement : \og la famille est propriétaire \fg{} ; $G$ l'évènement : \og la famille est occupant à titre gratuit \fg. On notera $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$. L'évènement contraire de $E$ sera noté $\overline{E}$. $p(E/F)$ désignera la probabilité conditionnelle de l'évènement $E$ par rapport à l'évènement $F$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser à l'aide de l'énoncé les probabilités suivantes : $p\left(\overline{A}/P\right)$,\: $p(A/L)$ et $p\left(\overline{A}/G\right)$. \item Construire un arbre pondéré résumant la situation. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement : \og la famille est propriétaire et habite un appartement \fg{}. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est égale à $0,585$. \item On interroge au hasard une famille habitant un appartement. Calculer la probabilité pour qu'elle en soit le propriétaire. \item On interroge trois familles de la région, le choix de ces familles se faisant aléatoirement et de manière indépendante. Calculer la probabilité d'interroger trois familles habitant un appartement. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Un dé à 6 faces a été testé sur un grand nombre de lancers. On a obtenu les résultats partiels suivants pour chaque face : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Face &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Fréquence &$a$& 0,15&0,10&0,10&0,15&$b$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Pour la suite, on assimile ces fréquences aux probabilités des évènements correspondants. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que: $a + b = 0,5$. \item On considère la variable aléatoire égale au numéro de la face obtenue; sachant que son espérance mathématique est égale à $3,75$ quelle relation doivent vérifier $a$ et $b$ ? \item En déduire que : $a = 0,2$ et $b = 0,3$. \end{enumerate} \item On lance le dé. Calculer la probabilité de l'évènement: \og On obtient un nombre impair \fg. \item Un joueur lance le dé 3 fois de suite. Les lancers sont indépendants les uns des autres. Chaque nombre impair apparu lui fait gagner 10 euros et chaque nombre pair lui fait perdre 10 euros. On note $Y$ la variable aléatoire égale au gain obtenu (positif ou négatif). \emph{Tous les résultats seront arrondis au millième.} \smallskip \begin{enumerate} \item On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers donnant un nombre impair. Établir la loi de probabilité de $X$. \item Quelles sont les valeurs possibles pour $Y$ ? \item Établir la loi de probabilité de $Y$. \item Calculer l'espérance mathématique $E(Y)$. Ce jeu est-il favorable au joueur ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Graphique de } \boldmath $f$ \unboldmath \vspace{1cm} \psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(6,5.2) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(6,5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(6,5.2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.007}{6}{x x ln sub} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \medskip Le but de ce problème est d'étudier des fonctions utiles pour modéliser des situations en économie : seuil de rentabilité, bénéfice maximum, etc. On rappelle que l'euro est la nouvelle monnaie en usage en France. \medskip \textbf{Première partie} \medskip On considère la fonction $g$ donnée sur I = [10 ; 50] par sa représentation graphique et le tableau de valeurs ci-dessous : \[ \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline $x$ &10 & 20 & 50\\ \hline $g(x)$ & 7 & 0 & $-1,8$\\ \hline \end{tabularx}\] \psset{xunit=0.24cm,yunit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(0,-2)(50,7) \psaxes[Dx=10,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-2)(50,7) \psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{10}{50}{1 x ln 20 ln div sub 300 mul x div} \end{pspicture} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, préciser le signe de $g(x)$ sur I. \item Soit $G$ une primitive de $g$ sur I. \begin{enumerate} \item Quelle est la particularité de la courbe représentative de $G$ au point d'abscisse 20 ? \item L'une des trois courbes données en annexe est représentative de la fonction $G$. Déterminer laquelle en donnant toutes les justifications. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur I $= [1~;~20]$ par \[f(x) = \dfrac{100}{x} \times (3 - \ln x).\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur I. \item Montrer que $f'(x) = \dfrac{100}{x} \times (\ln x - 4).$ \end{enumerate} \item Étudier le signe de $f'$ sur I. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. \item Calculer $f(\text{e}^3)$. En déduire le signe de $f$ sur I. \item Soit la fonction $F$ définie sur I par $F(x) = - 50 (\ln x - 3)^2 + 30$. \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur I \item En déduire le tableau de variation de la fonction $F$. \end{enumerate} \item Donner des raisons qui permettent de considérer la fonction $g$ de la première partie comme une bonne approximation de la fonction $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie} \medskip La société Dumoulin, qui fournit des hangars préfabriqués pour l'industrie peut en produire jusqu'à $50$ par mois. Son bénéfice, pour $q$ unités produites ($q$ entier entre 10 et 50) est donné par : \[B(q) = - 50 (\ln q - 3)^2 + 30 \quad \text{en milliers d'euros.}\] \smallskip \begin{enumerate} \item À partir des études précédentes, ou de la calculatrice, déterminer l'ensemble des valeurs de $q$ qui permettent d'obtenir un résultat positif. \item Déterminer la valeur de $q$ qui permet d'obtenir un bénéfice maximum. Préciser ce bénéfice maximum. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Enseignement de spécialité origine inconnue} \medskip \textsl{On rappelle que l'euro est la nouvelle monnaie en usage en France.} \medskip Un dé à 6 faces a été testé sur un grand nombre de lancers. On a obtenu les résultats partiels suivants pour chaque face : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Face &1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline Fréquence &$a$&0,15 &0,10 &0,10 &0,15 &$b$\\ \hline \end{tabularx} \medskip Par la suite, on assimile ces fréquences aux probabilités des évènements correspondants. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $a + b = 0,5$. \item On considère la variable aléatoire égale au numéro de la face obtenue ; sachant que son espérance mathématique est égale à 3,75 quelle relation doivent vérifier $a$ et $b$ ? \item En déduire que $a = 0,2$ et $b = 0,3$. \end{enumerate} \item On lance le dé. Calculer la probabilité de l'évènement : \og on obtient un numéro impair \fg. \item Un joueur lance le dé trois fois de suite. Les lancers sont indépendants les uns des autres. Chaque nombre impair apparu lui fait gagner 10 euros et chaque nombre pair lui fait perdre 10 euros. On note $Y$ la variable aléatoire égale au gain obtenu (positif ou négatif). Tous les résultats seront arrondis au millième. \begin{enumerate} \item On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers donnant un nombre impair. Établir la loi de probabilité de $X$. \item Quelles sont les valeurs possibles pour $Y$ ? \item Établir la loi de probabilité de $Y$. \item Calculer l'espérance mathématique E($Y$). Ce jeu est-il favorable au joueur ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Courbe numéro 1} \psset{xunit=0.2cm,yunit=6cm,comma=true} \begin{center} \begin{pspicture}(0,-0.6)(50,0.2) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,-0.6)(60,0.2) \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](10,-0.51)(20,0.04)(50,0.2) \rput(50,-0.2){$f_{1}(10) = - 0,51$} \rput(50,-0.4){$f_{1}(20) = 0,04$} \rput(50,-0.6){$f_{1}(50) = 0,2$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Courbe numéro 2} \psset{unit=0.2cm,yunit=0.12cm} \begin{center} \begin{pspicture}(0,-10)(50,35) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,-10)(60,30) \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,](10,5.68)(20,30)(50,-11.6) \rput(52,35){$f_{2}(10) = 5,68$} \rput(52,25){$f_{2}(20) = 30$} \rput(52,15){$f_{2}(50) = - 11,6$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Courbe numéro 3} \psset{unit=0.2cm,yunit=4.2cm} \begin{center} \begin{pspicture}(0,-0.1)(50,1.4) \psaxes[Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,-0.1)(60,1.4) \uput[l](0,-0.1){-0,1} \uput[l](0,0){0} \uput[l](0,0.1){0,1} \uput[l](0,0.2){0,2} \uput[l](0,0.3){0,3} \uput[l](0,0.4){0,4} \uput[l](0,0.5){0,5} \uput[l](0,0.6){0,6} \uput[l](0,0.7){0,7} \uput[l](0,0.8){0,8} \uput[l](0,0.9){0,9} \uput[l](0,1){1} \uput[l](0,1.1){1,1} \uput[l](0,1.2){1,2} \uput[l](0,1.3){1,3} \pscurve[linecolor=blue](10,0.4)(20,1.1)(50,0.37) \rput(45,1.3){$f_{3}(10) = 0,4$} \rput(45,1.1){$f_{3}(20) = 1,1$} \rput(45,0.9){$f_{3}(50) = 0,37$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}